條件概率與獨(dú)立性(包含全概率公式、貝葉斯公式)

.,第2章條件概率與獨(dú)立性,2.1條件概率與乘法公式,2.2全概率公式,2.3貝葉斯公式,2.4事件的獨(dú)立性,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,2.1條件概率與乘法公式2.1.1條件概率在實(shí)際當(dāng)中，我們常常碰到這樣的問題，就是在已知一事件發(fā)生的條件下，求另一事件發(fā)生的概率下面首先看一個例子:,第2章條件概率與獨(dú)立性,【例2.1】設(shè)某家庭中有兩個孩子，已知其中有一個是男孩，求另一個也是男孩的概率（假設(shè)男、女孩出生率相同）解：用g代表女孩，b代表男孩，A=“該家庭中至少有一個男孩”，B=“兩個都是男孩”，在已知至少有一個男孩條件下，而所求概率為1/3，記為P(B|A)=1/3，稱此概率為在事件A發(fā)生下事件B發(fā)生的條件概率,2.1.1條件概率,如果我們?nèi)サ魲l件A，這時=bb，bg，gb，gg，B=bb，從而P(B)=1/4.前面已算出又因?yàn)锳=bb，bg，gb，P(A)=3/4，P(AB)=P(B)=1/4，易得這個結(jié)果具有一般性，啟發(fā)我們給出條件概率的如下定義：,2.1.1條件概率,定義2.1設(shè)A與B是同一樣本空間中的兩事件，若P(A)0，則稱(1.2)為在A發(fā)生下的B的條件概率類似地，當(dāng)P(B)0時，定義在B發(fā)生下事件A發(fā)生的條件概率為(1.3)要注意區(qū)分P(AB)和P(B|A)的不同含義,2.1.1條件概率,注意，由此定義我們無法斷言條件概率P(B|A)與無條件概率P(B)有什么必然的關(guān)系.例如，我們不能由定義斷言或事實(shí)上，當(dāng)BA時，有當(dāng)AB=時，有,2.1.1條件概率,一般地，不難驗(yàn)證，條件概率滿足概率定義1.5中的三條公理：(1)非負(fù)性：對任意事件B，P(B|A)0；(2)規(guī)范性：P(|A)=1；(3)可列可加性：設(shè)事件兩兩互不相容，則所以,條件概率P(|A)也滿足概率的所有其他性質(zhì),2.1.1條件概率,例如:,2.1.1條件概率,【例2.2】設(shè)某種動物從出生起活20歲以上的概率為80%，活25歲以上的概率為40%如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物，求它能活25歲以上的概率解：設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有所求概率為,由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1條件概率,2.1.2乘法公式由條件概率公式容易得到下面定理定理2.1設(shè)A與B是同一樣本空間中的兩個事件，如果P(A)0，則(1.4)如果P(B)0，則(1.5)上面均稱為事件概率的乘法公式定理2.1容易推廣到求多個事件積事件概率的情況,2.1條件概率與乘法公式,事實(shí)上,可進(jìn)一步推廣如下:,右側(cè)的條件概率均有意義,2.1.2乘法公式,2.1.2乘法公式,【例2.3】某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，試求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率解：設(shè)A=任取的一件是合格品，B=任取的一件是一等品因?yàn)榍褺A所以,2.1.2乘法公式,【例2.4】某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴柷笏麚芴柌怀^三次而接通電話的概率若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？解：設(shè)Ai=“第i次接通電話”，i=1，2，3，B=“撥號不超過3次接通電話”，則事件B的表達(dá)式為利用概率的加法公式和乘法公式,2.1.2乘法公式,若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則,2.1.2乘法公式,【例2.5】獵手在距獵物10米處開槍，擊中概率為0.6若擊不中，待開第二槍時獵物已逃至30米遠(yuǎn)處，此時擊中概率為0.25，若再擊不中，則獵物已逃至50米遠(yuǎn)處，此時只有0.1的擊中概率求獵手三槍內(nèi)擊中獵物的概率解：以Ai=“第i槍擊中獵物”，i=1，2，3，則所求概率,2.1.2乘法公式,課堂練習(xí)設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,B“透鏡落下三次而未打破”.,2.1.2乘法公式,在處理復(fù)雜事件的概率時，我們經(jīng)常將這個復(fù)雜事件分解為若干個互不相容的較簡單的事件之和，先求這些簡單事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，這種方法就是全概率公式,2.2全概率公式,2.2全概率公式2.2全概率公式,引例：有三個罐子,1號裝有2紅1黑球,2號裝有3紅1黑球，3號裝有2紅2黑球.某人從中隨機(jī)取一罐，在從中任意取出一球，求取得紅球的概率.,如何求取得紅球的概率？,第2章條件概率與獨(dú)立性,分析：紅球可能取自三個罐中的任何一個，如果記Ai=取到的是i號罐i=1,2,3;B=取得紅球則,A1,A2,A3的發(fā)生都會導(dǎo)致B發(fā)生，并且A1,A2,A3兩兩互不相容，于是,2.2全概率公式,值得注意的是，這里還有A1+A2+A3=,定理2.2設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為,A1,A2,An為E的一組事件，且滿足：(1)A1,A2,An兩兩互不相容，i=1,2,n;(2)則對任一事件B，有(1.7)(1.7)稱為全概率公式稱滿足(1)和(2)的A1，A2，An為完備事件組或樣本空間的一個劃分,2.2全概率公式,證明：因?yàn)橛捎贏1，A2，An兩兩互不相容，由有限可加性由假設(shè)及乘法公式得到利用全概率公式求事件B的概率，關(guān)鍵是尋求完備事件組A1，A2，An;尋求完備事件組A1，A2，An相當(dāng)于找導(dǎo)致事件B發(fā)生的所有互不相容的事件,2.2全概率公式,有三個罐子,1號裝有2紅1黑球,2號裝有3紅1黑球，3號裝有2紅2黑球.