中考復(fù)習(xí)直角三角形和勾股定理

第24課時直角三角形和勾股定理,12015淮安下列四組線段中，能組成直角三角形的是()Aa1，b2，c3Ba2，b3，c4Ca2，b4，c5Da3，b4，c52在RtABC中，C90，B30，斜邊AB的長為2cm，則AC長為(),小題熱身,D,C,32014昆明如圖241，在RtABC中，ACB90，AB10cm，點D為AB的中點，則CD_cm,5,圖241,42015永康模擬如圖242為一圓柱體工藝品，其底面周長為60cm，高為25cm，從點A出發(fā)繞該工藝品側(cè)面一周鑲嵌一根裝飾線到點B，則該裝飾線最短長為_cm.,圖242,65,一、必知3知識點1直角三角形定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形直角三角形性質(zhì)：(1)直角三角形的兩個銳角_；(2)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的_；(3)在直角三角形中，30的角所對的邊等于斜邊的_直角三角形判定：有兩個角互余的三角形是_三角形,考點管理,互余,一半,一半,直角,2勾股定理勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2_.,c2,【智慧錦囊】勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2)已知直角三角形的一邊，確定另外兩邊的關(guān)系；(3)證明帶有平方關(guān)系的問題；(4)把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題,3勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個三角形是_三角形勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù),直角,【智慧錦囊】勾股定理逆定理的應(yīng)用：(1)判斷三角形的形狀；(2)證明兩條線段垂直；(3)實際應(yīng)用,二、必會2方法1面積法用面積法證明是常用的技巧之一，勾股定理的證明通常用面積法即利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到證明的結(jié)論2數(shù)形結(jié)合思想在一些實際問題中，如解決立體圖形側(cè)面兩點的距離問題，折疊問題，航海問題，梯子下滑問題等，常直接或間接運用勾股定理及其逆定理，在解決這些問題時，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是中考的熱點考題,三、必明3易錯點1在利用勾股定理時，確定所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題中未說明，需要分類討論2在已知三角形三邊的前提下，判斷這個三角形是否為直角三角形，首先要確定三條邊中的最大邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定解題時，往往受思維定式的影響，誤認(rèn)為如果是直角三角形，則c是斜邊，從而造成誤解3直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這個性質(zhì)定理常用于證明一條線段是另一條線段的一半的數(shù)量關(guān)系注意直角三角形這一前提條件,類型之一直角三角形的性質(zhì)的運用2015黃岡如圖243，在ABC中，C90，B30，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD3，則BC的長為(),圖243,C,【解析】線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，ADBD，可得DAE30，易得ADC60，CAD30，則AD為BAC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)得DECD3，再根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BD2DE6.所以BC9.,2015湖北如圖244，在ABC中，B30，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分ACB.若BE2，則AE的長為()【解析】在ABC中，B30，BC的垂直平分線交AB于E，BE2，BECE2，BDCE30，CE平分ACB，,圖244,B,ACEDCE30，ACB2DCE60，A180BACB90.在RtCAE中，,類型之二勾股定理的應(yīng)用2015常州如圖245是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點O，古塔位于點A(400，300)，從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90后直行400m到達(dá)梅花閣C，則點C的坐標(biāo)是_,(400，800),圖245,【解析】根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AODACB(SAS)，進(jìn)而得出C，A，D也在一條直線上，求出CD的長即可得出C點坐標(biāo)如答圖，連結(jié)AC，由題意可得AB300m，BC400m，在AOD和ACB中，,例2答圖,AODACB(SAS)，CABOAD，B，O在一條直線上，C，A，D也在一條直線上，ACAO500m，則CDACAD800m，C點坐標(biāo)為(400，800),2014東營如圖246，有兩棵樹，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹相距8m一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行_m.【解析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，飛行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出如答圖，大樹高為AB12m，小樹高為CD6m，過C點作CEAB于E，則四邊形EBDC是矩形，連結(jié)AC，,10,圖246,EB6m，EC8m，AEABEB6(m)，故小鳥至少飛行10m.,變式跟進(jìn)答圖,類型之三勾股定理與拼圖2015株洲如圖247是“趙爽弦圖”，ABH，BCG，CDF和DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形如果AB10，EF2，那么AH等于_.【解析】設(shè)DE為a，由四個直角三角形全等可得DFDE2AE，AD2AE2DE2.a2(a2)2100a6，a8(舍去)，AH6.,圖247,6,1如圖248是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2，則最大的正方形E的面積是_.【解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A，B的面積和為S1，C，D的面積和為S2，S1S2S3，即S3251210.,圖248,10,2如圖249，四邊形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，邊長分別為a，b，c，A，B，N，E，F(xiàn)五點在同一條直線上，則c_(用含有a，b的代數(shù)式表示),圖249,32015煙臺如圖2410，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為(),圖2410,C,【解析】根據(jù)題意，第一個正方形的邊長為2；,【點悟】勾股定理既反映了直角三角形三邊關(guān)系，同時也反映了以直角三角形三邊為正方形的面積關(guān)系，是勾股定理另一種表現(xiàn)形式,類型之四平面展開最短線段問題2015資陽如圖2411，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是(),A,圖2411,【解析】如答圖，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即最短路徑如答圖，高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，AD5cm，BD123AE12cm，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，連結(jié)AB，則AB即為最短距離，,例4答圖,12015杭州模擬如圖2412是一塊長、寬、高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A點相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是(),圖2412,C,【解析】如答圖，AB就是螞蟻爬的最短路線但有三種情況：當(dāng)AD3，DB4610，,變式跟進(jìn)1答圖,22014濰坊我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖2413所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點B處則問題中葛藤的最短長度是_尺,25,圖2413,【解析】如答圖，一條直角邊(即枯木的高)長20尺，另一條直角邊長5315(尺)，故答案為25.【點悟】在求幾何體表面上兩點之間的最短距離時，可以通過把立體圖形展開成平面圖形，利用勾股定理求出幾何體表面上兩點之間的距離,變式跟進(jìn)2答圖,類型之五勾股定理中的逆定理如圖2414，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連結(jié)AE，BE，CE，將ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置若AE1，BE2，CE3，則BEC_.【解析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EBE90，BEBE2，AEEC1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，進(jìn)而得出答案,135,圖2414,如答圖，連結(jié)EE，將ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置，AE1，BE2，CE3，EBE90，BEBE2，AEEC1，EE2EC2819，EC29，EE2EC2EC2，EEC是直角三角形，EEC90，BEC135.,例5答圖,如圖2415，已知AB4，BC3，AD12，DC13，B90，則四邊形ABCD的面積為_.【解析】連結(jié)AC，B90，AC2AB2BC216925，AD2144，DC21