湖南東部六校高三數(shù)學(xué)聯(lián)考

第 1 頁，共 8 頁 湖南省東部六校 2016 屆高三聯(lián)考 文科數(shù)學(xué)試題及答案文科數(shù)學(xué)試題及答案 總分：150 分 時量：120 分鐘 2015 年 12 月 8 日 由由 株洲市二中文科數(shù)學(xué)組 命題命題 一一.選擇題選擇題:本大題共本大題共 12 小題小題,每小題每小題 5 分分,共共 60 分分.在每小題給出的四個選項中在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題只有一項是符合題 目要求目要求. 1已知集合，則 MN=（ C ） 2, 1,0,1M 1 |24, 2 x NxxZ A BCD 2, 1,0,1,2M 1,0,1,2M 1,0,1M 0,1M 2已知 i 是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù) z1=1+i，z2=1+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ D ） 1 2 z z A 第一象限B 第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限 3. 函數(shù) ( B )lgyx A是偶函數(shù)，在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減(,0)(,0) C是奇函數(shù)，在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減(0,)(0,) 4設(shè)向量，若，則 B)sin, 2(),1,(cosba ba ) 4 tan( A B C-1 D0 3 1 3 1 5將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍（縱坐標(biāo)不變） ，所得函數(shù)在sin() 6 yx 1 2 下面哪個區(qū)間單調(diào)遞增 （ A ） A B B D(,) 3 6 (,) 2 2 (,) 3 3 2 (,) 63 6 已知 n S是公差不為 0 的等差數(shù)列 n a的前n項和，且 421 ,SSS成等比數(shù)列， 則 1 32 a aa 等于( C ) A 4 B 6 C8 D10 第 2 頁，共 8 頁 7已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢 1 2 e 2 4yx 圓方程為 （ A ） AB CD 22 1 43 xy 22 1 86 xy 2 2 1 2 x y 2 2 1 4 x y 8某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個面的面積中，最大的面積是（ C ） A 4 3 B 8 3 C 4 7 D8 9實數(shù) x，y 滿足（a1） ，且的最大值是最小值的 4 倍，則 a 的值是( B ) 2 xa yx xy 2zxy A B C D 2 11 1 4 1 2 11 2 10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 的值為 8，則輸出的值為（ B ）nS A4 B8 C10 D12 11已知QP,是圓心在坐標(biāo)原點O的單位圓上的兩點，分別位于第一象限和第四象限，且P點 的縱坐標(biāo)為 5 4 ，Q點的橫坐標(biāo)為 13 5 ，則POQcos( D )來源: Zxxk.Com A B C D 33 65 63 65 63 65 33 65 12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有 6 個零點，則 2 31,0 ( ) |41| ,0 xx f x xxx 2 ( )( )( )g xfxaxf x 的取值范圍是 （ C ） a A B C D (0,3)(1,3)(2,3)(0,2) （第 8 題圖） （第 10 題圖） 第 3 頁，共 8 頁 二、填空題（本大題共二、填空題（本大題共 4 個小題，每小題個小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后橫線上）把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后橫線上） 13如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在 10 場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖,則該運動員在這 10 場比賽 中得分的中位數(shù)為_15_。 14若曲線 2 yxaxb在點(0, )b處的切線方程是10 xy ，則 a=_。1 15已知雙曲線的左、右焦點分 別為、，拋物線的 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 1 F 2 F 2 C 頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，若雙曲線與拋物線的交點滿足， 1 C 1 C 2 CP 212 PFFF 則雙曲線的離心率為 _。 1 C21 16、在中，分別為角的對邊，且滿足ABC, ,a b c, ,A B C 2 7 4coscos2() 22 A BC 若，則的面積的最大值是_。2a ABC3 三、解答題（共三、解答題（共 6 小題，總計小題，總計 70 分）分） 17 （本小題滿分 12 分）2014 年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七 座以下小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔 50 輛就抽取一輛的抽樣方法抽取 40 名駕駛員進行詢 問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段： 后得到如圖的頻率分布直方圖60,65 , 65,70 , 70,75 , 75,80 , 80,85 , 85,90 （1）求這 40 輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值 （2）若從車速在的車輛中任抽取 2 輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率60,7065,70 0 5 8 9 1 2 4 6 6 9 2 1 4 第 4 頁，共 8 頁 解：（1）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于 775-3 分 設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為，則中位數(shù)的估計值為：x ，解得0.01 50.02 50.04 50.06750.5x 77.5x 即中位數(shù)的估計值為 775-6 分 （2）從圖中可知，車速在的車輛數(shù)為：（輛） ，60,65 1 0.01 5 402m 車速在的車輛數(shù)為：（輛）-8 分65,70 2 0.02 