函數(shù)_二階不動點(diǎn)_問題的求解策略_以2013年高考數(shù)學(xué)題為例_徐明VIP

函數(shù)/ 二階不動點(diǎn)0問題的求解策略 ) 以 2013 年高考數(shù)學(xué)題為例 徐 明 (江蘇省東?？h教師進(jìn)修學(xué)校, 222300) 我們先看 2013 年高考數(shù)學(xué)江西卷理科第 21 題 以及官方提供的解答(這里僅研究第(2)問的相關(guān)問 題): 試題 1 (2013 年高考數(shù)學(xué)江西卷理科第 21 題) 已知函數(shù)f ( x )= a(1- 2| x - 1 2 | ), a 為常數(shù)且 a 0. (1)( 3)略; (2) 若 x0滿足 f (f ( x0) )= x0, 但 f ( x0) X x0, 則 x0稱為函數(shù)f ( x )的二階周期點(diǎn), 如果f ( x) 有兩 個二階周期點(diǎn) x1, x2, 試確定 a 的取值范圍. 原解答 ( 1)(3)略; (2) 當(dāng) 0 1 2 , 所以 f (f ( x )= x 有解集 x | x 1 2 , 又當(dāng) x 1 2 時, f ( x) = x , 故 x| x 1 2 中的所有點(diǎn)都不是 二階周期點(diǎn). 當(dāng) a 1 2 時, 有 f (f ( x) )= 4a2x, x 1 4a, 2a- 4a2x , 1 4a 1 2 . 我想命題者的解答是基于如下的解題策略: 先 通過函數(shù)迭代, 求出函數(shù) f ( f ( x ) ) 的解析式, 再化 歸為方程 f (f ( x ) = x 的解的問題. 這種解法的優(yōu) 點(diǎn)是思路清晰, 但最大缺點(diǎn)就是函數(shù)迭代的復(fù)雜性. 因?yàn)?本題 中 的函 數(shù)是 一 個分 段函 數(shù), 所以 求 f (f ( x )的解析式不是一蹴而就的事. 正如解答所 示, 求f (f ( x ) 的解析式不僅需要分類討論, 而且討 論相對比較麻煩, 既要考慮 x 與 1 2 的大小關(guān)系, 還 要兼顧 2ax 與 1 2 , 2a(1- x ) 與 1 2 的大小關(guān)系, 分段 十分復(fù)雜(由 a 1 2 時f (f ( x ) )解析式的結(jié)構(gòu)可見 一斑). 實(shí)際上, 解答呈現(xiàn)的只是命題者思考的結(jié)果, 而這個思考過程對考生的運(yùn)算能力、 分類討論、 轉(zhuǎn)化 與化歸能力都提出了較高的要求. 一般地, 對于定義在區(qū)間 D 上的函數(shù) y = f ( x) . 若存在 x0I D, 使得 f ( x0) = x0, 則稱 x0 是函數(shù)f ( x )的一階不動點(diǎn), 簡稱不動點(diǎn); 若存在 x0I D, 使得 f (f ( x0) = x0, 則稱 x0是函數(shù)f ( x) 的二階不動點(diǎn). 本考題中的/ 二階周期點(diǎn)0就是指非 / 一階不動點(diǎn)0的/ 二階不動點(diǎn)0. 問題是上述的解題 過程非常復(fù)雜, 這類求解/ 二階不動點(diǎn)0的數(shù)學(xué)問題, 其求解策略是否可以進(jìn)一步優(yōu)化? 特別是, 是否可 以避免進(jìn)行函數(shù)迭代呢? 55 #復(fù)習(xí)參考# 數(shù)學(xué)通訊 )2013 年第 10 期 ( 下半月) 再看一道高考題: 試題 2 (2013 年高考數(shù)學(xué)四川卷文科第 10 題) 設(shè)函數(shù)f ( x) =ex+ x- a ( a I R, e 為自然對 數(shù)的底數(shù)). 若存在 b I 0, 1 使 f (f ( b) = b 成立, 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) (A) 1, e . (B) 1, 1+ e . (C) e, 1+ e .(D) 0, 1 . 顯然, 本題中直接進(jìn)行函數(shù)迭代, 去研究方程 e eb+ b- a+ eb+ b- a- a= b 解的問題是非常 困難的. 因?yàn)楹瘮?shù)迭代只能使函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化, 所以 優(yōu)化求解策略的關(guān)鍵是盡量不進(jìn)行函數(shù)迭代, 相反 應(yīng)該把迭代的過程進(jìn)行拆分, 考慮引進(jìn)中間變量, 化 一個一元方程為兩個二元方程來求解. 試題 2 的解 設(shè) f ( b)= c, f ( c)= b. 若 b c, 則 f ( c) f ( b), 這與函數(shù)f ( x ) = ex+ x - a是增函數(shù)矛盾; 若 b 1 2 . 設(shè) x1為函數(shù)f ( x) 的二階周期點(diǎn), 則有 f ( x1) = x2( x1X x2), 且 f ( x2) = x1. 此時有 f ( f ( x2) )= f ( x1) = x2, 即 x2也是函 數(shù)f ( x )的二階周期點(diǎn). 又因?yàn)?a 0, f ( x ) 在區(qū)間( - , 1 2 上是單調(diào) 增函數(shù), 所以 x1, x2不可能都在區(qū)間( - , 1 2 上, 即應(yīng)有 x1 1 2 x2或 1 2 x1 x2. 若 x1 1 2 x2, 則有 2ax1= x2, 2a(1- x2) = x1, 解 得 x1= 2a 1+ 4a2 , x2= 4a2 1+ 4a2 , 由 2a 1+ 4a2 1, 解得 a 1 2 . 參考文獻(xiàn): 1 彭家麒. 函數(shù)的不動點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn) J. 數(shù)學(xué)教學(xué), 2011(7). ( 收稿日期: 2013- 06- 26) 自主招生中以高等數(shù)學(xué)知識為背景的數(shù)列題 何 世 得 ( 華東師大數(shù)學(xué)系, 200062) 范 端 喜 ( 華東師大二附中, 200241) 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 在高等數(shù)學(xué)中也 占有重要的地位, 因此是溝通高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué) 的重要橋梁, 在自主招生考試中備受命題者青睞. 本 文對近年來自主招生考試中涉及高等數(shù)學(xué)知識的數(shù) 列題做一歸納和評析, 供各位讀者參考. 1 以數(shù)列極限的 E -N 定義為背景的數(shù)列題 設(shè) an為數(shù)列, a 為定數(shù). 若對任給的正數(shù) E , 總存在正整數(shù) N , 使得當(dāng) n N 時有| an- a| N 時, 有| f ( n) - a| 0 且為 常數(shù)). (1) 求證: 對任意正數(shù) M 存成N I N*, 當(dāng) n N 時, 有 an M. (