安徽省師范大學(xué)附屬中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）

安徽省師范大學(xué)附屬中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1. 若直線的傾斜角為,則該直線的斜率為()A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】解：直線的傾斜角為,該直線的斜率為故選：D由直線的斜率等于傾斜角的正切值求解本題考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系,是基礎(chǔ)的計(jì)算題2. 若點(diǎn)到直線的距離是,則實(shí)數(shù)a為 A. B. 5C. 或5D. 或3【答案】C【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題解題時(shí)應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出實(shí)數(shù)a的值【解答】解：點(diǎn)到直線的距離是,所以；即,解得,或,所以實(shí)數(shù)a的值為或5故選C3. 若三直線：,：,：經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),則()A. 1B. C. 3D. 【答案】D【解析】解：三直線：,：,：經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),故：,：的交點(diǎn)在直線：上,故有,求的,故選：D三直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),其中兩條直線的交點(diǎn)也在第三條直線上,從而求得a的值本題主要考查三直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題4. 一圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4,其側(cè)面積為,則這個(gè)圓錐的體積為 A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：圓錐的展開(kāi)圖為扇形,半徑,側(cè)面積為為扇形的面積,所以扇形的面積,解得,所以弧長(zhǎng),所以底面周長(zhǎng)為,由此可知底面半徑,所以底面面積為,圓錐體的高為,故圓錐的體積,故選：C利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖,扇形的面積,然后轉(zhuǎn)化求解圓錐的體積本題考查圓錐的體積的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力5. 某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：底面ABCD,可得三角形PCD不是直角三角形所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形,分別為：,故選：C畫(huà)出三視圖的直觀圖,判斷各個(gè)面的三角形的情況,即可推出結(jié)果本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的應(yīng)用,是基本知識(shí)的考查6. 過(guò)點(diǎn)作直線,若直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等,則滿(mǎn)足條件的直線有()A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條【答案】B【解析】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),直線方程為,即當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為,把點(diǎn)代入可得, 此時(shí),直線方程為,故滿(mǎn)足條件的直線有2條, 故選：B當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),用點(diǎn)斜式求得直線方程；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為,把點(diǎn)代入可得,故滿(mǎn)足條件的直線有2條本題考查直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距的定義,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,注意考慮直線過(guò)原點(diǎn)的情況,這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)7. 已知三棱錐中,PA,PB,PC兩兩垂直,且,則三棱錐外接球的表面積為 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本題考查多面體外接球表面積的求法,訓(xùn)練了利用“分割補(bǔ)形法”求多面體的體積,是基礎(chǔ)題由三棱錐的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直且相等,直接補(bǔ)形為正方體求解【解答】解：如圖,把三棱錐補(bǔ)形為正方體,可得三棱錐外接球的半徑三棱錐外接球的表面積為故選：D8. 已知點(diǎn),直線m過(guò),且與線段AB相交,求直線m的斜率k的取值范圍為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：根據(jù)題意,直線m過(guò),設(shè)直線m的方程為,即,若直線m與線段AB相交,即A、B在直線的兩側(cè)或直線上,則有,解可得：或；故選：A根據(jù)題意,設(shè)直線m的方程為,分析可得若直線m與線段AB相交,即A、B在直線的兩側(cè)或直線上,則有,解可得k的范圍,即可得答案本題考查一元二次不等式組表示平面區(qū)域的問(wèn)題,注意直線m與線段AB相交,即A、B在直線的兩側(cè)或直線上9. 已知a、b為不重合的直線,為平面,下列命題：若,則；若,則；若,則；若,則,其中正確的有()個(gè)A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：錯(cuò),若,則或, 錯(cuò),若,則a與b平行或異面, 錯(cuò),若,則或, 錯(cuò),若,則或故選：A由空間中的線面關(guān)系逐個(gè)核對(duì)四個(gè)命題得出答案屬于基礎(chǔ)題,考查直線與平面的位置關(guān)系,空間想象能力10. 已知直線和直線都過(guò)點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：把坐標(biāo)代入兩條直線和,得,過(guò)點(diǎn),的直線的方程是：,則,所求直線方程為：故選：B把坐標(biāo)代入兩條直線和得,求出,再用兩點(diǎn)式方程求過(guò)點(diǎn),的直線的方程本題考查直線方程的求法,解題時(shí)要結(jié)合題設(shè)條件,合理地選用解題方法,注意公式的靈活運(yùn)用,是基礎(chǔ)題11. 如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)E在線段上,F、M分別是AD、CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A. B. 平面C. 存在點(diǎn)E,使得平面平面D. 三棱錐的體積為定值【答案】C【解析】解：在A中,因?yàn)镕、M分別是AD、CD的中點(diǎn),所以,故A正確；在B中,由平面幾何得,又有,所以平面,故B正確；在C中,BF與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn)E,使得平面平面,故C錯(cuò)誤在D中,三棱錐以面BCF為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故D正確故選：C在A中,由F、M分別是AD、CD的中點(diǎn),得到；在B中,由,得平面；在C中,BF與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn)E,使得平面平面；在D中,三棱錐以面BCF為底,則高是定值,從而三棱錐的體積為定值本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題12. 