2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（山東卷含答案）

絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁。滿分150分?？荚囉脮r120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。2第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答案寫在試卷上無效。3第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4、填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。參考公式： 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A、B獨立，那么P（AB）=P(A)P(B)第I卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的.（1）設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域為,則（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）-2,1)（2）已知,i是虛數(shù)單位，若，則a=（A）1或-1 （B） （C）- （D）（3）已知命題p:；命題q：若ab，則，下列命題為真命題的是（A） （B） （C） （D）（4）已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6（5）為了研究某班學生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為已知，該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為（A） （B） （C） （D）（6）執(zhí)行兩次右圖所示的程序框圖，若第一次輸入的的值為，第二次輸入的的值為，則第一次、第二次輸出的的值分別為（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0（7）若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）（8）從分別標有，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）（9）在中，角，的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）（10）已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分（11）已知的展開式中含有項的系數(shù)是，則 .（12）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是 .(13)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 .（14）在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .（15）若函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有性質(zhì)的函數(shù)的序號為 .三、解答題：本大題共6小題，共75分。（16）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中.已知.（）求；（）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.（17）（本小題滿分12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點.（）設(shè)是上的一點，且，求的大??；（）當，求二面角的大小.（18）（本小題滿分12分）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.（19）（本小題滿分12分）已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項公式；（）如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.（20）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.（21）（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（）求橢圓的方程；（）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學試題參考答案一、選擇題（1）D （2）A （3）B （4）C （5）C（6）D （7）B （8）C （9）A （10）B二、填空題（11） （12） (13) （14） （15）三、解答題：本大題共6小題，共75分。（16）解：（）因為，所以由題設(shè)知，所以，.故，又，所以.（）由（）得所以.因為，所以，當，即時，取得最小值.（17）解：（）因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，因此（）解法一：取的中點，連接，.因為，所以四邊形為菱形，所以.取中點，連接，.則，所以為所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，故所求的角為.解法二：以為坐標原點，分別以，所在的直線為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意得，故，設(shè)是平面的一個法向量.由可得取，可得平面的一個法向量.設(shè)是平面的一個法向量.由可得取，可得平面的一個法向量.所以.因此所求的角為.（18）解：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學期望是=2（19）解：(I)設(shè)數(shù)列的公比為，由已知.由題意得，所以，因為,所以，因此數(shù)列的通項公式為（II）過向軸作垂線，垂足分別為,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以+=+ 又+ -得= 所以（20）（本小題滿分13分）解：（）由題意又，所以，因此 曲線在點處的切線方程為，即 .（）由題意得 ，因為，令則所以在上單調(diào)遞增.因為所以 當時，當時，(1)當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以 當時取得極小值，極小值是 ；(2)當時，由 得 ，當時，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以 當時取得極大值.極大值為，當時取到極小值，極小值是 ；當時，所以 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當時，所以 當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以 當時取得極大值，極大值是；當時取得極小值.極小值是.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是；