2014蘇北四市期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷

第 1 頁 共 16 頁 蘇 北 四 市 數(shù) 學(xué) 試 題 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 必做題部分必做題部分 （本部分滿分 160 分，時間 120 分鐘） 參考公式：參考公式：錐體的體積公式：，其中是錐體的底面面積，是高 1 3 VShSh 一、填空題：本題共一、填空題：本題共 1414 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 7070 分分. .請把答案填寫在答題卡上請把答案填寫在答題卡上 1設(shè)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位 ,若為實數(shù),則的值為 12 2i ,izzm(mR，i) 12 zzm 2已知集合，且，則實數(shù)的值是 2, Aa a 1,1,3B ABa 3某林場有樹苗 3000 棵，其中松樹苗 400 棵為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣 的方法抽取一個容量為 150 的樣本，則樣本中松樹苗的棵數(shù)為 4在的邊上隨機取一點, 記和的面積分別為和，則ABCABPCAPCBP 1 S 2 S 的概率是 12 2SS 5已知雙曲線的一條漸近線方程為， 22 22 1 xy ab 20 xy 則該雙曲線的離心率為 6右圖是一個算法流程圖，則輸出的值是 S 7函數(shù)的定義域為 ( )lg(23 ) xx f x 8若正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為 1，則此三棱錐2 的體積為 9在中，已知，且的面積ABC3AB o 120AABC 為，則邊長為 15 3 4 BC 10已知函數(shù)，則不等式的( )2f xx x( 2)(1)fxf 解集為 開始 結(jié)束 輸出S 10n 2nn Y N 0,1Sn （第 6 題圖） SSn 注意事項注意事項 考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及答題要求考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及答題要求 1本試卷共 4 頁，均為非選擇題（第 1 題第 20 題，共 20 題） 。本卷滿分為 160 分， 考試時間為 120 分鐘。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。 2答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷 及答題卡的規(guī)定位置。 3作答試題，必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其它位 置作答一律無效。 4如需作圖，須用 2B 鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等加黑、加粗。 第 2 頁 共 16 頁 11已知函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則函數(shù)在( )2sin(2) (0) 4 f xx ( )f x 上的單調(diào)增區(qū)間為 1 1 ， 12設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若成等差數(shù)列，且， n an n S 435 aaa，33 k S ， 1 63 k S 其中，則的值為 k N 2k S 13在平面四邊形中，已知，點分別在邊上，且ABCD3AB 2DC ,E F,AD BC ，若向量與的夾角為，則的值為 3ADAE 3BCBF AB DC 60AB EF 14在平面直角坐標(biāo)系中，若動點到兩直線：和：的距xOy( , )P a b 1 lyx 2 l2yx 離之和為，則的最大值為 2 2 22 ab 二、解答題：本大題共二、解答題：本大題共 6 6 小題，共計小題，共計 9090 分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出 文字說明、證明過程或演算步驟文字說明、證明過程或演算步驟 15(本小題滿分 14 分) 已知向量，(cos,sin )a(2,1)b (1)若，求的值；ab sincos sincos (2)若，求的值2ab(0,) 2 sin() 4 16(本小題滿分 14 分) 如圖，在三棱錐中，點分別是棱的中點PABC,E F,PC AC (1)求證：/平面；PABEF (2)若平面平面，求證：PAB ABCPBBCBCPA P A B C F E （第 16 題圖） 第 3 頁 共 16 頁 17(本小題滿分 14 分) 某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個 O 同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為 30 米， O 其中大圓弧所在圓的半徑為 10 米設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧x 度） （1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； x （2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為 4 元/米，弧 線部分的裝飾費用為 9 元/米設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關(guān)于 yy 的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時，取得最大值？