淺談數(shù)學(xué)分析中求極限的常用方法.doc

淺談數(shù)學(xué)分析中求極限的常用方法淺談數(shù)學(xué)分析中求極限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysis 摘 要求極限問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是其極為重要的內(nèi)容之一。極限問(wèn)題分為函數(shù)極限和數(shù)列極限兩類，其他很多重要的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都建立在極限基礎(chǔ)上，比如導(dǎo)數(shù)，積分，級(jí)數(shù)等等。因此要學(xué)好數(shù)學(xué)分析，就要學(xué)好極限。解決極限問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但卻很抽象，往往很難求出。我們不能僅僅局限于用極限的概念求極限，我們應(yīng)該掌握多種方法，并且運(yùn)用各種方法結(jié)合，快速而準(zhǔn)確的求出極限。因?yàn)闃O限貫穿于數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的始終，許多數(shù)學(xué)概念是從極限出發(fā)而得出的。所以反過(guò)來(lái)，我們也可以通過(guò)有關(guān)于極限的數(shù)學(xué)概念而求出極限。但是這并不是非常容易的事情，因?yàn)闃O限問(wèn)題過(guò)于抽象，所以我們應(yīng)該單獨(dú)的學(xué)習(xí)各種方法針對(duì)性的求極限，最后再進(jìn)行整合，把多種方法相結(jié)合來(lái)求極限。由此可以看出求極限問(wèn)題是十分繁瑣的，針對(duì)這種情況，本文中介紹了多種基本的求極限方法和注意事項(xiàng)，并且通過(guò)例題的運(yùn)算過(guò)程清晰明了的展現(xiàn)了極限問(wèn)題的解決過(guò)程，使極限問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單易懂，為數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；函數(shù)極限；方法- I -淺談數(shù)學(xué)分析中求極限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysisAbstract Limit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progression. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis. - III -目 錄摘 要IAbstractII引 言11 極限相關(guān)的概念11.1 數(shù)列極限21.2 函數(shù)極限21.3 函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系32 求極限的常用方法32.1 極限的四則運(yùn)算法則32.2 兩個(gè)重要極限52.3 用函數(shù)的連續(xù)性求極限72.4 等價(jià)無(wú)窮小代換82.5 洛必達(dá)法則92.6 根據(jù)定積分的定義求極限102.7 利用泰勒公式求極限112.8 利用極限存在準(zhǔn)則求極限132.9 拉格朗日中值定理求極限153 求極限的小技巧163.1 有界函數(shù)與一個(gè)無(wú)窮小量的積仍為無(wú)窮小量163.2 換元法163.3 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限16結(jié) 論17參 考 文 獻(xiàn)18淺談數(shù)學(xué)分析中求極限的常用方法引 言求數(shù)列極限和函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中的基礎(chǔ)，求極限問(wèn)題貫穿在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的始終。例如求導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)都是建立在極限概念之上的，所以我們要培養(yǎng)極限思想，首先，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)計(jì)算極限問(wèn)題。我國(guó)古代，數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，便是首次在解決問(wèn)題中運(yùn)用了極限思想。所謂割圓術(shù)就是不斷地增加圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)來(lái)求得圓周率。即“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割”。極限思想從產(chǎn)生、發(fā)展到完善經(jīng)歷了很長(zhǎng)時(shí)間的歷史過(guò)程。