數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納及習(xí)題總結(jié)

等差與等比數(shù)列知識(shí)與方法總結(jié)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)與要點(diǎn)定義 通項(xiàng)等差中項(xiàng) a、b、c成等差基本概念 推廣 前n項(xiàng)和等差數(shù)列 當(dāng)d0(0) 時(shí)為遞增（減）數(shù)列 當(dāng)d=0時(shí)為常數(shù) 基本性質(zhì) 與首末兩端等距離的項(xiàng)之和均相等 中共成等差則也成等差定義: 通項(xiàng) 等比中項(xiàng)：a b c成等比數(shù)列基本概念 推廣前n項(xiàng)和 等比數(shù)列 與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之積相等 成等比，若 成等差則 成等比 基本性質(zhì) 當(dāng) 或 時(shí) 為遞增數(shù)列 當(dāng) 或 時(shí) 為遞減數(shù)列 當(dāng) q0時(shí) 為擺動(dòng)數(shù)列 當(dāng) q=1時(shí) 為常數(shù)數(shù)列二、等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)與方法概括（一）一般數(shù)列數(shù)列的定義及表示方法；數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)；有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；遞增（減）、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列；數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn；一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系： （二）等差數(shù)列1等差數(shù)列的概念定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。 即：2等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列。 （2）等差中項(xiàng)法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為。說明：該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 （1） （ 2.） 說明對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。5等差中項(xiàng)如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。即：或說明：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。6等差數(shù)列的性質(zhì)（1）等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公差為，則有（2）.對(duì)于等差數(shù)列，若，則。也就是：，如圖所示：（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列。如下圖所示：（4）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：奇數(shù)項(xiàng) 偶數(shù)項(xiàng) 所以有 ； 所以有（5）若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則。（三）等比數(shù)列1等比數(shù)列的概念定義：等比中項(xiàng)如果在與之間插入一個(gè)數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)。也就是，如果是的等比中項(xiàng)，那么，即。2等比數(shù)列的判定方法（1）定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 （2）等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為。4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和5.等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有（2）.對(duì)于等比數(shù)列，若，則也就是：。如圖所示：（3）若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：三、數(shù)列的通項(xiàng)求法1.等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)；2.3.迭加累加 ，迭乘累乘， ， ， ， ， ， 注：4. 數(shù)列間的關(guān)系(1) (2)（3）遞推數(shù)列能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)由 解題思路：利用 變化（）已知 （）已知若一階線性遞歸數(shù)列an=kan1+b（k0,k1）,則總可以將其改寫變形成如下形式:(n2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；四、數(shù)列的求和方法（詳細(xì)講解見六）1.等差與等比數(shù)列求和公式2.裂項(xiàng)相消法： 如：an=1/n(n+1)3.錯(cuò)位相減法：, 所以有如：an=(2n-1)2n4.倒序相加法：如已知函數(shù)求：。5.通項(xiàng)分解法：如：an=2n+3n五、其它方面1、在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng),d0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。2、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d3、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)4、求數(shù)列an的最大、最小項(xiàng)的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=六、專題講座一 數(shù)列求和題的基本思路和常用方法一、利用常用求和公式求和 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、 例1 已知數(shù)列，（x0），數(shù)列的前n項(xiàng)和，求。解：當(dāng)x=1時(shí)， 當(dāng)x1時(shí)，為等比數(shù)列，公比為x由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 【鞏固練習(xí)】1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為的前n項(xiàng)和，（1）求； （2）求的前20項(xiàng)和。 解：二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例2 求和：（）當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x1時(shí)， . 兩邊同乘以x得 （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 【鞏固練習(xí)】2：求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例3 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來(lái)得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 【鞏固練習(xí)】3：求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 S44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.形如：的形式，其中 an 、 bn 是等差數(shù)列、等比數(shù)列或常見的數(shù)列.例4 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，【鞏固練習(xí)】4：求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）= （9）例5 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解： （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 【鞏固練習(xí)】5：在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 求證：解：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和） 原等式成立 求和：六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. 例6 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos9 （合并求和） 0【鞏固練習(xí)】6：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得（合并求和） 10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例7 求之和.解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和）【鞏固練習(xí)】7： 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和）高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知數(shù)列滿足，求。變式: 已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項(xiàng)公式.類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。例2:已知， ，求。變式:（2004，全國(guó)I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，求.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:（2006，全國(guó)I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 2.已知數(shù)列中，,，求3.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分) 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an 變式: (2005,江西,文,22本小題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求數(shù)列()設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在試求出 不存在,則說明理由.類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列中，求數(shù)列變式:（2005，江西,理,21本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；記bn=，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1 類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）1.已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2an2n！2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列滿足時(shí)，求通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列a中，a=1，a= nN，求通項(xiàng)a 類型10 解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式. 例：已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和類型11 或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在