1998考研數(shù)學(xué)三真題和詳解

精選文庫(kù)1998年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,則 .(2) .(3) 差分方程的通解為 .(4) 設(shè)矩陣滿足,其中,為單位矩陣,為的伴隨矩陣,則 .(5) 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,.則當(dāng) , 時(shí),統(tǒng)計(jì)量服從分布,其自由度為 .二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)周期函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),周期為4.又則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)函數(shù)討論函數(shù)的間斷點(diǎn),其結(jié)論為 ( )(A) 不存在間斷點(diǎn) (B) 存在間斷點(diǎn)(C) 存在間斷點(diǎn) (D) 存在間斷點(diǎn)(3) 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為.若存在三階矩陣使得,則 ( )(A) 且 (B) 且(C) 且 (D) 且 (4) 設(shè)階矩陣,若矩陣的秩為,則必為 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)與分別為隨機(jī)變量與的分布函數(shù).為使 是某一變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分5分)設(shè),求與.四、(本題滿分5分)設(shè),求.五、(本題滿分6分)設(shè)某酒廠有一批新釀的好酒,如果現(xiàn)在(假定)就售出,總收入為.如果窖藏起來(lái)待來(lái)日按陳酒價(jià)格出售,年末總收入為假定銀行的年利率為,并以連續(xù)復(fù)利計(jì)息,試求窖藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大.并求時(shí)的值.六、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且試證存在使得七、(本題滿分6分)設(shè)有兩條拋物線和,記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為(1) 求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積；(2) 求級(jí)數(shù)的和.八、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù).若由曲線直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積為試求所滿足的微分方程,并求該微分方程滿足條件的解.九、(本題滿分9分)設(shè)向量都是非零向量,且滿足條件記矩陣求： (1) ；(2) 矩陣的特征值和特征向量.十、(本題滿分7分)設(shè)矩陣矩陣其中為實(shí)數(shù),為單位矩陣.求對(duì)角矩陣,使與相似,并求為何值時(shí),為正定矩陣.十一、(本題滿分10分)一商店經(jīng)銷某種商品,每周進(jìn)貨的數(shù)量與顧客對(duì)該種商品的需求量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都服從區(qū)間10,20上的均勻分布.商店每售出一單位商品可得利潤(rùn)1000元；若需求量超過(guò)了進(jìn)貨量,商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),這時(shí)每單位商品獲利潤(rùn)為500元.試計(jì)算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤(rùn)的期望值.十二、(本題滿分9分)設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表,其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表,從中先后抽出兩份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.1998年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】曲線在點(diǎn)處的切線斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式,切線方程為：令,代入,則,即在軸上的截距為,.(2)【答案】【解析】由分部積分公式, .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】分部積分公式：假定與均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則或者(3)【答案】【解析】首先把差分方程改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式,其齊次方程對(duì)應(yīng)的特征方程及特征根分別為故齊次方程的通解為為常數(shù).將方程右邊的改寫(xiě)成,此處“1”不是特征根,故令非齊次方程的一個(gè)特解為從而代入原方程,得故 .于是通解為 (4)【答案】【解析】由題設(shè) ,由于,所以可逆.上式兩邊左乘,右乘,得 (利用公式：) (移項(xiàng))(矩陣乘法的運(yùn)算法則)將代入上式,整理得.由矩陣可逆的定義,知均可逆,且.(5)【答案】【解析】由于相互獨(dú)立,均服從,所以由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì),得,所以,同理.又因?yàn)榕c相互獨(dú)立,且；,由分布的定義,當(dāng)時(shí),.即當(dāng)時(shí),服從分布,其自由度為.嚴(yán)格地說(shuō),當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),也是正確的.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、對(duì)于隨機(jī)變量與均服從正態(tài)分布,則與的線性組合亦服從正態(tài)分布.若與相互獨(dú)立,由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì),有,其中為常數(shù).2、定理：若,則.3、分布的定義：若相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)【答案】(D)【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：所以 因?yàn)橹芷跒?,的周期亦是4,即,所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.選(D).(2)【答案】(B)【分析】討論由極限表示的函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)分兩步走.先求出該的(分段)表達(dá)式,然后再討論的性質(zhì).不能隔著極限號(hào)去討論.【解析】現(xiàn)求的(分段)表達(dá)式：當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), .