用奇偶函數(shù)與圖象的平移

奇(偶)函數(shù)與圖象的平移,復(fù)習(xí)回顧,奇函數(shù):,偶函數(shù):,(1)y=f(x)向右平移m個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-m);,y=f(x-m)向左平移m個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x).,(2)y=f(x)向左平移m個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+m);,y=f(x+m)向右平移m個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x).,滿足f(-x)=-f(x)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)(即點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；,滿足f(-x)=f(x)=f(|x|)，其圖象關(guān)于y軸(即直線x=0)對(duì)稱.,一、函數(shù)的奇偶性,二、圖象的平移：m0,此公式經(jīng)常用于解關(guān)于偶函數(shù)的不等式,回顧練習(xí),1.已知定義在(-3,3)上的偶函數(shù)f(x)在0,3)上是增函數(shù),則使不等式f(2x-1)f(x-2)成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.-1，1B.（-1，1）C.-1，1)D.(-1，1,解：f(x)是偶函數(shù),f(2x-1)f(x-2)等價(jià)于f(|2x-1|)f(|x-2|),又f(x)在0,3)上是增函數(shù),|2x-1|x-2|,(2x-1)2(x-2)2,(2x-1+x-2)(2x-1-x+2)0,即(3x-3)(x+1)0,解得-1x1,又f(x)定義在(-3,3)上,綜上,x的取值范圍是-10恒成立;函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),當(dāng)x1a,x2a,且|x1-a|x2-a|時(shí),有()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),練習(xí),解：方法一利用單調(diào)性：y=f(x+a)是偶函數(shù),y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱,x0恒成立,y=f(x)在(-,a)上是增函數(shù),在y=f(x)在(a,+)上是減函數(shù),x1a,x2a,|x1-a|x2-a|,故選A,f(2a-x1)=f(x1).,a-x1x2-a,2a-x1x2,且2a-x1a,x2a,(a,+)上是減函數(shù),f(2a-x1)f(x2),f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，,例2(2014濮陽二模)定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)于在(-,a)上任意的不等實(shí)數(shù)x1,x2,不等式(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立;函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),當(dāng)x1a,x2a,且|x1-a|x2-a|時(shí),有()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),練習(xí),解：方法二利用對(duì)稱性,y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱,x0恒成立,y=f(x)在(-,a)上是增函數(shù),在y=f(x)在(a,+)上是減函數(shù),x1a,x2a,|x1-a|x2-a|,x1,x2在直線x=a兩側(cè),且x2離直線x=a更遠(yuǎn)一些，,故選A,y=f(x+a)是偶函數(shù),1.定義在R上的函數(shù)y=f(x),在(-,2)上是增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)是奇函數(shù),當(dāng)x12,x22,且|x1-2|x2-2|時(shí),則f（x1）+f（x2）的值（）A.可能為0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可負(fù),練習(xí),B,2.(2013渭南二模)已知f(x)在(0,2)上是增函數(shù),f(x+2)是偶函數(shù),那么正確的是()Af(1)f(2.5)f(3.5)Bf(3.5)f(1)f(2.5)Cf(3.5)f(2.5)f(1)Df(2.5)f(1)f(3.5),3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)在(1,+)上是增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),那么()A.f(0)f(-1)f(4)B.f(0)f(4)f(-1)C.f(4)f(-1)f(0)D.f(-1)f(0)f(4),A,4.函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù),f(x+2)在0,+)上為減函數(shù),則f(-1),f(0),f(3)的大小關(guān)系為,f（3）f（0）f（-1）,新課內(nèi)容,結(jié)論：,(1)若函數(shù)f(x+a)為偶函數(shù),則函數(shù)f(-x+a)=f(x+a).,(2)若函數(shù)f(x+a)為奇函數(shù),則函數(shù)f(-x+a)=-f(x+a).,證明:(1)設(shè)F(x)=f(x+a),F(x)為偶函數(shù),F(-x)=F(x),f(-x+a)=f(x+a).,一方面,由f(-x+a)=f(x+a)可得,函數(shù)f(x)關(guān)于對(duì)稱.,另一方面,由f(x+a)為偶函數(shù)可得f(x+a)關(guān)于對(duì)稱,進(jìn)一步得到函數(shù)f(x)關(guān)于對(duì)稱.,事實(shí)上,直線x=a,y軸,直線x=a,(3)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則函數(shù)f(-x-a)=f(x+a).,(4)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)f(-x-a)=-f(x+a).,證明:(3)設(shè)t=x+a,f(x)為偶函數(shù),f(-t)=f(t),f(-x-a)=f(x+a).,例1已知函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù),f(x-1)是偶函數(shù),且f(2)=4,則f(2014)=(),解:函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù),題型三、求函數(shù)值,函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,f(x-1)是偶函數(shù),函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,f(x)=-f(2-x),f(x)=f(-2-x),f(2-x)=-f(-2-x),f(4-x)=f2-(x-2)=-f-2-(x-2)=-f(-x),f(8-x)=f4-(x-4)=-f-(x-4)=-f(4-x)=f(-x),f(x)的周期為8,f(2014)=f(2158+6)=f(6)=f(8-2)=f(-2),f(2-x)=-f(-2-x),f(2)=-f(-2),f(-2)=-f(2)=-4.,推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式很關(guān)鍵,例2定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x-1)是奇函數(shù),則f(2009)=()A.0B.2008C.2009D.