到了19世紀(jì)時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西通過(guò)總結(jié)前人的成果的基礎(chǔ)上，才比較完整的闡述了極限的概念與理論。他在分析教程中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小”。極限的概念與理論為后人研究極限提供了更好的基礎(chǔ)。本文，筆者將對(duì)常用的求極限的方法進(jìn)行總結(jié)，并以例題形式加深了解。通過(guò)此種方式，使讀者掌握求極限的方法和技巧。 1 極限相關(guān)的概念1極限的概念對(duì)于求極限問(wèn)題是基礎(chǔ)，我們要從基本概念出發(fā)，要清晰的明確極限問(wèn)題，才可以更深入的解決極限問(wèn)題，所以，首先我們要了解掌握相關(guān)的概念。1.1 數(shù)列極限定義1.1設(shè)是一給定數(shù)列，是一個(gè)實(shí)常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的，可以找到正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立，則稱數(shù)列收斂于（或是數(shù)列的極限），記為，有時(shí)也記為（）。如果不存在實(shí)數(shù)，使收斂于，則稱數(shù)列發(fā)散。性質(zhì)：（1）極限的唯一性：收斂數(shù)列的極限必唯一。（2）數(shù)列的有界性：一個(gè)數(shù)列，若既有上界又有下界，則稱之為有界數(shù)列。（3）數(shù)列極限運(yùn)算法則：設(shè)，則 ； ； （為常數(shù)）； （）。（4）保序性：若，且，則，有。（5）夾逼定理：設(shè)有三個(gè)數(shù)列，若（），且，則。（6）單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必有極限。1.2 函數(shù)極限定義1.2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域中有定義，即存在，使。如果實(shí)數(shù)A，對(duì)于任意給定的，可以找到，使得當(dāng)時(shí)，成立，則稱A是函數(shù)在點(diǎn)的極限，記為，或如果不存在具有上述性質(zhì)的實(shí)數(shù)A，則稱函數(shù)在點(diǎn)的極限不存在。性質(zhì)：（1） 極限的唯一性：設(shè)A與B都是函數(shù)在點(diǎn)的極限，則A=B。（2） 局部保序性：若，且AB，則存在，當(dāng)時(shí)，成立。（3） 夾逼性：若存在，使得當(dāng)時(shí)，成立,且，則。（4） 函數(shù)極限的四則運(yùn)算：設(shè)，則（，是常數(shù)）；（）.1.3 函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系Heine定理：的充分必要條件是：對(duì)于任意滿足條件，且（）的數(shù)列，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列成立。2 求極限的常用方法2.1 極限的四則運(yùn)算法則運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限是在數(shù)學(xué)分析中一種常見(jiàn)且簡(jiǎn)單的運(yùn)算方法。要運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行求極限，首先，我們要確定兩個(gè)數(shù)列極限或函數(shù)極限分別存在，然后，我們才可以根據(jù)運(yùn)算法則的具體內(nèi)容要求進(jìn)行下一步計(jì)算，最終，求得數(shù)列極限或函數(shù)極限，下面，我們將根據(jù)給出的例題來(lái)進(jìn)一步掌握這種方法。例2.1 求下列數(shù)列極限（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）=；（2）；（3）；（4）。以上例題對(duì)應(yīng)數(shù)列極限運(yùn)算法則可一一求出，需要注意的是使用數(shù)列極限運(yùn)算法則時(shí)，要求是各部分極限必須存在。例2.2 求下列函數(shù)極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解析：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。根據(jù)四則運(yùn)算求函數(shù)極限，可以解出以上例題。需要注意的是解題過(guò)程中要運(yùn)用分子（分母）有理化法（與分子分母同除以的最高次冪相結(jié)合）。用過(guò)運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則，我們可以把一個(gè)極限問(wèn)題，拆分成兩個(gè)極限同時(shí)存在，并在這兩個(gè)極限中做運(yùn)算。這樣做，可以讓一些看起來(lái)復(fù)雜繁瑣的求極限問(wèn)題變得清晰明了，學(xué)生可以通過(guò)多次練習(xí)，學(xué)會(huì)拆分。