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.,（柯西基本定理）若f(z)在單連通域D內(nèi)解析，則,其中C為D內(nèi)的封閉曲線。,（復(fù)合閉路定理）若f(z)在多連通域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)則,復(fù)習(xí),.,一、柯西積分公式,定理.(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則,.,證,由于f(z)在z0連續(xù),任給,存在,當(dāng)|z-z0|時(shí),|f(z)-f(z0)|.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R.,.,例1,解,.,例題2,解：,.,二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.,.,定理解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:,其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.,證設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即,因此就是要證,.,按柯西積分公式有,因此,.,現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0,而,f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M(mǎn)足|Dz|1.,解1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.,.,例2若n為自然數(shù)，試證明：,證：,

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