如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn),P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),若平面 則線段長(zhǎng)度的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：如下圖所示：分別取棱、的中點(diǎn)M、N,連接MN,連接,、N、E、F為所在棱的中點(diǎn),又平面AEF,平面AEF,平面AEF；,四邊形為平行四邊形,又平面AEF,平面AEF,平面AEF,又,平面平面AEF,是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),且平面AEF,則P必在線段MN上,在中,同理,在中,求得,為等腰三角形,當(dāng)P在MN中點(diǎn)O時(shí),此時(shí)最短,P位于M、N處時(shí)最長(zhǎng),所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是故選：B分別取棱、的中點(diǎn)M、N,連接MN,易證平面平面AEF,由題意知點(diǎn)P必在線段MN上,由此可判斷P在M或N處時(shí)最長(zhǎng),位于線段MN中點(diǎn)處時(shí)最短,通過(guò)解直角三角形即可求得本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力,屬中檔題,解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找P點(diǎn)位置二、填空題（本大題共4小題）13. 過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為_(kāi)【答案】【解析】解：直線的斜率為,由垂直關(guān)系可得所求直線的斜率為,所求直線的方程為,化為一般式可得故答案為：由垂直關(guān)系可得直線的斜率,進(jìn)而可得點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可本題考查直線的一般式方程與垂直關(guān)系,屬基礎(chǔ)題14. 底面邊長(zhǎng)6,側(cè)面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為_(kāi)【答案】【解析】解：過(guò)A向底面BCD做垂線,垂足為O,由正三棱錐知,底面為正三角形,O為三角形ABC的中心,所以,因?yàn)閭?cè)面為等腰直角三角形,所以側(cè)棱,在中,有勾股定理所以故答案為由正三棱錐知,底面為正三角形,得OB長(zhǎng),在直角三角形OAB中得AO即為正三棱錐的高本題考查正三棱錐的性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題15. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)A,B分別在x軸和直上,C為定點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)【答案】【解析】解：點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為三角形PAB周長(zhǎng)的最小值為與兩點(diǎn)之間的直線距離,故答案為：點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為三角形PAB周長(zhǎng)的最小值為與兩點(diǎn)之間的直線距離本題考查點(diǎn)到直線的距離公式,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化16. 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑,且；則此棱錐的體積為_(kāi)【答案】【解析】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O,過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為,則平面ABC,延長(zhǎng)交球于點(diǎn)D,則平面ABC,高,是邊長(zhǎng)為1的正三角形,故答案為根據(jù)題意作出圖形,利用截面圓的性質(zhì)即可求出,進(jìn)而求出底面ABC上的高SD,即可計(jì)算出三棱錐的體積利用截面圓的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵三、解答題（本大題共5小題）17. 已知直線：,：,求：若,求m的值；若,求m的值【答案】解：時(shí),兩條直線不垂直,舍去時(shí),解得綜上可得：由,解得：或經(jīng)過(guò)驗(yàn)證時(shí)兩條直線重合,舍去時(shí),【解析】對(duì)m分類(lèi)討論,利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出由,解得：或經(jīng)過(guò)驗(yàn)證時(shí)兩條直線重合,舍去本題考查了直線平行與垂直的充要條件、分類(lèi)討論方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題18. 在四棱錐中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,且 求證：平面PAC；求異面直線BC與PD所成的角【答案】解：證明：平面ABCD,平面ABCD, , 又為正方形, , ,AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線, 平面PAC 解：為正方形, , 為異面直線BC與PD所成的角由已知可知,為直角三角形,且, , , 異面直線BC與AD所成的角為【解析】由題意易得且,又由PA,AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線,即可得平面PAC ,所以為異面直線BC與PD所成的角解三角形得所以異面直線BC與AD所成的角為本題考查線面垂直的條件直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,解決異面直線的夾角關(guān)鍵是平移線段使其相交且存在于同一個(gè)三角形中19. 已知直線l：證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限,求k的取值范圍；若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)的面積為S,求S的最小值及此時(shí)直線l的方程【答案】解：直線l的方程可化為,故無(wú)論k取何值,直線l總過(guò)定點(diǎn)直線l的方程可化為,則直線l在y軸上的截距為,要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限,則,解得k的取值范圍是依題意,直線l在x軸上的截距為,在y軸上的截距為,又且,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),故S的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為【解析】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,直線在坐標(biāo)系中的位置,以及基本不等式的應(yīng)用注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件屬難題直線l的方程可化為,直線l過(guò)定點(diǎn)；要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限,則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負(fù)數(shù),解出k的取值范圍；先求出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距,代入三角形的面積公式,再使用基本不等式可求得面積的最小值20. 如圖,在直三棱柱中,M,N分別為棱AC,的中點(diǎn),且求證：平面平面求證：平面【答案】證明：因?yàn)镸為棱AC的中點(diǎn),且,所以,又因?yàn)槭侵比庵?所以平面ABC因?yàn)槠矫鍭BC,所以又因?yàn)锳C,平面且,所以平面因?yàn)槠矫鍮MN,所以：平面平面取BC的中點(diǎn)P,連接和MP因?yàn)镸、P為棱AC、BC的中點(diǎn),所以,且,因?yàn)槭侵比庵?所以,因?yàn)镹為棱的中點(diǎn),所以,且；所以,且；所以是平行四邊形,所以又因?yàn)槠矫鍮CC,平面所以平面注意：也可以取的中點(diǎn),同理用線面平行的判定定理證得說(shuō)明：如用面面平行的性質(zhì)定理證的話,一定先證線面平行,得到面面平行,再用面面平行的性質(zhì)定理證得【解析】利用線線垂直,可得線面垂直平面,再有線面垂直得平面平面 利用證明是平行四邊形得證平面本題考查線面垂直,面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)和判定定理考查證明平行垂直的線的關(guān)系,屬于中檔題21. 如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面ABCD,平面ABCD,證明：平面平面DCE；在DE上是否存在一點(diǎn)G,使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上下兩部分的體積比為3：11？若存在,求出點(diǎn)G的位置；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：平面ABCD,