2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí) 8.7 課后限時(shí)作業(yè)

一、選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）1. 拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是 ()A2x10 B2y10C4x10 D4y10解析：2p1，所以y，所以準(zhǔn)線方程為4y10，選D.答案：D2. 拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓4x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)，則此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ()A2 B. C. D.解析：4x2y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程為y21，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以選B.答案：B3.直線l過(guò)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F，且交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，分別從A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為A1,B1，則A1FB1是 ( )A.銳角 B.直角C.鈍角 D.直角或鈍角解析：由|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|易得.答案：B4.（2020屆沈陽(yáng)質(zhì)檢）拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角等于的直線與拋物線在x軸上方的曲線交于點(diǎn)A，則AF的長(zhǎng)為 ()A2 B4 C6 D8解析：方法一：(數(shù)形結(jié)合法)過(guò)點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為B，由拋物線定義，有|AB|AF|，易知AB平行于x軸，AFx，BAF，ABF是等邊三角形，過(guò)F作FC垂直于AB于點(diǎn)C，則|CA|BC|p2，故|AF|AB|4.方法二：(代數(shù)法)焦點(diǎn)F(1,0)，AF的直線方程為y0tan (x1)，即y(x1)，代入拋物線方程y24x，得(x1)24x，即3x210x30，解得x3或(舍去)，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，|AF|4.答案：B5.已知點(diǎn)P（x,y）在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q（x+y,xy）的軌跡是 ( )A.圓 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線解析：點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=1,令a=x+y，b=xy,將式兩邊平方得a2=x2+y2+2xy,將x2+y2=1及式代入得a2=1+2b，所以點(diǎn)Q的軌跡是拋物線.答案：B6.（2020屆合肥質(zhì)檢）已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，并且2x2x1x3，則有 ()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x，根據(jù)拋物線的定義，得|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3.因?yàn)?x2x1x3，所以2，即2|FP2|FP1|FP3|.答案：C二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）7.線段AB是拋物線y2=x的一條焦點(diǎn)弦，且|AB|=4，則線段AB的中點(diǎn)C到直線x+=0的距離是 .解析：線段AB的中點(diǎn)C到準(zhǔn)線x=-的距離為|AB|長(zhǎng)的一半，則點(diǎn)C到直線x+=0的距離為.答案：8. 已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，量得水面寬8米，當(dāng)水面升高1米后，水面寬度是 米解析：如圖，設(shè)拋物線方程為yax2.將(4，2)代入方程得a.則拋物線方程為yx2.令y1，則x2.則水面寬度為4.答案：49.已知Q(4,0),P為y2=x+1上任一點(diǎn)，則PQ的最小值為 .答案：10.已知拋物線y2=4x，過(guò)點(diǎn)P（4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y21+y22的最小值是 .解析：設(shè)直線方程x=my+4,代入y2=4x消去x得關(guān)于y的一元二次方程，y2-4my-16=0,=16m2+640.y1+y2=4m,y1y2=-16,y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+3232,當(dāng)m=0時(shí)，y21+y22取得最小值32.答案：32三、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）11.拋物線y2=2px(p0)上有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊的方程是y=2x,斜邊長(zhǎng)是5，求此拋物線方程.解：設(shè)AOB的拋物線的內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)為O，AO邊的方程是y=2x,則OB邊的方程為y=-x.由y=2x, y2=2px得點(diǎn)A坐標(biāo)為（,p）.由y=-x, y2=2px得點(diǎn)B坐標(biāo)為（8p,-4p）.因?yàn)閨AB|=5,12. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(1,0)，且與直線x1相切(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程；(2)是否存在直線l，使l過(guò)點(diǎn)B(0,1)，并與軌跡C交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)設(shè)M為動(dòng)圓圓心，由題意知：|MA|等于M到定直線x1的距離，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中A(1,0)為焦點(diǎn)，x1為準(zhǔn)線所以動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程為：y24x.(2)由題意可設(shè)直線l的方程為xk(y1)(k0)，由得y24ky4k0.所以16k216k0k1或k0.又y1y24k，y1y24k.由0x1x2y1y20k2(y11)(y21)y1y20(k21)y1y2k2(y1y2)k204k(k21)k24kk20k4或k0(舍去)又k40)交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是 ()A. B. C2 D3解析：由題意易知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線x1與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，若FAB為直角三角形，則只能AFB為直角，F(xiàn)AB為等腰直角三角形，所以2a，從而可得c，所以雙曲線的離心率e，選B.答案：B二、填空題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）3. 若點(diǎn)(3,1)是拋物線y22px的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p_ _.解析：直線的方程為y2(x3)12x5，將聯(lián)立得4x2(202p)x250.則x1x26，解得p2.答案：24.已知拋物線y=2px2(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(1, )在拋物線上，過(guò)P作PQ垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q.若拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，則四邊形PQMF的面積為 .解析：由P(1, )在拋物線上，得p=，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線為y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+=，|MQ|=1，則直角梯形PQMF的面積為(+2)1=.答案：三、解答題（本大題共2小題，每小題14分，共28分）5.（2020屆江蘇無(wú)錫模擬）已知點(diǎn)P（1，3），圓C：（x-m）2+y2=過(guò)點(diǎn)A(1，-)，F(xiàn)點(diǎn)為拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)，直線PF與圓相切.(1)求m的值與拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)B（2,5），點(diǎn)Q為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）點(diǎn)A代入圓C的方程,得(1-m)2+(-)2=.所以m=1，圓C：（x-1）2+y2=.當(dāng)直線PF的斜率不存在時(shí)不合題意.當(dāng)直線PF的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則PF:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.因?yàn)橹本€PF與圓C相切，所以,解得k=1或k=-1.當(dāng)k=1時(shí)，直線PF與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，不合題意，舍去.當(dāng)k=-1時(shí)，直線PF與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，符合題意.所以p2=4,所以拋物線方程為y2=16x.(2) =(-1,-2),設(shè)Q（x,y）, =(x-2,y-5),=-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=-2y+12=- (y+16)2+2828.所以的取值范圍為（-,28.6. 設(shè)拋物線的方程為y24x，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足(R)(1)當(dāng)1時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)若點(diǎn)Q在x軸上，且13，求直線l的斜率k的取值范圍解：方法一：設(shè)直線l的方程為myx2，代入y24x得：y24my80.設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)則y1y24m，y1y28.(1)設(shè)Q(x，y)，因?yàn)椋詙y1y24m.所以xx1x2m(y1y2)44m24.消去m得：x4，即點(diǎn)Q的軌跡方程為：y24(x4)(2)因?yàn)?x1x2，y1y2)且點(diǎn)Q在x軸上，所以y1y20，即y1y2.消去y2得：28.2m22.設(shè)f()2，當(dāng)10恒成立所以02，即0m2.所以k即為直線l的斜率k的取值范圍方法二：(1)因?yàn)?，?dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性得Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入y24x得k2x2(4k24)x4k20，所以k0.設(shè)A、B、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x，y)因?yàn)椋越獾孟得：x4.又點(diǎn)(4,0)的坐標(biāo)也滿足方程，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：y24(x4)(2)因?yàn)?x1x2，y1y2)且點(diǎn)Q在x軸上，所以y1y20，