人教版八年級上冊數(shù)學(xué)講義

八年級數(shù)學(xué)講義第11章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形要點：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接2三角形的表示ABC中，邊：AB，BC，AC 或 c，a，b頂點：A，B，C 內(nèi)角：A ，B ，C二、 三角形的邊1. 三角形的三邊關(guān)系:（證明所有幾何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意兩邊之和大于第三邊:b+ca(2) 三角形任意兩邊之差小于第三邊:b-ca時,就可構(gòu)成三角形.1.2 確定三角形第三邊的取值范圍: 兩邊之差第三邊AE，CE=ABAB+ACAE DE=ADAE=2AD AB+ACAE AB+AC2AD例2如圖CB，CD分別是鈍角AEC和銳角ABC的中線，且AC=AB求證：CE=2CD證明：延長CD至，使DF=CD，連接BF，在ADF和BDC中 AD=BDADF=BDCCD=DFADFBDCAF=BC，AFBC CAF+ACB=180， ACB=ABC，ABC+CBE=180CAF=CBE 又因為AC=BE，CAFCBECE=CF例3、 如圖，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交于點，若，求證：為的角平分線證明：延長到點，使，連結(jié)在和中，而又，例4、如圖，在中，是邊的中線，E是AD上一點，且BEAC，延長BE交AC于點F求證：AFEF證明：延長AD到點G，使AD=DG，連結(jié)BG是邊的中線 DC=DB在ADC和GDB中AD=DGADC=GDBDC=DBADCGDB （SSS）CAD=BGD BG=AC又BE=AC，BE=BGBED=GBED=AEF，AEF=CAD，即：AEF=FAE，AF=EF二 截長補短法截長:1.過某一點作長邊的垂線2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短:1.延長短邊2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起?！纠}精講】例1. 如圖，ABC中，ACB2B，12 求證：ABACCD 證法一：（補短法） 延長AC至點F，使得AFAB 在ABD和AFD中 ABDAFD（SAS） BF ACB2B ACB2F 而ACBFFDC FFDC CDCF 而AFACCF AFACCD ABACCD 證法二：（截長法） 在AB上截取AEAC，連結(jié)DE 在AED和ACD中 AEDACD（SAS） 例2、 如圖，在ABC中，AD為BC邊上的高，B=2C.求證：CD=AB+BD.證明：在DC上截取DE=DB，連接AE，在ADB和ADE.中DE=DB，ADB=ADE,AD=ADADEADB（SAS） AE=AB，AEB=B， AEB=C+CAE，B=2C，ED=BD， AEB=2C. C=CAE，故CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如圖，AD/BC，BE、AE分別是ABC、BAD的平分線，點E在CD上，求證：AB=AD+BC證明：在AB上截取AF=AD，連接EFAE平分BAD，1=2在FAE和DAE中，AF=AD1=2AE=AEFAEDAE AFE=D又 AD/BCC+D=180而 BFE+AFE= 180 C=BFE在BFE 和 BCE中C=BFE3=4，BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=AB例4、如圖，ABC中，ABAC，AD是BAC的角平分線，P是線段AD上任一點除A、D外的任意一點。求證：ABACPBPC證明：在AB是截取AEAC在ACP與AEP中，有： ACAE （已知） EAPCAP （已知AD是BAC角平分線） APAP （公共邊） ACPAEP （SAS） PCPE （全等三角形對應(yīng)邊相等） BEPBPE （三角形兩邊差小于第三邊） BEPBPC （等量代換） BEABAEACAEBEPBPC ABACPBPC三 與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。1 截取構(gòu)造全等例1 如圖1，在中，平分，求：的值A(chǔ)CBBDF（圖2）CABDE（圖1）解法1：在上截取使，連結(jié)，又，解法2：延長到，使，連結(jié) FAD=CAD，AD=ADCADFAD(SAS)AC=AF又 AB+BF=AF BD=BF ABC=2F=2C2、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形例2 如圖3，在四邊形中，平分求證：ABCDEF（圖3）證明：過點作，交延長線于點，作，交于點平分，又，ABCDFE（圖4例3 如圖4，已知等腰三角形中，的平分線交于點，過點作的垂線交的延長線于點求證： 證明：延長交的延長線于點，是的平分線， 是等腰三角形 ，角平分線的性質(zhì)1、角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊距離相等。ABCDEOP例1，如圖，OC是AOB的角平分線，點P是OC上一點，PDOA于點D，PEOB于E，求證：PD=PE。證明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定義）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分線定義）在RtDOP和RtEOP中RtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）2、角的平分線的逆應(yīng)用（角平分線的判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。