湖南省懷化市湖天中學(xué)高中數(shù)學(xué)《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)》教案 新人教A版必修4

湖南省懷化市湖天中學(xué)高中數(shù)學(xué)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)教案 新人教A版必修4教學(xué)日期2020年 月 日第 周星期 第 節(jié)教學(xué)年級(jí) 高一 年級(jí) 上學(xué)期科目數(shù)學(xué)課題教學(xué)班級(jí) 13級(jí) 20班三維目標(biāo)知識(shí)與技能通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,如單擺運(yùn)動(dòng)、波浪、四季變化等,讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象;理解周期函數(shù)的概念;能熟練地求出簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期,并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的拓展運(yùn)用過(guò)程與方法通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),使同學(xué)們對(duì)周期現(xiàn)象有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí),感受生活中處處有數(shù)學(xué)情感態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物教學(xué)用具教學(xué)重點(diǎn)正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)(包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域);深入研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法教學(xué)難點(diǎn)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換,以及周期函數(shù)概念的理解,最小正周期的意義及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.教學(xué)步驟及要點(diǎn)：第1課時(shí)導(dǎo)入新課 取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作,我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過(guò)一周就會(huì)重復(fù),這是一種周期現(xiàn)象.我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù).那么我們?cè)鯓訌臄?shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢?在圖形上讓學(xué)生觀察正弦線“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,在代數(shù)式上讓學(xué)生思考誘導(dǎo)公式:sin(x+2k)=sinx又是怎樣反映函數(shù)值的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.要求學(xué)生用日常語(yǔ)言敘述這個(gè)公式,通過(guò)對(duì)圖象、函數(shù)解析式的特點(diǎn)的描述,使學(xué)生建立在比較牢固的理解周期性的認(rèn)知基礎(chǔ)上,來(lái)理解“周而復(fù)始”變化的代數(shù)刻畫(huà),由此引出周期函數(shù)的概念.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題 問(wèn)題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎?如果是,又是怎樣周期性變化的?問(wèn)題閱讀教材并思考:怎樣從代數(shù)的角度定義周期函數(shù)? 活動(dòng):教師可先引導(dǎo)學(xué)生查閱思考上節(jié)學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)圖象,讓學(xué)生觀察正弦線的變化規(guī)律,有什么新的發(fā)現(xiàn)?再讓學(xué)生描述這種規(guī)律是如何體現(xiàn)在正弦函數(shù)的圖象上的,即描述正弦函數(shù)圖象是如何體現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.通過(guò)研究圖象,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù).怎樣變化呢?從圖1中也能看出是每隔2就重復(fù)一次. 對(duì)問(wèn)題,學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)是周期函數(shù)是沒(méi)有疑問(wèn)的,至于怎樣描述,學(xué)生一時(shí)很難回答.教師可引導(dǎo)學(xué)生思考討論,正弦函數(shù)圖象是怎樣重復(fù)出現(xiàn)的?對(duì)于回答對(duì)的學(xué)生給予肯定,鼓勵(lì)繼續(xù)探究.對(duì)于找不到思路的學(xué)生給予提示,指導(dǎo)其正確的探究思路.圖1 問(wèn)題,從圖象上能夠看出,但關(guān)鍵是怎樣對(duì)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律作出代數(shù)描述,這對(duì)學(xué)生有一定的難度.在引入正式定義之前,可以引導(dǎo)學(xué)生先從不同角度進(jìn)行描述.例如:對(duì)于函數(shù)f(x)自變量每增加或減少一個(gè)定值(這樣的定值可以有很多個(gè)),函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),那么這個(gè)函數(shù)就叫做周期函數(shù).教師也可以引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生從誘導(dǎo)公式進(jìn)行描述.例如: sin(+2k)=sin,cos(+2k)=cos,kZ. 這表明,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加(k0時(shí))或減少(k0,xR)的周期為T(mén)=.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(x+2)=Asin(x+)+=Asin(x+).于是有f(x+)=f(x), 所以其周期為.例如,在第(3)小題,y=2sin(x-),xR中,=,所以其周期是4.由上述解法可以看到,思考的基本依據(jù)還是y=sinx的周期為2. 根據(jù)這個(gè)結(jié)論,我們可以由這類(lèi)函數(shù)的解析式直接寫(xiě)出函數(shù)的周期.如例3中的第(3)小題:T=4.這是求簡(jiǎn)單三角函數(shù)周期的最基本方法,即公式法.變式訓(xùn)練1.已知f(x)是周期為5的周期函數(shù),且f(1)=2 007,求f(11).解:因?yàn)?是函數(shù)f(x)在R上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù),且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由題意知,3是函數(shù)f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+23)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.成立.但不能說(shuō)12是正弦函數(shù)的一個(gè)周期,因?yàn)榇说仁讲皇菍?duì)x的一切值都成立.例如sin(20+120)sin20.