2.2 兩個(gè)重要極限殷紅燕2在兩個(gè)重要極限公式求特定類型的極限的方法一文中說(shuō)道，“對(duì)于一般的極限，利用一些常用的極限公式以及極限的運(yùn)算法則一般都很容易求得結(jié)果。但對(duì)一些、等未定式的極限，在學(xué)生還未學(xué)到洛必達(dá)法則時(shí)，學(xué)生還往往不知如何入手?！蹦敲?，此時(shí)，這些特殊形式的未定式，我們便可以利用兩個(gè)重要極限去求。兩個(gè)重要極限分別是和。下面我們通過(guò)例題可以進(jìn)一步的理解兩個(gè)重要極限的作用。例2.3 求下列極限。（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）；（2）；（3）； （4）。使用的時(shí)候需要注意的是它的類型屬于型，可以推廣成，條件是時(shí)，其中可為有限值，也可為。例2.4 求下列極限。（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）因?yàn)椋?，所以有；?）因?yàn)?，且，所以有；?）；（4）。使用的時(shí)候需要注意的是它的類型屬于型，可以推廣成，條件是當(dāng)時(shí)，其中可為有限值，也可為。2.3 用函數(shù)的連續(xù)性求極限首先，我們應(yīng)該知道連續(xù)函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域中有定義，并且成立，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，而稱是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。其次，由此可知，連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的極限就是函數(shù)值，從而利用函數(shù)的連續(xù)性直接求解極限3。下面我們通過(guò)例題進(jìn)一步了解。例2.5 求下列函數(shù)極限（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限時(shí)，要注意分母不可以為零，并且分子分母要進(jìn)行約分，如上述例題中（1）、（2），約分后繼續(xù)計(jì)算。 2.4 等價(jià)無(wú)窮小代換等價(jià)無(wú)窮小量定義：若，稱當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小量，記為 。重要的等價(jià)無(wú)窮?。海ǎ?，（）。例2.6 求下列極限。（1） ；（2） 。解析：（1） ； （2）。注意：等價(jià)無(wú)窮小一般只能在乘除中替換，在加減中替換有時(shí)會(huì)出錯(cuò)（加減中可以整體替換，不能單獨(dú)替換）。比如例題6（2），若解成，當(dāng)時(shí)，則得到，顯然這種解法是錯(cuò)誤的。2.5 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家洛必達(dá)在其著作闡述曲線的無(wú)窮小分析中提出來(lái)的法則，所以以他的名字來(lái)命名。洛必達(dá)法則是指：在一定條件下，分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法。在夏濱4的利用洛必達(dá)法則求極限的方法與技巧探討中，指出“兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量之比在給定的極限過(guò)程中，隨著這些無(wú)窮小量或無(wú)窮大量類型不同，可以有完全不同的變化狀態(tài)，這種類型稱為未定式”。我們通過(guò)例題進(jìn)一步了解洛必達(dá)法則以及掌握使用中應(yīng)該注意的問(wèn)題。例2.7 用洛必達(dá)法則求下列函數(shù)極限。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。解析：（1）； （2）； （3）； （4）。注意：應(yīng)用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限時(shí)，應(yīng)滿足型或型，其他形式通過(guò)一定的變換得到型或型也可。洛必達(dá)法則常常與等價(jià)無(wú)窮小結(jié)合來(lái)求函數(shù)極限，這樣可以避免多次運(yùn)用洛必達(dá)法則的繁瑣，使極限更容易得出。例2.8 求的極限。解析：設(shè)，當(dāng)時(shí)，注意：用洛必達(dá)法則不可以直接求數(shù)列極限，需要把數(shù)列極限轉(zhuǎn)換成函數(shù)極限，并且符合運(yùn)用洛必達(dá)法則的條件。由例題8我們可知，求極限可以多種方法結(jié)合，此題中就結(jié)合了重要極限，等價(jià)無(wú)窮小代換和洛必達(dá)法則。2.6 根據(jù)定積分的定義求極限定積分的概念與性質(zhì)：，。利用定積分求極限的步驟：（1）尋找被積函數(shù)；（2）確定被積的上下限；（3）確定函數(shù)表達(dá)式。例2.9 求的值。