xx y 18(本小題滿分 16 分) 已知的三個頂點，其外接圓為ABC( 1, 0)A (1, 0)B(3, 2)CHA (1)若直線 過點，且被截得的弦長為 2，求直線 的方程；lCHAl (2)對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，BHPC,M N 使得點是線段的中點，求的半徑的取值范圍MPNCAr O (第 17 題圖) 第 4 頁 共 16 頁 19(本小題滿分 16 分) 已知函數(shù)（為常數(shù)） ，其圖象是曲線 32 5 ( ) 2 f xxxaxb, a bC （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；2a ( )f x （2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實數(shù)，使得與( )f x( )fx 0 x 00 ()f xx 同時成立，求實數(shù)的取值范圍； 0 () 0fxb （3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，ACAC 1 lCB 在點處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為問：是否存在常數(shù)BC 2 l 12 ,l l 12 ,k k ，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由 21 kk 20 （本小題滿分 16 分） 已知數(shù)列滿足，是數(shù)列 n a 1 ax 2 3ax 2* 11 32 (2,) nnn SSSnnn N n S 的前項和 n an (1)若數(shù)列為等差數(shù)列 n a （）求數(shù)列的通項； n a （）若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，試比較數(shù)列 n b2 n a n b n c 2 21nnnn ct btbb 前項和與前項和的大??； n bn n B n cn n C (2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍 * nN 1nn aa x 第 5 頁 共 16 頁 F E D C B A (第 21(A)圖) 數(shù) 學(xué) 試 題 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 附加題部分附加題部分 注意事項注意事項 1 本試卷共 2 頁，均為非選擇題（第 21 題第 23 題，共 4 題） 。本卷滿分為 40 分，考 試時間為 30 分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。 2 作答試題，必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其它位 置作答一律無效。 21. .【選做題選做題】本題包括本題包括 A A、B B、C C、D D 四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi) 作答作答若多做，則按作答的前兩題評分若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步 驟驟 A(選修選修 41：幾何證明選講：幾何證明選講)（本小題滿分 10 分） 如圖，點為銳角的內(nèi)切圓圓心，過點作直線DABCABD 的垂線，垂足為，圓與邊相切于點若，F(xiàn)DACE50C 求的度數(shù)DEF B(選修選修 42：矩陣與變換：矩陣與變換)（本小題滿分 10 分） 設(shè)矩陣（其中） ，若曲線在矩陣所對應(yīng)的變 0 0 a b M00ab，C： 22 1xy+=M 換作用下得到曲線，求的值 2 2 1 4 x Cy：a b+ C(選修選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)（本小題滿分 10 分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線 的參數(shù)方程是（ 為參數(shù)） ；以xOyl 2 2 2 4 2 2 xt yt ， t 為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程OxC 為由直線 上的點向圓引切線，求切線長的最小值2cos() 4 lC 第 6 頁 共 16 頁 D(選修選修 45：不等式證明選講：不等式證明選講)（本小題滿分 10 分） 已知均為正數(shù),證明：,a b c 2222 111 ()6 3abc abc 【必做題必做題】第第 2222 題、第題、第 2323 題，每題題，每題 1010 分，共計分，共計 2020 分分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答， 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 22 （本小題滿分 10 分） 某品牌汽車 4店經(jīng)銷三種排量的汽車，其中三種排量的汽車依次有S, ,A B C, ,A B C ，4，3 款不同車型某單位計劃購買 3 輛不同車型的汽車，且購買每款車型等可 能 (1)求該單位購買的 3 輛汽車均為種排量汽車的概率；B (2)記該單位購買的 3 輛汽車的排量種數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望XX 23 （本小題滿分 10 分） 已知點，動點滿足( 1, 0)A (1, 0)FP2|AP AFFP (1)求動點的軌跡的方程；PC (2)在直線 ：上取一點，過點作軌跡的兩條切線，切點分別為l22yxQQC 問：是否存在點，使得直線/ ？