某人從中隨機(jī)取一罐，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率.,解記Ai=取到的是i號罐i=1,2,3;B=取得紅球,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)0.639.,再看引例,依題意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,3,2.2全概率公式,【例1.15】假設(shè)有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、30件、40件，而且一等品分別有20件、12件和24件，現(xiàn)在任取一箱，從中不放回地先后取出兩個零件，試求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)兩次取出的零件均為一等品的概率解:設(shè)Ai=“任取的一箱為第i箱零件”，i=1,2,3，Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2由題意知A1、A2和A3構(gòu)成完備事件組，且,2.2全概率公式,(1)由全概率公式得,2.2全概率公式,(2)因?yàn)橛扇怕使降?2.2全概率公式,引例：,某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號罐的概率.,這是“已知結(jié)果求原因”的問題求的也是一個條件概率.,下面就介紹為解決這類問題而引出的公式：,Bayes(貝葉斯)公式,2.3貝葉斯公式,2.3貝葉斯公式定理1.3設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，B為事件，A1，A2，An為完備事件組，且P(B)0，P(Ai)0，i=1，2，n，則(1.8)(1.8)式稱為貝葉斯公式,2.3貝葉斯公式,證明,該公式用于在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，通過計(jì)算導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率，來推斷可能的原因.,由條件概率公式、乘法公式及全概率公式知：,2.3貝葉斯公式,某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號罐的概率.,再看引例,解記i=取到第i號罐i=1,2,3;=取得紅球,1,2,3是完備事件組,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：,其中P(|1)=2/3,P(|2)=3/4,P(|3)=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,3,2.3貝葉斯公式,特別有：設(shè)事件A、B為試驗(yàn)E的兩事件，由于A和是一個完備事件組，若P(A)0，P(B)0，貝葉斯公式的一種常用簡單形式為,2.3貝葉斯公式,【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別是0.8，0.1和0.1，某顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨即取出一箱，顧客開箱隨機(jī)地查看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：(1)顧客買下該箱的概率；(2)在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率,2.3貝葉斯公式,解：設(shè)B=“顧客買下該箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有i件殘次品”，i=0,1,2(1)事件B在下面三種情況下均會發(fā)生：抽到的一箱中沒有殘次品、有1件殘次品或有2件次品。顯然A0，A1，A2是完備事件組由題意知由全概率公式得,2.3貝葉斯公式,(2)由貝葉斯公式,2.3貝葉斯公式,【例1.17】根據(jù)以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗(yàn)有如下效果：對肝炎病人的試驗(yàn)呈陽性的概率為0.95；非肝炎病人的試驗(yàn)呈陰性的概率為0.95對自然人群進(jìn)行普查的結(jié)果為：有千分之五的人患有肝炎現(xiàn)有某人做此試驗(yàn)結(jié)果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？,2.3貝葉斯公式,解:設(shè)A=“某人確有肝炎”，B=“某人做此試驗(yàn)結(jié)果為陽性”；由已知條件有從而由貝葉斯公式，,2.3貝葉斯公式,本題的結(jié)果表明，雖然這兩個概率都很高但是，即試驗(yàn)陽性的人有肝炎的概率只有0.087如果不注意這一點(diǎn)，將和搞混，將會得出錯誤診斷，造成不良的后果,2.3貝葉斯公式,因?yàn)镻(A)=0.005比較小,為什么和都很高但是，試驗(yàn)結(jié)果呈陽性的人確實(shí)患有肝炎的概率卻只有0.087這么小呢？,在貝葉斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i=1，2，n，通常是人們在試驗(yàn)之前對Ai的認(rèn)知，習(xí)慣上稱其為先驗(yàn)概率若試驗(yàn)后事件B發(fā)生了，在此信息下考察Ai的概率它反映了導(dǎo)致B發(fā)生的各種原因的可能性大小，常稱為后驗(yàn)概率,2.3貝葉斯公式,貝葉斯公式是英國哲學(xué)家Bayes于1763首先提出的。