解析：從題目可以看出無(wú)法直接運(yùn)用積分思想，所以運(yùn)用（）得到注意：此種類型題，不能直接求出極限，但可以觀察是否可以轉(zhuǎn)換成定積分形式，然后利用定積分定義求解，從求數(shù)列極限變成求定積分問(wèn)題，需要注意的是求解過(guò)程過(guò)長(zhǎng)，需要仔細(xì)認(rèn)真的計(jì)算每一步驟，防止最后計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。2.7 利用泰勒公式求極限泰勒公式：皮亞諾形式余項(xiàng)：帶有皮亞諾形式余項(xiàng)的麥克勞林公式：麥克勞林（帶有皮亞諾余項(xiàng)的）公式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。例2.10 （1）； （2）；解析：（1） ， （2）， 注意：求極限時(shí)，好多時(shí)候符合洛必達(dá)法則，但是使用起來(lái)會(huì)出現(xiàn)無(wú)限求導(dǎo)的情況，得不到答案，所以，此時(shí)我們因該考慮用泰勒展開(kāi)式來(lái)求解，或者直接套用麥克勞林公式結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小來(lái)進(jìn)行計(jì)算。2.8 利用極限存在準(zhǔn)則求數(shù)列極限極限存在的兩個(gè)重要準(zhǔn)則：（1） 單調(diào)有界準(zhǔn)則；（2） 夾逼準(zhǔn)則。 例2.11 求下列數(shù)列極限（1）；（2），其中（）。解析：（1）因?yàn)?，并且，由夾逼定理可知。 （2）設(shè)，由夾逼定理可知。例2.12 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明下列數(shù)列收斂，并求極限。（1） ，（）；（2） ，且（）。解析：（1） ，故單調(diào)遞減且有下界； 由單調(diào)有界原理知極限存在，設(shè)極限為A，對(duì)兩邊求極限并結(jié)合解得。（2），所以單調(diào)遞增。又因?yàn)椋猩辖?，所以有極限。設(shè)，因?yàn)?，所以。，等式兩邊取極限由平均值不等式：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，也就是時(shí)成立，所以。2.9 拉格朗日中值定理求極限拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)（）使得成立。例2.13 求下列極限（1） ；解析：（1）此題可用洛必達(dá)法則計(jì)算，在這里不做過(guò)多贅述。此題還可用拉格朗日中值定理進(jìn)行計(jì)算，過(guò)程如下：設(shè)，有在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，則存在， ，當(dāng)時(shí)，則，由介值定理，則 .3 求極限的小技巧 極限的求法中，除了常見(jiàn)的求法之外，還有一些可以應(yīng)用的小技巧，使極限問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，方便。3.1 有界函數(shù)與一個(gè)無(wú)窮小量的積仍為無(wú)窮小量無(wú)窮小量的性質(zhì)：（1）有限個(gè)無(wú)窮小量代數(shù)和仍未無(wú)窮小量；（2）有限個(gè)無(wú)窮小之積仍未無(wú)窮小量；（3）有界函數(shù)與無(wú)窮小之積為無(wú)窮小量；（4）常數(shù)與無(wú)窮小量之積仍未無(wú)窮小量（5）恒不為零的無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小。根據(jù)無(wú)窮小量的性質(zhì)（3），我們可以計(jì)算函數(shù)極限。例3.1 求。解析：3.2 換元法 在計(jì)算極限時(shí)，換元法是一種很重要的技巧，掌握并且靈活使用換元法會(huì)使計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)單。 例3.2 求。 解法一： 解法二： 設(shè)，當(dāng)時(shí)，則 通過(guò)上面的例題的兩種解法，我們可以看出，傳統(tǒng)的解法一是通過(guò)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，不僅過(guò)程繁瑣還容易出錯(cuò)。而解法二通過(guò)換元，把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成我們熟悉的初等函數(shù)，降低了計(jì)算過(guò)程的難度。所以掌握換元法，根據(jù)題目，靈活運(yùn)用，可以給解題帶來(lái)方便。3.3 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限在計(jì)算數(shù)列極限時(shí)，我們可以把數(shù)列看作是函數(shù)的一種，即數(shù)列是特殊的函數(shù)，也就是以n為自變量，正整數(shù)為定義域的函數(shù)。理解這一點(diǎn)，我們可以更好的處理數(shù)列極限和函數(shù)極限的關(guān)系。這也是我們所說(shuō)的Heine定理的解釋。下面通過(guò)例題，讓我們更好的理解如何把數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函