以一道高考題為例談求二面角大小的四種思路

精品文檔以一道高考題為例談求二面角大小的四種思路 求二面角的（平面角）大小是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，本文以2014年浙江省高考數(shù)學(xué)理科試卷第20題（全卷共22題）的第（2）小題為例，從不同視角談求二面角大小的四種思路，供參考！ 試題如圖1，在四棱錐ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDE=BED=90，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.求二面角BADE的大小. 草稿先在草稿紙上重新畫出題設(shè)示意圖，然后按題意標(biāo)出五條棱的已知長(zhǎng)度2、2、1、1、2和兩個(gè)直角記號(hào)（如圖1），接著按實(shí)際比例和角度獨(dú)立畫出底面直角梯形BCDE（如圖2）便于觀察，可以在上述兩圖中依次補(bǔ)充標(biāo)出BD=2、BC=2，這時(shí)就明白了DBBC，這就捕捉住了解題的起筆靈感. 解在四棱錐的底面直角梯形BCDE中，兩次用勾股定理算得BD=12+12=2、BC=（2-1）2+12=2，則BD2+BC2=4=CD2，則DBBC（勾股定理的逆定理）.又因?yàn)槠矫鍭BC平面BCDE，則BD平面ABC（兩平面垂直的性質(zhì)定理），則BDAC（線面垂直的定義）.又同理得BCAC，則AC平面BCDE（線面垂直的判定定理），進(jìn)而可求出AD=6、AE=AC2+CD2+DE2=7，同理得ADDE（以上表述是下面多種思路及解法的共同開頭環(huán)節(jié)）. 思路一運(yùn)用定義法 解法1如圖3，先作BHAD于H，再作HFAD交AE于F，則BHF是二面角BADE的平面角. 在RtABD中，BH=2?26=23，AH=226=236=23AD.在ADE中，已作HFAD、已證DEAD，則HFDE.又已求AHAD=23，則HF=23DE=23，AF=23AE=273. 在ABE中，兩次用余弦定理列方程 AF2+AB2-BF22?AF?AB=cosBAF=cosBAE=AE2+AB2-BE22?AE?AB，代入解得BF=23.在等腰BHF中，BF=HF，則 cosBHF=BH2?FH=32，則BHF=30.所以二面角BADE的大小為30. 解法2提示：已證ADDE，再作DF1AD交直線AB于F1，則EDF1是二面角BADE的平面角. 評(píng)注用定義法求二面角的大小，首先要過(guò)二面角的棱上某點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作出或找到垂直于棱的線段而構(gòu)成二面角的平面角，這牽引著后面的計(jì)算化歸；雖然用定義法求二面角大小的演算較繁瑣，但它卻是后續(xù)解法的概念依托和計(jì)算基礎(chǔ). 思路二運(yùn)用體積法 解法3設(shè)二面角BADE的平面角為銳角，如圖1已證ADDE，則點(diǎn)E到平面ABD的距離為DE?sin . 由于VEABD=VABED，AC平面BCDE，則13?SRtABD?（DE?sin ）=13?SRtBED?AC，即13?2?（1?sin ）=13?12?2，則sin =12（為銳角）， 則 =30.所以二面角BADE的平面角大小為30. 解法4提示：設(shè)二面角BADE的平面角為銳角，如圖3作BHAD于H，則點(diǎn)B到平面ADE的距離為BH?sin ， 評(píng)注變換同一個(gè)三棱錐的相對(duì)底面與高，巧妙地運(yùn)用方程思想，用體積法求二面角的大小，過(guò)程簡(jiǎn)潔、省時(shí)實(shí)用. 思路三運(yùn)用向量法 解法5提示：適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，通過(guò)解方程組求出半平面ADB的法向量n1、半平面ADE的法向量n2，則二面角BADE的平面角適合公式 cos =cosn1，n2=n1?n2n1n2（酌情取正號(hào)或負(fù)號(hào)）. 解法6取直線DE、DC分別為x軸、y軸，建立如圖4所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則點(diǎn)D（0，0，0）、E（1，0，0）、B（1，1，0）、A（0，2，2），則DE=（1，0，0）.作BHAD于 H，則二面角BADE的平面角等于向量DE與HB所成的角. 同解法1得AH=2AD3，則 DH=DA3， 則 H（0，23，23），則 HB=（1，13，-23）， 則 HB=23.因?yàn)閏osDE，HB=DE?HBDE?HB=32，所以DE，HB=30.即二面角BADE的大小等于30. 評(píng)注解法5是教科書介紹、大家熟知的向量法，計(jì)算兩個(gè)（面）法向量的通法比較費(fèi)時(shí)，最后確定二面角的大小還要鑒別是取n1，n2還是取180-n1，n2，全程頗費(fèi)周折；相比之下，解法6利用“線法向量”就易學(xué)易用，避繁就簡(jiǎn)！ 思路四運(yùn)用垂直三折線公式圖5解法7將解法1的圖3提煉成圖5，其中BE=1、ED=1、DH=136、HB=23，且DHDE、DHHB，則運(yùn)用教科書的例題結(jié)論求得，二面角BHDE即就是原二面角BADE的平面角，cos =HB2+DE2+DH2-BE22?HB?DE=43+1+23-12231=32， 則 =30.所以二面角BADE的大小為30. 評(píng)注為了讀者們易記、活用，可將目前人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教科書選修2-1第32節(jié)的例2結(jié)論重新表述成如果兩條異面直線H1P1與H2P2的公垂線段是H1H2，那么二面角P1-H1H2-P2的平面角適合余弦公式 cos =H1P21+H2P22+H1H22-P1P222?H1P1?H2P2. 最后指出，引導(dǎo)學(xué)生平時(shí)自主摸索或閱讀理解多種解題思路，養(yǎng)成探究、博覽、應(yīng)