經(jīng)過多年的發(fā)展和完善，由這一公式的思想已經(jīng)發(fā)展成為一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，即“Bayes方法”，這一方法在數(shù)據(jù)分析、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘、電子商務(wù)、分子生物學(xué)，醫(yī)學(xué)診斷等很多方面都有應(yīng)用,ThomasBayes,Born:1702inLondon,EnglandDied:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England,2.3貝葉斯公式,課堂練習(xí)有一臺用來檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的儀器，已知一只次品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品的概率為0.99，而一只正品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品的概率0.005，已知產(chǎn)品的次品率為，若一產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品，求它確為次品的概率,解,2.3貝葉斯公式,由貝葉斯公式，所求概率為,由題設(shè)知,2.3貝葉斯公式,2.4事件的獨(dú)立性1兩個事件的獨(dú)立性我們知道條件概率P(B|A)與無條件概率P(B)不一定相等，但是在一些特殊情況下它們相等,例如,則有,第2章條件概率與獨(dú)立性,一般地，有下面定義：定義1.7設(shè)A，B是兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱A與B相互獨(dú)立顯然，當(dāng)P(A)0時，A與B相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(B|A)=P(B)顯然，當(dāng)P(B)0時，A與B相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(A|B)=P(A),2.4事件的獨(dú)立性,請看例子,可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不是互不相容的！,請思考:,兩事件相互獨(dú)立,兩事件互不相容,2.4事件的獨(dú)立性,可見兩事件互不相容但不獨(dú)立.,再看例子,所以，相互獨(dú)立和互不相容是兩個不同的概念，不要把它們相容相混淆,2.4事件的獨(dú)立性,事實(shí)上：當(dāng)P(A)P(B)0時，A與B獨(dú)立等價于P(B|A)=P(B)且P(|)=P()，說明,B是否發(fā)生互相沒有影響。因此A與B獨(dú)立一定不是互不相容的，反之A與B互不相容一定不獨(dú)立當(dāng)A，B之一為時，P(AB)=P(A)P(B)與B同時成立，即獨(dú)立與互不相容并存,兩事件相互獨(dú)立,兩事件互不相容,2.4事件的獨(dú)立性,【例1.19】證明若事件A與B相互獨(dú)立，則下列各對事件也相互獨(dú)立：A與，B與，與證：因?yàn)樗约碅與相互獨(dú)立由此可推出與相互獨(dú)立，再由又推出B與相互獨(dú)立,2.4事件的獨(dú)立性,2多個事件的獨(dú)立性定義1.8設(shè)A,B,C為三個事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)都成立，則稱事件A，B，C相互獨(dú)立另外,僅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保證A、B、C兩兩相互獨(dú)立,更不能保證三事件相互獨(dú)立,注意,三個事件相互獨(dú)立,三個事件兩兩相互獨(dú)立,2.4事件的獨(dú)立性,【例1.20】一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成黃色，第三面染成藍(lán)色，而第四面同時染上紅、黃、藍(lán)三種顏色.現(xiàn)以A，B，C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、黃、藍(lán)顏色朝下的事件，問A，B，C是否相互獨(dú)立?,解,由于在四面體中紅、黃、藍(lán)分別出現(xiàn)兩面，,因此,又由題意知,伯恩斯坦反例,2.4事件的獨(dú)立性,故有,因此A，B，C不相互獨(dú)立.,則三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.,由于,2.4事件的獨(dú)立性,【例1.21】設(shè)一口袋中有100個球，其中有7個是紅的，25個是黃的，24個是黃藍(lán)兩色的，1個是紅黃藍(lán)三色的，其余43個是無色的現(xiàn)從中任取一個球，以A、B、C分別表示取得的球有紅色的、有黃色的、有藍(lán)色的事件,2.4事件的獨(dú)立性,顯然,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)顯然又有P(AB)P(A)P(B)P(AC)P(A)P(C)P(BC)P(B)P(C)即A、B、C不是兩兩相互獨(dú)立的更不是相互獨(dú)立的.,2.4事件的獨(dú)立性,定義推廣：如果事件A1,A2,An（n2）中任意k（2kn）個事件積事件的概率都等于各個事件的概率之積，則稱A1,A2,An相互獨(dú)立；如果A1,A2,An中任意兩個事件相互獨(dú)立，則稱A1,A2,An兩兩獨(dú)立,n個事件相互獨(dú)立,n個事件兩兩相互獨(dú)立,2.4事件的獨(dú)立性,兩個結(jié)論,2.4事件的獨(dú)立性,在實(shí)際應(yīng)用中，事件的獨(dú)立性常常根據(jù)事件的實(shí)際意義去判斷一般情況下，若各事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很弱，就可以認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的,2.4事件的獨(dú)立性,【例1.22】設(shè)某地區(qū)某時間每人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%，混合100個人的