例2已知：如圖，點P在AOB內(nèi)部的一條射線OC上，并且PDOA于點D，PEOB于E，PD=PE。求證：射線OC是AOB的平分線。證明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定義）在RtDOP和RtEOP中，RtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的對應(yīng)角相等） 即射線OC平分AOB【典型例題】OABCDE例3：如圖，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。求證：EA=EB例4：如圖，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于點O，OB=OC。ABCDEO12求證：1=2ABDPOMN例5：如圖所示，已知OD平分AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，點P在OD上，且PMBD，PNAD。求證：PM=PNABCDEFO例6：如圖，AD是ABC中BAC的平分線，DE，DF分別是ABD和ACD的高，那么EF與AD有何特殊的位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論。例7：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC。求證：A+C=1800。ABCD第13章 軸對稱知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖軸對稱軸對稱圖形(1)定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線就是它的對稱軸兩個圖形成軸對稱(或一個圖形是軸對稱圖形)，則對應(yīng)線段(對折后重合的線段)相等；對應(yīng)角(對折后重合的角)相等對稱軸垂直平分連接對應(yīng)點的線段(2)性質(zhì)(3)垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等判定：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上作軸對稱圖形用坐標表示軸對稱軸對稱變換：由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形，叫做軸對稱變換P(x，y)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為P(x，y)P(x，y)關(guān)于y軸的對稱點的坐標為P(x，y)性質(zhì)等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形(1)等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(三線合一)1、 軸對稱及軸對稱圖形軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線（或軸）對稱。如下左圖，ABC是軸對稱圖形。ABClAAABBCCl規(guī)律方法小結(jié)：軸對稱圖形是指“一個圖形”；軸對稱是指“兩個圖形”的位置關(guān)系，在某種情況下，二者可以互相轉(zhuǎn)換，如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。等腰三角形和等邊三角形1、 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2、 等腰三角形的性質(zhì)： 等邊對等角 三線合一（1） 兩腰相等 （2） 兩底角相等（3） “三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合3、 等腰三角形的判定：（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（2） 有兩個角相等的三角形是等腰三角形4、 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形5、 等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于606、 等邊三角形的判定：（1） 三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2） 三個角都相等的三角形是等邊三角形（3） 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形【典型例題】例1：已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）A、200 B、1200 C、200或1200 D、360ABDC800例2： 如圖，在ABC中，點D是BC上一點，BAD=800，AB=AD=DC，則C=_例2：若等腰三角形的底邊長為8cm，腰長是5cm，則這個等腰三角形的周長是（ ）A、21cm B、18cm C、18cm或21cm D、13cm或26cmABCD例3：如圖，ABC中，C=900，ABC=600，BD平分ABC，若AD=6，則CD=_ABDEC例4：如圖，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的外角DAC的平分線。試判斷AE與BC的位置關(guān)系。例5：如圖，ABD和ACE是等邊三角形。求證：BE=CDDACBE例6已知如圖所示, 在ABC中, BD是AC邊上的中線, DBBC于B, ABC=120o, 求證: AB=2BCBA D C E ABCDE例7：如圖，在ABC中，C=900，BAC=600，AB的垂直平分線DE交AB于E，交BC于E