由此, 即再討論函數(shù)的性質(zhì)：在處,所以,函數(shù)在處連續(xù),不是間斷點(diǎn).在處,；所以,函數(shù)在處不連續(xù),是第一類間斷點(diǎn).故選(B).(3)【答案】(C)【解析】方法1:由知,又,于是,故,即,得應(yīng)選(C).方法2:由知,又,于是,故.顯然,時(shí),有故應(yīng)選(C).作為選擇題,只需在與中選擇一個(gè),因而可以用特殊值代入法.評(píng)注：對(duì)于條件應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)思路：一是的列向量是齊次方程組的解；二是秩的信息,即,要有這兩種思考問(wèn)題的意識(shí).(4)【答案】(B)【解析】其中變換：將1行乘以(-1)再分別加到其余各行；變換：將其余各列分別加到第1列.由階梯形矩陣知,當(dāng),即時(shí),有,故應(yīng)選(B).(5)【答案】(A)【解析】根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì),即.在所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有(A)滿足,故應(yīng)選(A).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】分布函數(shù)的性質(zhì)： (1) 單調(diào)不減；(2) (3) 是右連續(xù)的.三、(本題滿分5分)【解析】 由全微分與偏微分的關(guān)系可知,其中的系數(shù)就是,即.再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),得四、(本題滿分5分)yxO【解析】表示圓心為,半徑為的圓及其內(nèi)部,畫(huà)出區(qū)域,如右圖.方法1: 所以, ,令,則,所以上式.方法2:引入極坐標(biāo)系,于是,其中倒數(shù)第二步用了華里士公式：,其中為大于1的正奇數(shù).五、(本題滿分6分)【分析】根據(jù)連續(xù)復(fù)利公式,在年利率為的情況下,現(xiàn)時(shí)的(元)在時(shí)的總收入為,反之,時(shí)總收入為的現(xiàn)值為,將代入即得到總收入的現(xiàn)值與窖藏時(shí)間之間的關(guān)系式,從而可用微分法求其最大值.【解析】由連續(xù)復(fù)利公式知,這批酒在窖藏年末售出總收入的現(xiàn)值為,而由題設(shè),年末的總收入,據(jù)此可列出：,令 ,得惟一駐點(diǎn) .根據(jù)極值的第二充分條件,知：是的極大值點(diǎn),又因駐點(diǎn)惟一,所以也是最大值點(diǎn).故窖藏年出售,總收入的現(xiàn)值最大.當(dāng)時(shí), (年).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且,當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值；當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.六、(本題滿分6分)【分析】本題要證的結(jié)論中出現(xiàn)兩個(gè)中值點(diǎn)和,這種問(wèn)題一般應(yīng)將含有和的項(xiàng)分別移到等式兩邊后再用微分中值定理,為此本題只要證.【解析】方法1: 函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),滿足拉格朗日中值定理的條件,對(duì)函數(shù)在上用拉格朗日中值定理,有又函數(shù)與滿足柯西中值定理的條件,將函數(shù)與在上用柯西中值定理,有 ,即.從而有 ,即.方法2：題中沒(méi)有限制,因此取,即成為要去證存在使在上對(duì)函數(shù)用拉格朗日中值定理,存在使再取,則,原題得證.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在內(nèi)至少有一點(diǎn),使等式成立.2. 柯西中值定理：如果函數(shù)及滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 對(duì)任一,那么在內(nèi)至少有一點(diǎn),使等式成立.七、(本題滿分6分)【解析】(1)由與得因圖形關(guān)于軸對(duì)稱,所以,所求圖形的面積為(2)由(1)的結(jié)果知,根據(jù)級(jí)數(shù)和的定義,八、(本題滿分7分)【分析】本題是微分方程的幾何應(yīng)用問(wèn)題.在題目中給出了由曲線等圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積與包含函數(shù)的一個(gè)恒等式,這正是列方程的依據(jù).【解析】由繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積公式得,于是,依題意得,即.兩邊對(duì)求導(dǎo),化成微分方程,其中為未知函數(shù).按通常以表示自變量,表示未知函數(shù),于是上述方程可寫(xiě)為即 這是一階齊次微分方程.令,有,則上式化為即 (*)若,則不滿足初始條件,舍棄；若,則也不滿足初始條件,舍棄；所以,且.由(*)式分離變量得兩邊積分得.從而方程(*)的通解為為任意常數(shù).再代入初值,由,得,從而所求的解為【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1. 對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則 .九、(本題滿分9分)【解析】(1)對(duì)等式兩邊取轉(zhuǎn)置,有,即.利用及矩陣乘法的運(yùn)算法則,有,即是階零矩陣.(2)設(shè)是的任一特征值,是屬于特征值的特征向量,即.對(duì)上式兩邊左乘得,由(1)的結(jié)果,得,因,故(重根),即矩陣的全部特征值為零.下面求的特征向量：先將寫(xiě)成矩陣形式.不妨設(shè),則有于是得方程組同解方程組,這樣基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為.選為自由未知量,將它們的組值代入,可解得基礎(chǔ)解系為則的屬于的全部特征向量為,其中為不全為零的任意常數(shù).十、(本題滿分7分)【分析】由于是實(shí)對(duì)稱矩陣,必可相似對(duì)角化,而對(duì)角矩陣即的特征值,只要求出的特征值即知,又因正定的充分必要條件是特征值全大于零,的取值亦可求出.【解析】方法1：由,可得的特征值是那么,的特征值是,而的特征值是又由題設(shè)知是實(shí)對(duì)稱矩陣,則故,即也是實(shí)對(duì)稱矩陣,故必可相似對(duì)角化,且.當(dāng)時(shí),的全部特征值大于零,這時(shí)為正定矩陣.方法2：由,可得的特征值是因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣,故存在可逆矩陣使,即.那么 即.故.當(dāng)時(shí),的全部特征值大于零,這時(shí)為正定矩陣.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.特征值的性質(zhì)：若有特征值,則的特征多項(xiàng)式有特征值.2.矩陣正定的充要條件是特征值全大于零.O10 20 xy1020十一、(本題滿分10分)【解析】設(shè)表示商店每周所得的利潤(rùn),當(dāng)時(shí),賣(mài)得利潤(rùn)為(元)；當(dāng)時(shí),調(diào)劑了,總共得到利潤(rùn)(元).所以,由題設(shè)與