點(diǎn)評(píng):理解周期函數(shù)概念中“當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)”的“每一個(gè)值”的含義.2.(1); (2); (3)2; (4)6. 點(diǎn)評(píng):利用周期函數(shù)的圖象和定義求周期,體會(huì)周期與自變量x的系數(shù)有關(guān).3.可以先在一個(gè)周期的區(qū)間上研究函數(shù)的其他性質(zhì),再利用函數(shù)的周期性,將所研究的性質(zhì)擴(kuò)展到整個(gè)定義域. 點(diǎn)評(píng):了解如何利用函數(shù)的周期性來(lái)認(rèn)識(shí)周期函數(shù)的其他性質(zhì).可讓學(xué)生課堂討論,然后歸納總結(jié).課堂小結(jié)由學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些?周期函數(shù)的概念,最小正周期的定義,正弦、余弦函數(shù)的周期性,y=Asin(x+)(0)的周期.并思考總結(jié)本節(jié)都用了哪些數(shù)學(xué)方法?(觀察與歸納,特殊到一般,定義法,數(shù)形結(jié)合,辯證的觀點(diǎn))作業(yè)1.課本習(xí)題 A組3,B組3.2.預(yù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性.第2課時(shí)導(dǎo)入新課 思路1.(類(lèi)比導(dǎo)入)我們?cè)谘芯恳粋€(gè)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),往往通過(guò)它們的圖象來(lái)研究.先讓學(xué)生畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,從學(xué)生畫(huà)圖象、觀察圖象入手,由此展開(kāi)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究. 思路2.(直接導(dǎo)入)研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì),y=sinx,y=cosx是函數(shù),我們當(dāng)然也要探討它們的一些性質(zhì).本節(jié)課,我們就來(lái)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請(qǐng)同學(xué)們回想一下,一般來(lái)說(shuō),我們是從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值)?然后逐一進(jìn)行探究.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題回憶并畫(huà)出正弦曲線和余弦曲線,觀察它們的形狀及在坐標(biāo)系中的位置;觀察正弦曲線和余弦曲線,說(shuō)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么;觀察正弦曲線和余弦曲線,說(shuō)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么;由值域又能得到什么;觀察正弦曲線和余弦曲線,函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?觀察正弦曲線和余弦曲線,它們都有哪些對(duì)稱?(1)(2)圖2 活動(dòng):先讓學(xué)生充分思考、討論后再回答.對(duì)回答正確的學(xué)生,教師可鼓勵(lì)他們按自己的思路繼續(xù)探究,對(duì)找不到思考方向的學(xué)生,教師可參與到他們中去,并適時(shí)的給予點(diǎn)撥、指導(dǎo).在上一節(jié)中,要求學(xué)生不僅會(huì)畫(huà)圖,還要識(shí)圖,這也是學(xué)生必須熟練掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線,當(dāng)然用多媒體課件來(lái)研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想的,因?yàn)閱挝粓A中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì).對(duì)問(wèn)題,學(xué)生不一定畫(huà)準(zhǔn)確,教師要求學(xué)生盡量畫(huà)準(zhǔn)確,能畫(huà)出它們的變化趨勢(shì).對(duì)問(wèn)題,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R或(-,+).對(duì)問(wèn)題,學(xué)生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界,得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1.教師要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度思考并給出證明.正弦線、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,sinx1,cosx1,即-1sinx1,-1cosx1.也就是說(shuō),正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx(xR),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=+2k,kZ時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=-+2k,kZ時(shí),取得最小值-1.對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx(xR),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=2k,kZ時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1),kZ時(shí),取得最小值-1.對(duì)問(wèn)題,教師可引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生先截取一段來(lái)看,選哪一段呢?如圖3,通過(guò)學(xué)生充分討論后確定,選圖象上的-,(如圖4)這段.教師還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段,而不選0,2的道理,其他類(lèi)似.圖3圖4這個(gè)變化情況也可從下表中顯示出來(lái):x-0sinx-1010-1就是說(shuō),函數(shù)y=sinx,x-,.當(dāng)x-,時(shí),曲線逐漸上升,是增函數(shù),sinx的值由-1增大到1;當(dāng)x,時(shí),曲線逐漸下降,是減函數(shù),sinx的值由1減小到-1.類(lèi)似地,同樣可得y=cosx,x-,的單調(diào)變化情況.教師要適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦曲線的一段來(lái)研究,如圖5,為什么選-,而不是選0,2.圖5引導(dǎo)學(xué)生列出下表:x-0cosx-1010-1 結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知: 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間-+2k,+2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間+2k,+2k(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1. 余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間(2k-1),2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1;在每一個(gè)閉區(qū)間2k,(2k+1)(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1. 