《線性代數(shù)》電子教程之一.ppt

1,線性代數(shù)電子教案之一,2,第一講,階行列式的定義及其性質(zhì),主要內(nèi)容：,二、三階行列式的定義；全排列及其逆序數(shù)；n階行列式的定義及其性質(zhì)；排列對換、n階行列式的第二種定義.,基本要求：,會用對角線法則計算2階和3階行列式；知道n階行列式的定義及其性質(zhì).,3,一、二階行列式的引入,第一節(jié)2階和3階行列式,用消元法解二元線性方程組,兩式相減消去，得,4,方程組的解為,由方程組的四個系數(shù)確定.,類似地，消去，得,當時，,5,二、二階行列式的定義,定義由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表,即,6,二階行列式的計算,對角線法則,主對角線,副對角線,對于二元線性方程組,若記,系數(shù)行列式,7,8,9,10,則二元線性方程組的解為,注意分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,11,解,例1,12,三、三階行列式的定義,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.,13,三階行列式的計算,對角線法則,注意紅線上三元素的乘積冠以正號，黃線上三元素的乘積冠以負號,說明對角線法則只適用于二階與三階行列式,14,利用三階行列式求解三元線性方程組,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,15,若記,或,16,記,即,17,18,得,19,得,20,則三元線性方程組的解為:,21,例,解,按對角線法則，有,22,例3,解,方程左端,23,例4解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,24,同理可得,故方程組的解為:,25,四、小結,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.,26,AboutDeterminant,Adeterminantisanumberthatisassignedtoasquarearrayofnumberinacertainway.Thisideawasconsideredasearlyas1683byTheJapanesemathematicianSekiTakakazuAndindependentlyin1693bytheGermanmathematicianGottfriedLeibniz,about160yearsbeforeaseparatetheoryofmatricesdeveloped.Formanyyears,determinantsappearedmainlyindiscussionsofsystemsofLinearequations.,27,一、有關概念,第二節(jié)全排列及其逆序數(shù),引例,用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？,解,123,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法.,共有,1.概念的引入,28,2.全排列及其逆序數(shù),問題,定義,把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）.,個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.,由引例,同理,29,排列的逆序數(shù),在一個排列中，若數(shù),例如排列32514中，,定義,我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序,n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序.,32514,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.,30,定義一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為零的排列稱為標準排列.,例如排列32514中，,32514,故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.,逆序數(shù)為1,逆序數(shù)為3,3.排列的奇偶性,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,31,分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).,例1求排列32514的逆序數(shù).,解,在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;,2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;,二、計算排列逆序數(shù)的方法,分別計算出排在前面比它大的數(shù)的個數(shù)，即分別算出這個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所排列的逆序數(shù).,32,32514,于是排列32514的逆序數(shù)為,5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;,1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;,4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;,33,例2計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.,解,此排列為偶排列.,34,解,當時為偶排列；,當時為奇排列.,根據(jù)方法2,35,解,當為偶數(shù)時，排列為偶排列，,當為奇數(shù)時，排列為奇排列.,36,三、小結,3.計算排列的逆序數(shù)的方法有兩種,1.個不同元素的所有排列種數(shù),2.排列具有奇偶性,37,一、概念的引入,第三節(jié)階行列式的定義和性質(zhì),三階行列式,說明,（1）三階行列式共有項，即項,（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積,（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標排列,38,列標排列的逆序數(shù)為,偶排列,奇排列,例如,列標排列的逆序數(shù)為,39,二、階行列式的定義,定義,40,第一定義式：,41,說明,1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、階行列式是項的代數(shù)和;,3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;,4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;,5、的符號為,42,例題,例1計算對角行列式,分析,解,在階行列式的定義中，行列式的元素記作，記號不僅代表一個數(shù)，還表明這個數(shù)在行列式中的位置本例中是具體數(shù)，不能顯示它們在行列式中的位置因此，需要把數(shù)在行列式中的位置標示出來,從而得到乘積中各元素的列標排列為,43,即行列式中不為零的項為,所以只能等于,同理可得,從而這個項為零，,展開式中項的一般形式是,44,例證明對角行列式,45,證明,第一式是顯然的,下面證第二式.,若記,則依行列式定義,證畢,46,例計算上三角行列式,分析根據(jù)行列式的定義，,展開式中項的一般形式是,所以不為零的項只有,解,當時，,此項等于零，因此,對于,當時，,從而此項也等于零，因此,47,同理可得下三角行列式,48,例,49,三、行列式的第二種定義,1.對換,在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種做出新排列的手續(xù)叫做對換，將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換.,例如,對換,相鄰對換,50,2.對換與排列的奇偶性的關系,定理1,一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.,推論,奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)；偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).,證明,51,3.行列式的第二種定義,對于行列式展開式的任意一項,其中行標排列為自然排列，,為列標排列,的逆序數(shù)，,交換與的位置得,這時，這一項的值不變，而行標排列與列標排列同作了一次相應的對換：,52,由于行標排列和列標排列都作了一次對換，因此它們逆序數(shù)之和的奇偶性沒有改變.,則和的奇偶性相同，從而,這表明，行列式的展開式中每一項前的符號由行標排列和列標排列的逆序數(shù)之和的奇偶性確定.當列標排列變?yōu)闃藴逝帕袝r，行標排列相應的變?yōu)橐粋€新的排列，設為，其逆序數(shù)為，則,53,定理2,階行列式也可定義為,第二種定義式,54,四、行列式的性質(zhì),記,性質(zhì)1,行列式與它的轉置行列式相等.,說明,此性質(zhì)表明，行列式中的行和列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立，反之亦然.,證明,55,性質(zhì)2,互換行列式的兩行（列），行列式變號.,推論,如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零.,證明,性質(zhì)3,證明,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù),等于用數(shù)稱此行列式.,性質(zhì)4,推論,行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.,舉例,56,性質(zhì)5,若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如第列的元素都是兩數(shù)之和：,則等于下列兩個行列式之和：,說明,此性質(zhì)表明行列式可以按照某一行（列）分拆成兩個行列式.,57,性質(zhì)6,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式的值不變.,例如,以數(shù)k乘第1列加到第3列,58,五、小結,1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.,2、階行列式共有項，每項都是位于不同行、不同列的個元素的乘積,正負號由下標排列的逆序數(shù)決定.,3、行列式共有6條性質(zhì)和兩條推論.,59,思考題,2、分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù).,1、,求一個二次多項式,使,3、已知,60,思考題解答,61,2、解,用方法1,16352487,用方法2,由前向后求每個數(shù)的逆序數(shù).,62,3、解,含的項有兩項,即,對應于,又,63,作業(yè)：,P261.(2)(4)2.(1)(3)(5)(6)3.,64,定理1的證明,先證相鄰對換的情形.,設排列為,變?yōu)?這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對換并不改變，而兩元素的逆序改變?yōu)椋寒敃r，經(jīng)過對換后的逆序數(shù)增加1而的逆序數(shù)不變；,當時，經(jīng)過對換后的逆序數(shù)不變而的逆序數(shù)減少1.,所以這兩個排列的奇偶性不同.,再證一般對換的情形.,65,鄰對換，變成,次相鄰對換，變成,總之，,次相鄰對換，排列,變