2010年高考全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)試題答案及解析

. . 絕密絕密啟用前啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)( (必修必修+ +選修選修 II)II) 本試卷分第 I 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁(yè)。第卷 3 至 4 頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第第 I I 卷卷 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改 動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。 3第 I 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式A、B ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑A、B 球的體積公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 p 3 3 4 VR 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一選擇題一選擇題 (1)復(fù)數(shù) 32 23 i i (A) (B) (C)12-13 (D) 12+13 iiii 1A【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,重點(diǎn)考查分母實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧. 【解析】. 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii (2)記,那么cos( 80 )k tan100 A. B. - C. D. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2.B 【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識(shí)，并突 出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. . . 【解析】,所以 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k (3)若變量滿足約束條件則的最大值為, x y 1, 0, 20, y xy xy 2zxy (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力. 【解析】畫(huà)出可行域（如右圖） ，由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,-1)時(shí)，z 最大，且 最大值為. max 1 2 ( 1)3z （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則 n a 123 a a a 789 a a a = 456 a a a (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 2 4.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0: 20lxy L0 2 2 A . . 知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知， 3 1231322 ()5a a aa aaaA 10,所以, 3 7897988 ()a a aa aaaA 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA (5)的展開(kāi)式中 x 的系數(shù)是 353 (12) (1)xx (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.B 【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與其二 項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力. 【解析】 35533 (12) (1)(1 6128)(1)xxxxx xx 故的展開(kāi)式中含 x 的項(xiàng)為 353 (12) (1)xx ,所以 x 的系數(shù)為-2. 3303 55 1()1210122CxxCxxx (6)某校開(kāi)設(shè) A 類選修課 3 門(mén)，B 類選擇課 4 門(mén)，一位同學(xué)從中共選 3 門(mén)， 若要求兩類課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有 (A) 30 種 (B)35 種 (C)42 種 (D)48 種 6.A【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類討論的 數(shù)學(xué)思想. 【解析】:可分以下 2 種情況:(1)A 類選修課選 1 門(mén),B 類選修課選 2 門(mén),有 種不同的選法;(2)A 類選修課選 2 門(mén),B 類選修課選 1 門(mén),有種不 12 34 C C 21 34 C C 同的選法.所以不同的選法共有+種. 12 34 C C 21 34 18 1230C C (7)正方體 ABCD-中，B與平面 AC所成角的余弦值為 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 . . A B C D A1 B1 C1 D1 O 7.D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離 的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思 1 D 想的具體體現(xiàn). 【解析】因?yàn)?BB1/DD1,所以B與平面 AC所成角和DD1與平面 AC所成角 1 B 1 D 1 D 相等,設(shè) DO平面AC，由等體積法得,即 1 D 11 D ACDDACD VV .設(shè) DD1=a, 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 則,. 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以,記 DD1與平面 AC所成角為,則 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D ,所以. 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 （8）設(shè) a=2,b=In2,c=,則 3 log 1 2 5 A abc Bbca C cab D cba 8.C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí) 數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用. 【解析】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab, 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c=,而,所以 ca,綜上 cab. 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 (9)已知、為雙曲線 C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) p 在 C 上，p=，則 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 P 到 x 軸的距離為 (A) (B) (C) (D) 3 2 6 2 36 9.B 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的 . . 數(shù)學(xué)思想，通過(guò)本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力. 【解析】不妨設(shè)點(diǎn) P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得 00 (,)xy ，.由 2 1000 |()12 a PFe xaexx c 2 2000 |)21 a PFe xexax c 余弦定理得 cosP=,即 cos, 1 F 2 F 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF 0 60 222 00 00 (12)( 21)(2 2) 2(12)( 21) xx xx 解得,所以，故 P 到 x 軸的距離為 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 | 2 y （10）已知函數(shù) F(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),則 a+2b 的取值范圍是 (A) (B) (C) (D)(2 2,)2 2,)(3,)3,) 10.A 【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在 做本小題時(shí)極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+2b,從而錯(cuò)選 2 2 2a a A,這也是命題者的用苦良心之處. 【解析】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+2b= 1 b a 2 a a 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范圍是(3,+). 