九年級數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)

銳角三角函數(shù)與解直角三角形 【考綱要求】1.理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2.命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在RtABC中，C90，A所對的邊BC記為a，叫做A的對邊，也叫做B的鄰邊，B所對的邊AC記為b，叫做B的對邊，也是A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即.同理；要點(diǎn)詮釋：(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號，是一個(gè)整體，不能寫成，不能理解成sin與A，cos與A，tan與A的乘積書寫時(shí)習(xí)慣上省略A的角的記號“”，但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如AEF)，其正切應(yīng)寫成“tanAEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、常寫成、(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0A90之間變化時(shí)，tanA0考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出0、30、45、60、90角的各三角函數(shù)值，歸納如下： 要點(diǎn)詮釋：(1)通過該表可以方便地知道0、30、45、60、90角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)： 、的值依次為0、1，而、的值的順序正好相反，、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在0A90之間變化時(shí)， 正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小) 余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在RtABC中，C=90(1)互余關(guān)系：，；(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商數(shù)關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在RtABC中，C=90，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).銳角之間的關(guān)系：A+B=90.邊角之間的關(guān)系：，.，h為斜邊上的高.要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90)，是已知的值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求A，B=90A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90A，銳角、對邊(如A，a)B=90A，斜邊、銳角(如c，A)B=90A，要點(diǎn)詮釋：1在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.2若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.拓展：在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=的形式.(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40，135，245.(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30，南偏東45，南偏西80，北偏西60.特別如：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45.要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.2非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.例如：3解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)1(1)如圖所示，在ABC中，若C90，B50，AB10，則BC的長為( ) A10tan50 B10cos50 C10sin50 D(2)如圖所示，在ABC中，C90，sinA，求cosA+tanB的值(3)如圖所示的半圓中，AD是直徑，且AD3，AC2，則sinB的值等于_【思路點(diǎn)撥】(1)在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可以用某個(gè)銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊 (2)直角三角形中，某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小，可以用比例系數(shù)k表示各邊 (3)要求sinB的值，可以將B轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中【總結(jié)升華】 已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí)，常用的方法是：利用定義，根據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長； (2)題求cosA時(shí)，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin2 A+cos2 A1，讀者可自己嘗試完成舉一反三：【變式】RtABC中，C=90，a、b、c分別是A、B、C的對邊，那么c等于( )(A) (B) (C) (D) 類型二、特殊角的三角函數(shù)值2解答下列各題： (1)化簡求值：； (2)在ABC中，C90，化簡【總結(jié)升華】由第(2)題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：12sincos=(sincos)2例如，若設(shè)sin+cost，則舉一反三：【變式】若，(2，為銳角)，求的值.3 (1)如圖所示，在ABC中，ACB105，A30，AC8，求AB和BC的長； (2)在ABC中，ABC135，A30，AC8，如何求AB和BC的長?(3)在ABC中，AC17，AB26，銳角A滿足，如何求BC的長及ABC的面積？若AC3，其他條件不變呢? 【思路點(diǎn)撥】 第(1)題的條件是“兩角一夾邊”由已知條件和三角形內(nèi)角和定理，可知B45；過點(diǎn)C作CDAB于D，則RtACD是可解三角形，可求出CD的長，從而RtCDB可解，由此得解；第(2)題的條件是“兩角一對邊”；第(3)題的條件是“兩邊一夾角”，均可用類似的方法解決類型三、解直角三角形及應(yīng)用4如圖所示，D是AB上一點(diǎn)，且CDAC于C，AC+CD18，求tanA的值和AB的長專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題專題1：銳角三角函數(shù)的定義 【專題解讀】 銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主 例1 如圖28123所示，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，則下列結(jié)論正確的是 ( ) Asin A Btan A CcosB Dtan B 例2 在ABC中，C90，cosA,則tan A等于 ( ) A B C D 專題2 特殊角的三角函數(shù)值 【專題解讀】 要熟記特殊角的三角函數(shù)值 例4 計(jì)算|3|2cos 45(1)0 例5 計(jì)算(1)2007cos 60 例6 計(jì)算|(cos 60tan 30)0 例7 計(jì)算(3.14)0|1tan 60|. 專題3 銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合運(yùn)用 【專題解讀】 銳角三角函數(shù)常與其他知識綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識解決問題的能力. 例8 如圖28124所示，在ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC邊的中點(diǎn)，BC14，AD12，sin B (1)求線段DC的長； (2)求tanEDC的值. 例9 如圖28125所示，在ABC中，AD是BC邊上的高，tan BcosDAC. (1)求證ACBD； (2)若sin C，BC12，求AD的長 例10 如圖28126所示，在ABC中，B45，C30，BC3030，求AB的長 專題4 用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題 【專題解讀】 加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測量問題、高度測量問題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法 例13 如圖28131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識去測量沱江流經(jīng)我市某段的河寬小凡同學(xué)在點(diǎn)A處觀測到對岸C點(diǎn)，測得CAD45，又在距A處60米遠(yuǎn)的B處測得CBA30，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位) 例14 如圖28132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營救1號救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C點(diǎn)再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑300米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若BAD45，BCD60，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B(參考數(shù)據(jù)1.4，1.7) 例15 如圖28133所示，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測得某島C在它的北偏東60方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測得該島在它的北偏東30方向上；已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)?試說明理由 例16 如圖28134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距8米的A，B兩處測得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為45和60，且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若BE15米，求這塊廣告牌的高度(1.73，結(jié)果保留整數(shù)) 例17 如圖28135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD2.5m，壩高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC. 例18 如圖28136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD30m，某人在點(diǎn)A處測得塔底C的仰角為20，塔頂D的仰角為23，求此人距CD的水平距離AB(參考數(shù)據(jù)：sin 200.342，cos 200.940，tan 200.364，sin 230.391，cos 230.921，tan 230.424)二、規(guī)律方法專題專題5 公式法 【專題解讀】 本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵 例19 當(dāng)090時(shí)，求的值 三、思想方法專題 專題6 類比思想 【專題解讀】 求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素 例20 在RtABC中，C90，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，解這個(gè)直角三角形 專題7 數(shù)形結(jié)合思想 【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一 例21 如圖28137所示，已知的終邊OPAB，直線AB的方程為yx，則cos等于 ( ) A B C D 專題8 分類討論思想 【專題解讀】 當(dāng)結(jié)果不能確定，且有多種情況時(shí)，對每一種可能的情況都要進(jìn)行討論 例22 一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A，B，在A的北偏東45方向上還有一個(gè)加油站C，C到高速公路的最短距離是30 km，B，C間的距離是60 km要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，求交叉口P與加油站A的距離(結(jié)果可保留根號) 專題9 轉(zhuǎn)化思想 例24 如圖28140所示，A，B兩城市相距100 km現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市中間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30和B城市的北偏西45的方向上已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，50 km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)請問計(jì)劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū)為什么?(參考