血清，求血清中含有肝炎病毒的概率解：設(shè)Ai=“第i人的血清中含有肝炎病毒”，i=1,2,100，可以認(rèn)為諸Ai是相互獨(dú)立的，從而諸也是相互獨(dú)立的，且則要求的概率為,2.4事件的獨(dú)立性,【例1.23】從1至9這9個數(shù)字中，有放回地取3個數(shù)字，每次任取1個，求所取的3個數(shù)之積能被10整除的概率解法一：設(shè)A=“所取的3個數(shù)之積能被10整除”，A1=“所取的3個數(shù)中含有數(shù)字5”，A2=“所取的3個數(shù)中含有偶數(shù)”，則A=A1A2，所以考慮到三次取數(shù)相互獨(dú)立,2.4事件的獨(dú)立性,所以,2.4事件的獨(dú)立性,解法二：設(shè)Ak表示“第k次取得數(shù)字5”，Bk表示“第k次取得偶數(shù)”，k=1，2，3，則A=(A1A2A3)(B1B2B3)，由于所以,2.4事件的獨(dú)立性,由于是有放回的取數(shù)，所以各次抽取結(jié)果相互獨(dú)立，并且因此,2.4事件的獨(dú)立性,解,【例1.24】,2.4事件的獨(dú)立性,2.4事件的獨(dú)立性,問題：在例1.24的條件下，求如下系統(tǒng)的可靠性，并在所有的情況下比較兩者的大小,【例1.25】如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。,設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個繼電器通,i=1,2,5,由全概率公式,【例1.26】某一治療方法對一個病人有效的概率為0.9，今對3個病人進(jìn)行了治療，求對3個病人的治療中，至少有一人是有效的概率.設(shè)對各個病人的治療效果是相互獨(dú)立的.,2.4事件的獨(dú)立性,解法二,2.4事件的獨(dú)立性,祝大家中秋，國慶節(jié)日快樂,2.5.1試驗(yàn)的獨(dú)立性定義1.9如果第一次試驗(yàn)的任一結(jié)果，第二次試驗(yàn)的任一結(jié)果，第n次試驗(yàn)的任一結(jié)果都是相互獨(dú)立的事件，則稱這n次試驗(yàn)相互獨(dú)立，如果這n次獨(dú)立試驗(yàn)還是相同的，則稱為n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的可能結(jié)果為兩個：A或，則稱這種試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)例如擲n枚硬幣，從一大批產(chǎn)品中抽查n個產(chǎn)品是否合格等，都是n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,在n重伯努利試驗(yàn)中，若事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為P(A)=p，(0p0是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)np=（p與n有關(guān)），則對于任一非負(fù)整數(shù)k，有,2.2.2常用離散型分布,定理的條件np=（常數(shù)）意味著當(dāng)n很大時p必定很小因此，當(dāng)n很大p很小，有下面近似計(jì)算公式該公式說明，在計(jì)算二項(xiàng)概率公式時，如果n很大（n10），p很?。╬0.1）或者很大（p0.9），可以用參數(shù)為=np的泊松定理中的概率值來做近似計(jì)算,2.2.2常用離散型分布,Born:21June1781inPithiviers,FranceDied:25April1840inSceaux(nearParis),France,SimonPoisson,泊松,泊松定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！,下面給出一個利用泊松分布作近似計(jì)算的例子,2.2.2常用離散型分布,【例2.8】已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率為多少？解：設(shè)A=“該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人”，則所求概率為取=np=5，用泊松分布近似計(jì)算并查附表1得,2.2.2常用離散型分布,為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?,2.2.2常用離散型分布,課堂練習(xí),由泊松定理得,故有,2.2.2常用離散型分布,所需解決的問題是確定,使得,解:,【補(bǔ)充例】甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落（記為H）的概率.,解,A,B,C分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī),2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,因而,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,解,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,【補(bǔ)充例】,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,2.5重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式,2.6Excel數(shù)據(jù)分析功能簡介Excel是微軟公司Office套件中的一款辦公軟件，其超強(qiáng)的電子表格功能使其成為最受大眾喜歡的軟件之一，同時其具有的數(shù)據(jù)分析功能已經(jīng)越來越受到人們關(guān)注Excel除了可以執(zhí)行簡單的加、減、乘、除等算術(shù)運(yùn)算外，還能進(jìn)行較為復(fù)雜的函數(shù)運(yùn)算，為各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制作圖表其種類繁多