2 1 （11）已知圓 O 的半徑為 1，PA、PB 為該圓的兩條切線，A、B 為倆切點(diǎn)，那么 的最小值為PA PB (A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的 求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù) 學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力. 【解析】如圖所示：設(shè) PA=PB=,APO=x(0)x ,則APB=，PO=，2 2 1x ， 2 1 sin 1x =，令，| |cos2PA PBPAPB 22 (1 2sin)x 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x PA PBy P A B O . . 則，即，由是實(shí)數(shù)，所以 42 2 1 xx y x 42 (1)0 xy xy 2 x ，解得或. 2 (1)4 1 ()0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 故.此時(shí). min ()32 2PA PB 21x （12）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點(diǎn)，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體 積的最大值為 (A) (B) (C) (D) 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過(guò) 球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力. 【解析】過(guò) CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 與 P,設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為,則有h ,當(dāng)直徑通過(guò) AB 與 CD 的中點(diǎn)時(shí),故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面體 22 max 2 212 3h . max 4 3 3 V 絕密啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)(必修+選修 II) 第卷 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號(hào)填寫(xiě)清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng) 認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2第卷共 2 頁(yè)，請(qǐng)用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。 3。第卷共 l0 小題，共 90 分。 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線 上 (注意：在試題卷上作答無(wú)效) (13)不等式的解集是 . 2 211xx 13.0,2 【命題意圖】本小題主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根號(hào)是解根式不 等式的基本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致. . . 1 2 x y=1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 解析:原不等式等價(jià)于解得 0x2. 22 21(1) , 10 xx x (14)已知為第三象限的角，,則 . 3 cos2 5 tan(2 ) 4 14【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角 1 7 的正切公式,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能. 【解析】因?yàn)闉榈谌笙薜慕?所以，又2(2(21) ,2(21) )()kkkZ 0, 所以,于是有, 3 cos2 5 2(2(21) ,2(21) )() 2 kkkZ 4 sin2 5 ,所以. sin24 tan2 cos23 tan(2 ) 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 (15)直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 .1y 2 yxxaa 15.(1,【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的解法,著重考查了數(shù) 5) 4 形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 【解析】如圖，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出直線與曲線,觀圖可知，a1y 2 yxxa 的取值必須滿足解得. 1 , 41 1 4 a a 5 1 4 a (16)已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段FCB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 .BFCDBF2FD uu ruur C 16. 2 3 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第 二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想, 本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾 何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑. 【解析】如圖，, 22 |BFbca 作軸于點(diǎn) D1,則由，得 1 DDyBF2FD uu ruur ,所以, 1 |2 |3 OFBF DDBD 1 33 | 22 DDOFc xO y B F 1 D D . . 即,由橢圓的第二定義得 3 2 D c x 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由,得,整理得.| 2|BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 兩邊都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 三解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算 步驟 (17)(本小題滿分 10 分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角ABCVABabcotcotabaAbB C 17. 【命題意圖】本小題主要考查三角恒等變形、利用正弦、余弦定理處理三角形中的 邊角關(guān)系，突出考查邊角互化的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. (18)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審若能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審， 則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專家的 評(píng) 審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予 錄 用設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為 05，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為 03 各專家獨(dú)立評(píng)審 (I)求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率； (II)記表示投到該雜志的 4 篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的分布列及期望XX 18. 【命題意圖】本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、相互獨(dú)立試驗(yàn)、 分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí),以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查分類與整合思 想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. （19） （本小題滿分 12 分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 如圖，四棱錐 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 為棱 SB 上的一點(diǎn)，平面 EDC 平面 SBC . （）證明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . . . 【命題意圖】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二 面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力. (20)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 已知函數(shù).( )(1)ln1f xxxx （）若