對(duì)問(wèn)題,學(xué)生能直觀地得出:正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.在R上,y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù).教師要恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo),怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)方法給予證明? 由誘導(dǎo)公式:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù). 至此,一部分學(xué)生已經(jīng)看出來(lái)了,在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸,如正弦曲線還關(guān)于直線x=對(duì)稱,余弦曲線還關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,等等,這是由它的周期性而來(lái)的.教師可就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討,為今后的學(xué)習(xí)打下伏筆.討論結(jié)果:略.定義域?yàn)镽.值域?yàn)?1,1,最大值都是1,最小值都是-1.單調(diào)性(略).奇偶性(略). 當(dāng)我們仔細(xì)對(duì)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個(gè)圖象中的直角坐標(biāo)系都去掉,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是同樣形狀的曲線,所以它們的定義域相同,都為R,值域也相同,都是-1,1,最大值都是1,最小值都是-1,只不過(guò)由于y軸放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的時(shí)刻不同;它們的周期相同,最小正周期都是2;它們的圖象都是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,且都是以圖象上函數(shù)值為零所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱中心,以過(guò)最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線為對(duì)稱軸.但是由于y軸的位置不同,對(duì)稱中心及對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同.它們都不具備單調(diào)性,但都有單調(diào)區(qū)間,且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn),也是由于y軸的位置改變,使增減區(qū)間的位置有所不同,也使奇偶性發(fā)生了改變.應(yīng)用示例例1 數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有,請(qǐng)寫(xiě)出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合,并說(shuō)出最大值、最小值分別是什么.(1)y=cosx+1,xR;(2)y=-3sin2x,xR. 活動(dòng):通過(guò)這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì).容易知道,這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.課堂上可放手讓學(xué)生自己去探究,教師適時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯(cuò),并體會(huì)對(duì)應(yīng)取得最大(小)值的自變量為什么會(huì)有無(wú)窮多個(gè).解:(1)使函數(shù)y=cosx+1,xR取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,xR取得最大值的x的集合x(chóng)|x=2k,kZ;使函數(shù)y=cosx+1,xR取得最小值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,xR取得最小值的x的集合x(chóng)|x=(2k+1),kZ.函數(shù)y=cosx+1,xR的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z=2x,使函數(shù)y=-3sinZ,ZR取得最大值的Z的集合是Z|Z=-+2k,kZ,由2x=Z=-+2k,得x=-+k.因此使函數(shù)y=-3sin2x,xR取得最大值的x的集合是x|x=-+k,kZ.同理,使函數(shù)y=-3sin2x,xR取得最小值的x的集合是x|x=+k,kZ.函數(shù)y=-3sin2x,xR的最大值是3,最小值是-3. 點(diǎn)評(píng):以前我們求過(guò)最值,本例也是求最值,但對(duì)應(yīng)的自變量x的值卻不唯一,這從正弦函數(shù)的周期性容易得到解釋.求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(小)值的性質(zhì),對(duì)于形如y=Asin(x+)+B的函數(shù),一般通過(guò)變量代換(如設(shè)Z=x+化歸為y=AsinZ+B的形式),然后進(jìn)行求解.這種思想對(duì)于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)也適用.例2 函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin(-)與sin(-);(2)cos()與cos(). 活動(dòng):學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較,充分利用學(xué)生的知識(shí)遷移,有利于學(xué)生能力的快速提高.本例的兩組都是正弦或余弦,只需將角化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上教師要讓學(xué)生自己獨(dú)立地去操作,教師適時(shí)地點(diǎn)撥、糾錯(cuò),對(duì)思考方法不對(duì)的學(xué)生給予幫助指導(dǎo).解:(1)因?yàn)閟in().(2)cos()=cos=cos,cos()=cos=cos.因?yàn)?cos,即cos()0,cos0,顯然大小立判.例3 函數(shù)y=sin(x+),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間. 活動(dòng):可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師要引導(dǎo)學(xué)生的思考方向:把x+看成Z,這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求y=sinZ的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題,而這就簡(jiǎn)單多了.解:令Z=x+.函數(shù)y=sinZ的單調(diào)遞增區(qū)間是+2k,+2k.由-+2kx+2k,得+4kx+4k,kZ.由x-2,2可知,-2+4k且+4k2,于是k,由于kZ,所以k=0,即x,而,-2,2,因此,函數(shù)y=sin(+),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間是, . 點(diǎn)評(píng):本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用,即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式問(wèn)題.然后通過(guò)解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間,要讓學(xué)生熟悉并