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不,M NQMNlQ 存在，請說明理由 第 7 頁 共 16 頁 參考答案 數(shù)學(xué)部分 一、填空題：一、填空題： 1 2 3 4 5 6 72120 1 3 525 (, 0) 8 9 10 11 12 13 14 1 6 71, 1 3 , 4 4 1297 18 二、解答題： 15 （1）由可知，所以，ab2cossin0a bsin2cos 2 分 所以 sincos2coscos1 sincos2coscos3 6 分 （2）由可得，(cos2,sin1)ab ， 22 (cos2)(sin1)ab64cos2sin2 即， 12cossin0 10 分 又，且 ，由可解得， 22 cossin1(0,) 2 ，12 分 3 sin 5 4 cos 5 第 8 頁 共 16 頁 所以 22 347 2 sin()(sincos )() 4225510 14 分 16 （1）在中，、分別是、的中點，所以，PACEFPCAC/PAEF 又平面，平面，PABEFEF BEF 所以平面6 分/PABEF （2）在平面內(nèi)過點作，垂足為PABPPDABD 因為平面平面，平面平面，PAB ABCPABABCAB 平面，所以平面,8 分PD PABPD ABC 又平面，所以，BC ABCPDBC 10 分 又，平面，PBBCPDPBPPD PAB 平面，所以平面，PB PABBC PAB 12 分 又平面，所PAPAB 以14 分BCPA 17(1)設(shè)扇環(huán)的圓心角為，則，30102(10)xx 所以， 102 10 x x 4 分 (2) 花壇的面積 為7 分 222 1 (10)(5)(10)550,(010) 2 xxxxx x 裝飾總費用為， 9108(10)17010 xxx 9 分 所以花壇的面積與裝飾總費用的比， 22 550550 = 1701010(17) xxxx y xx 11 分 令，則，當(dāng)且僅當(dāng) t=18 時取等號，此時17tx 3913243 () 101010 yt t P A B C F E D 第 9 頁 共 16 頁 12 1, 11 x 答：當(dāng)時，花壇的面積與裝飾總費用的比最1x 大14 分 (注：注：對也可以通過求導(dǎo)，研究單調(diào)性求最值，同樣給分)y 18(1)線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，AB0 x BC30 xy 所以外接圓圓心，半徑，ABC(0,3)H 22 1310 圓的方程為 H 22 (3)10 xy 4 分 設(shè)圓心到直線 的距離為，因為直線 被圓截得的弦長為 2，所以HldlH 2 ( 10)13d 當(dāng)直線 垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；lx3x 6 分 當(dāng)直線 不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，則lx2(3)yk x ，解得， 2 31 3 1 k k 4 3 k 綜上，直線 的方程為或 l3x 4360 xy 8 分 (2)直線的方程為，設(shè)，BH330 xy( , )(01),( , )P m nmN x y 因為點是線段的中點，所以，又都在半徑為的圓MPN(,) 22 mx ny M ,M Nr 上，C 所以 即10 分 222 222 (3)(2), (3)(2). 22 xyr mxny r 222 222 (3)(2), (6)(4)4. xyr xmynr 因為該關(guān)于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以, x y(3,2)r 為圓心，(6,4)mn 為半徑的圓有公共點，所以,2r 2222 (2)(36)(24)(2 )rrmnrr 第 10 頁 共 16 頁 12 分 又，所以對成立330mn， 222 1012109rmmr，0 1m， 而在0，1上的值域為，10，所以 2 101210f mmm， 32 5 且15 分 2 32 5 r 2 r109 又線段與圓無公共點，所以對成立，BHC 222 (3)(332)mmr0 1m， 即. 2 32 5 r 故圓的半徑的取值范圍為 Cr 10 4 10 ,) 35 16 分 19(1)當(dāng)時， . 