5 404m 設(shè)車速在的車輛設(shè)為，車速在的車輛設(shè)為，則所有基本事件有：60,65, a b65,70, , ,c d e f （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ， （a，f） ， （b，c） ， （b，d） ， （b，e） ， （b，f） ， （c，d） ， （c，e） ， （c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f） ，共 15 種 其中車速在的車輛恰有一輛的事件有：65,70 共 8 種,a ca da ea fb cb db eb f 所以，車速在的車輛恰有一輛的概率為 -12 分 65,70 8 15 P 18、 （本小題滿分 12 分）已知等比數(shù)列an滿足 ，且 是的等差中 132 23aaa 3 2a 24 ,aa 項 求數(shù)列an的通項公式； 若，Snb1b2bn，求使 Sn2n+1470 成立的 n 的最小值 2 1 log nn n ba a 解 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，依題意，有 即： 132 243 23 2(2) aaa aaa 2 11 32 11 (2)3(1) ()24 (2) aqa q a qqa q 由（1）得q23q20，解得q1 或q2. 4 分 當(dāng) q1 時，不合題意，舍去； 當(dāng) q2 時，代入（2）得 a12，所以 an22n-12n. 故所求數(shù)列的通項公式6 分 n a Nna n n 2 (2)8 分n a ab n n n n nn 2 2 1 log2 1 log 22 所以 Sn212222332nn 第 5 頁，共 8 頁 (222232n)(123n) 2n+12nn2. 10 分 212n 12 n1n 2 1 2 1 2 因為 Sn2n+1479 或 n10. 因為nN N*，故使Sn2n+1470 成立的正整數(shù)n的最小值為 10. 12 分 19 （本小題滿分 12 分）如圖 ，在直角梯形ABCD中，CDAB/，ADAB ，且 1 2 1 CDADAB現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作矩形ADEF，然后沿邊AD將矩形 ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直 （1）求證：BDEBC平面； （2）若點D到平面的距離為 ，求三棱錐 F-BDE 的體積。 BEC 6 3 解：（1）證明： 在矩形 ADEF 中，EDAD 因為面 面, 所以 面, 所以 又在直角梯形 ABCD 中，AB=AD=1，CD=2，所以 BC=，45 ,BDC 2 在中， = = 2, = 2， 所以： BD2+BC2=CD2 所以：-6 分 ,所以： 面 (2) 由（1）得： 面 面 作 于 H，則 面 所以： 6 3 DH 在 中，BDEBD DEBE DH 即：,解得-9 分 2 6 2(2) 3 DEDE1DE 所以：-12 分 111 1 326 F BDEB EFD VV F E DC BA A B C D F E A B C D F E H 第 6 頁，共 8 頁 20、 （本小題滿分 12 分）已知直線，半徑為的圓與 相切，圓心在軸01034: yxl2ClCx 上且在直線 的右上方l （1）求圓的方程；C （2）過點任意作一直線與圓交于兩點（在軸上方） ，問在軸正半軸上是否)0 , 1 (MCBA,Axx 存在定點，使得軸總平分?若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由NxANBN 解：（1）設(shè)圓心，則或（舍）) 0 , (aC) 2 5 (a02 5 104 a a 5a 所以圓 -6 分 4: 22 yxC （2）當(dāng)直線軸，則軸平分xAB xANB 當(dāng)直線斜率存在時設(shè)直線方程為，ABAB) 1( xky)0 ,(tN),(),( 2211 yxByxA 042) 1( ) 1( 4 2222 22 kxkxk xky yx 1 4 , 1 2 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 若軸平分，則xANB0 ) 1() 1( 0 2 2 1 1 2 2 1 1 tx xk tx xk tx y tx y kk BNAN 402 1 ) 1(2 1 )4(2 02)(1(2 2 2 2 2 2121 tt k tk k k txxtxx 當(dāng)點，能使得總成立-12 分(4,0)NANMBNM 第 7 頁，共 8 頁 21 （本小題滿分 12 分）設(shè)函數(shù)（）, 2 ( )2lnf xxaxx Ra( )3 x ex g x e （）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；( )f xa （）若對任意，都有唯一的，使得成立，求實數(shù)ex, 0 4 0 , xee 2 00 2g xf xx 的取值范圍.a 解：（1）由題：在恒成立， 2 41xax fx x 2 41 0 xax fx x （0， + ） 即：在恒成立， 2 410 xax （0， + ） 則： ,得： -3 分 2 44 10a 44a 或故得： 綜上： -5 分 2 44 10 0 8 a a 4a 4a （2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 1 ( )(1), x g xexg x 1 , 0 e , 1 且的值域為，-7 分 2 03, (1)4, ( )33, e ggg eeg x 4 , 3 記， 2 ( )( )2ln ,( )h xf xxaxx mg x 原問題等價于：，存在唯一的，使得成立。4 , 3meex, 4 0 mxh 0 eex x ax x axh, 11 4 當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞減，由， e a 1 0 xh xh 44 44 max aeehxh ，解得：.8 分 31 min aeehxh e a 1 0 當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，不合 4 ea 0 xh xh 44 44 min aeehxh 題意，舍去9 分 第 8 頁，共 8 頁 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 4 1 ea e xh a e 1 , 4 e a , 1 且， 1)(, 44 44 aeehaeeh 要滿足條件則. 11 分 e a e ae 41 , 31 綜上所述：的取值范圍是12 分a e 4 , 0 22 （本小題滿分 10 分） 已知直線l的參數(shù)方程為：（t 為參數(shù)） ，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為： 1 2 3 2 xmt yt 12cos 2 （1）以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （2）若求直線l被曲線 C