-2008,解：f(x-1)是奇函數(shù),得到f(-x-1)=-f(x-1),又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x-1)=f(x+1),f(x+1)=-f(x-1),f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)-1=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),函數(shù)的周期是4,f(2009)=f(5024+1)=f(1),當(dāng)x=-1時(shí),f(-1+2)=-f(-1),即f(1)=-f(1),f(1)=0.f(2009)=0,故選A.,A,題型三、求函數(shù)值,推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式很關(guān)鍵,練習(xí),1.已知f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足:f(x)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù),若f(0.5)=3,則f(2012)+f(2014)+f(-2.5)等于()A.-9B.9C.-3D.3,解：f(x-1)是奇函數(shù),f(-x-1）=-f(x-1),又f(x)是偶函數(shù),f(-x-1)=f(x+1),f(x+1)=-f(x-1),f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)-1=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x+4),f(x)的最小正周期為4.f(2012)=f(5034)=f(0),f(2014)=f(5034+2)=f(2),f(x+1)=-f(x-1),f(2)=-f(0),即f(2)+f(0)=0;f(2012)+f(2014)=0,又f(x+1)=-f(x-1),且f(x)是偶函數(shù),f(-2.5)=f(1.5-4)=f(1.5)=f(1+0.5)=-f(0.5-1)=-f(-0.5)=-f(0.5)=-3,綜上所述,f(2012)+f(2014)+f(-2.5)=-3.故選：C.,C,推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式很關(guān)鍵,練習(xí),2.已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),函數(shù)y=g(x)是R上的偶函數(shù),且f(x)=g(x+2),當(dāng)0x2時(shí),g(x)=x-2,則g(10.5)的值為()A.-1.5B.8.5C.-0.5D.0.5,解：函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),并且f(x)=g(x+2),f(-x)=-f(x),即g(-x+2)=-g(x+2),又函數(shù)y=g(x)是R上的偶函數(shù),g(-x-2)=g(x+2),g(-x-2)=-g(-x+2),g(x-2)=-g(x+2),g(x-4)=g(x-2)-2=-g(x-2)+2=-g(x),g(x-8)=g(x-4)-4=-g(x-4)=-g(x)=g(x),g(x)是周期函數(shù),并且周期為8.g(10.5)=g(8+2.5)=g(2.5)=g(2+0.5)=-g(0.5-2)=-g(-1.5)=-g(1.5),當(dāng)0x2時(shí),g(x)=x-2,g(1.5)=1.5-2=-0.5,g(10.5)=-g(1.5)=0.5.故選D,D,推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式很關(guān)鍵,練習(xí),3.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),g(x)是R上的偶函數(shù),且g(x)=f(x-1),則f(2012)的值為()A.2B.0C.-2D.2,解：g(x)=f(x-1)是R上的偶函數(shù),f(-x-1)=f(x-1),f(x)是在R上的奇函數(shù),f(-x-1)=-f(x+1),f(x-1)=-f(x+1),f(x-2)=f(x-1)-1=-f(x-1)+1=-f(x),f(x-4)=f(x-2)-2=-f(x-2)=-f(x)=f(x),f(x)的周期為4,f(2012)=f(4503)=f(0)=0.故選B,D,推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式很關(guān)鍵,練習(xí),4.(2011溫州二模)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),且y=f(x+1)為偶函數(shù),f(1)=1,則f（3）+f（4）=,-1,5.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),且y=f(x+1)為奇函數(shù),f(0)=2,則f(4)+f（5）=,2,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1.已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)=1,則f(-2)=()A.-1B.1C.-5D.5,D,2.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=x2+x-6(x0),則f(x-2)0的解集（）A.（-，-2）（4，+）B.（-，0）（4，+）C.（-，0）（6，+）D.（-，-2）（2，+）,B,3.(2011河南模擬)若f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x0,+)時(shí),f(x)=x-1,則f(x-1)0的解集是（）A.（-1，0）B.（-，0）（1，2）C.（1，2）D.（0，2）,D,4.(2011百色模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,2)上是增函數(shù),且f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，則（）A.f（0）f（3）B.f（0）f（3）C.f（-1）=f（3）D.f（0）=f（3）,A,5.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)+f(x)=0,且函數(shù)f(x+1)為奇函數(shù),對(duì)于下列命題:函數(shù)f(x)是以T=2為周期的函數(shù);函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱;函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱;函數(shù)f(x)的最大值為f(2);f(2011)=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.B.C.D.,B,達(dá)標(biāo)檢測(cè),C,6.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件f(x+)=-f(x),且函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),給出以下結(jié)論：函數(shù)f(x)是周期函數(shù);函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱；函數(shù)f(x)是偶函數(shù);函數(shù)f(x)在R上