2a 2 ( )352(31)(2)fxxxxx 2 分 令 f (x)0，解得，所以 f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 1 2 3 x 1 ( 2,) 3 4 分 (2) ，由題意知消去， 2 ( )35fxxxa 2 00 32 0000 350 5 2 xxa xxaxbx a 得有唯一 32 000 5 20 2 xxxb 解6 分 令，則， 32 5 ( )2 2 g xxxx 2 ( )651(21)(31)g xxxxx 所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，( )g x 1 (,) 2 1 (,) 3 11 (,) 23 8 分 又， 11 () 28 g 17 () 354 g 故實數(shù)的取值范圍是 b 71 (,)(,) 548 10 分 (3)設(shè)，則點處切線方程為， 00 (,()A xf xA 000 ()()()yf xfxxx 第 11 頁 共 16 頁 與曲線：聯(lián)立方程組，得，即C( )yf x 000 ( )()()()f xf xfxxx ， 2 00 5 () (2) 2 xxxx 所以點的橫坐標(biāo) B 0 5 (2) 2 B xx 12 分 由題意知， 2 1000 ()35kfxxxa 2 2000 525 ( 2)1220 24 kfxxxa 若存在常數(shù)，使得，則， 21 kk 22 0000 25 1220(35) 4 xxaxxa 即存在常數(shù)，使得， 2 00 25 (4)(35)(1) 4 xxa 所以解得， 40, 25 (1)0. 4 a 4 25 12 a 15 分 故時，存在常數(shù)，使；時，不存在常數(shù)， 25 12 a 4 21 4kk 25 12 a 使16 分 21 kk 20(1)（）因為，所以， 2* 11 32(2,) nnn SSSnnn N 321 14SSS 即，又，所以， 321 2314aaa 12 ,3ax ax 3 149ax 2 分 又因為數(shù)列成等差數(shù)列，所以，即，解得， n a 213 2aaa6149xxx1x 所以； * 1 111221 n aandnnn N 4 分 （）因為，所以，其前項和， * 21 n annN 21 220 n an n b n0 n B 又因為， 22 21 1641 nnnnn ct btbbttb 5 分 所以其前項和，所以，n 2 1641 nn CttB 2 2 821 nnn CBttB 7 分 第 12 頁 共 16 頁 當(dāng)或時，；當(dāng)或時，； 1 4 t 1 2 t nn CB 1 4 t 1 2 t nn CB 當(dāng)時， 11 42 t 9 分 nn CB （2）由知， 2* 11 32(2,) nnn SSSnnn N 2 * 21 312() nnn SSSnn N 兩式作差，得， * 21 63(2,) nnn aaannn N 10 分 所以,作差得， * 321 613() nnn aaann N * 3 6(2,) nn aann N 11 分 所以，當(dāng)時，；1n 1n aax 當(dāng)時，；31nk 312 16366234 nk aaakxknx 當(dāng)時，；3nk 33 1614966298 nk aaakxknx 當(dāng)時，31nk ；14 分 314 161666267 nk aaakxknx 因為對任意，恒成立，所以且， * nN 1nn aa 12 aa 3133132kkkk aaaa 所以，解得，故實數(shù)的取值范圍 3 636698 698665 66563 xx kxkx kxkx kxkx 137 156 xx 為16 分 13 7 , 15 6 數(shù)學(xué)部分 21 【選做題選做題】 A(選修選修 41：幾何證明選講：幾何證明選講) 第 13 頁 共 16 頁 由圓與邊相切于點，得，因為，得，DACE90AEDDFAF90AFD 所以四點共圓,所以 ,A D F EDEFDAF 5 分 又， 111 ()(180)90 222 ADFABDBADABCBACCC 所以，由， 1 90 2 DEFDAFADFC 50C 得10 分25DEF B （選修選修 4-2：矩陣與變換）：矩陣與變換） 設(shè)曲線上任意一點，在矩陣所對應(yīng)的變換作用下得到點C： 22 1xy+=( , )P x yM ， 111 ( ,)P x y 則，即 1 1 0 0 xax byy 1 1 axx byy 5 分 又點在曲線上，所以，則為曲線 111 ( ,)P x y 2 2 1 4 x Cy： 2 2 1 1 1 4 x y 2 2 1 4 ax by 的方程C 又曲線的方程為，故，C 22 1xy+= 2 4a = 2 1b = 因為，所以 00ab，3ab+= 10 分 C （選修（選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 因為圓的極坐標(biāo)方程為，所以Csin2cos2 ，sin2cos2 2 所以圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心為,半徑C022 22 yxyx 2 2 , 2 2 為 1,4 分 第 14 頁 共 16 頁 因為直線 的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)） ，l 2 , 2 2 4 2 2 xt yt t 所以直線l上的點向圓 C 引切線長是 22 ,4 2 22 tt P ， 22 2 22 2222 4 214242 6 2222 tt PCRt 所以直線l上的點向圓 C 引的切線長的最小值是62 10 分 D （選修（選修 4-5：不等式選講）：不等式選講） 證法證法一：因為均為正數(shù)，由均值不等式得，a b c， 2 222 3 ()abcabc3 2 分 因為，所以 1 3 111 ()abc abc 3 2 2 3 111 ()abc abc ) 9 5 分 故 22 2222 33 111 ()()abcabcabc abc ) 39 又 3，所以原不等式成 22 33 ()9()2 276 3abcabc 立10