概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章ppt課件

.,第五章大數(shù)定律與中心極限定理1切貝謝夫不等式,研究隨機(jī)變量的離差與方差的關(guān)系。,切貝謝夫不等式：,.,.,.,.,用切貝謝夫不等式估計(jì)：,7000,2100,.,.,2大數(shù)定律,測(cè)量多次，結(jié)果的計(jì)算平均值未必等于a,測(cè)量次數(shù)很大時(shí)，算術(shù)平均值接近于a,這種現(xiàn)象為平均結(jié)果的穩(wěn)定性。,大量隨機(jī)現(xiàn)象中的平均結(jié)果與每一個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象無關(guān)，幾乎不再隨機(jī)。,例2測(cè)量一個(gè)長度a，一次測(cè)量，結(jié)果未必等于a,.,=1,.,也稱為切貝謝夫大數(shù)定律。,它有如下重要的推論。,.,大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率接近于概率。,若P(A)很小，則A發(fā)生的頻率也很小,如P(A)=0.001,約在1000次試驗(yàn)中，A發(fā)生一次,在一次試驗(yàn)中認(rèn)為A幾乎不可能發(fā)生。,這稱為小概率事件的實(shí)際不可能性原理。,.,實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)某一量a，在不變條件下重復(fù)測(cè)量n次，得到觀察值x1,xn,.,3中心極限定理,釘板試驗(yàn),.,研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限，這一類定理稱為中心極限定理。,一般地，若某項(xiàng)偶然因素對(duì)總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項(xiàng)起特別突出的作用，則這些大量獨(dú)立偶然因素總和的隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。,.,這就是如下的李雅普諾夫定理：,.,例1一個(gè)螺絲釘重量是一個(gè)隨機(jī)變量，期望值是1兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩。求一盒(100個(gè))同型號(hào)螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率。,=0.02275,.,例2對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率。,0.87644,.,=0.008158,.,解法二：,正態(tài)分布的線性函數(shù)也是正態(tài)分布,0.5,=0.008158,.,例4某大型商場(chǎng)每天接待顧客10000人，設(shè)某位顧客的消費(fèi)額(元)服從100,1000上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是獨(dú)立的，試求該商場(chǎng)的銷售額在平均銷售額上、下浮動(dòng)不超過20000元的概率。,.,例5計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，每個(gè)加數(shù)取整數(shù)(四舍五入)，設(shè)所有取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在-0.5，0.5上服從均勻分布。(1)若將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對(duì)值超過15的概率是多少？(2)最少幾個(gè)數(shù)相加在一起可使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不超過90？,=0.18024,.,(2)設(shè)有n個(gè)數(shù)相加,.,二項(xiàng)分布可以看成多個(gè)0-1分布之和,當(dāng)n增加時(shí)，它以正態(tài)分布為極限。,.,例610部機(jī)器獨(dú)立工作，每部停機(jī)的概率為0.2，求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率。,(1)直接計(jì)算,相差較大，這是因?yàn)閚較小。,.,例7每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率。,n=500p=0.01,(1)直接計(jì)算,0.17635,(2)用局部極限定理,0.1793,.,(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布計(jì)算,P5(5)=0.175467,比用正態(tài)分布更精確,正態(tài)分布與Poisson分布都是二項(xiàng)分布的極限分布。,用Poisson分布近似計(jì)算比用正態(tài)分布精確,.,實(shí)際應(yīng)用更多的是積分極限定理,n=10000p=0.005,=0.9977,例8產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率。,.,例9已知一次試驗(yàn)中P(A)=0.75,分別用切貝謝夫不等式與中心極限定理計(jì)算。(1)在1000次試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)在700-800之間的概率。(2)n取多大時(shí)，才能使n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的頻率在0.740.76間的概率至少為0.9？,n=1000p=0.75,用切貝謝夫不等式計(jì)算,=0.925,.,用正態(tài)分布計(jì)算,用切貝謝夫不等式,.,用正態(tài)分布,.,例10某單位有200臺(tái)