數(shù)學(xué)知識模塊復(fù)習(xí)指導(dǎo)學(xué)案極限I人教

【學(xué)法旨要】1本章學(xué)習(xí)的目標是什么?(1)從數(shù)列的變化趨勢理解數(shù)列極限的概念，會判斷一些簡單數(shù)列的極限，并了解數(shù)列極限的-N定義；掌握數(shù)列極限的四則運算法則，會用它求一些數(shù)列的極限(2)從函數(shù)的變化趨勢理解函數(shù)的極限概念，知道基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點的極限值等于該點的函數(shù)值；掌握極限的四則運算法則；了解兩個重要極限(3)了解函數(shù)在某一點處連續(xù)的意義和初等函數(shù)在定義域內(nèi)每點處都連續(xù)；會從幾何直觀理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值與最小值2學(xué)好本章知識的關(guān)鍵在哪里?學(xué)好本章的關(guān)鍵就在于理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念只有深刻理解概念，才能在此基礎(chǔ)上解決有關(guān)極限的問題【經(jīng)點答疑】1什么是數(shù)列的極限?在引入數(shù)列極限的精確定義之前，我們先看一句中國古語：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話的意思是說：“有一根一尺長的木棒，每天截下前一天留下的一半，永遠也截不完”我們來考察每天所剩余的木棒長度如何隨著天數(shù)的改變而變化因為日取其半，所以第1天剩余的木棒長度為，第2天截下尺的一半，所以剩余的木棒長度為，依此類推，第n天剩余的木棒長度為這個式子反映了每天所剩余的木棒長度隨著天數(shù)改變而變化的規(guī)律它具有這樣的變化趨勢：當天數(shù)n無限增大時，剩余木棒長度以0為極限，并記為我們又以另一方面考察，截下的木棒總長度如何隨著天數(shù)的改變而變化第1天截下的木棒總長度為，到第2天截下的木棒總長度為，依此類推，到第n天截下的木棒總長度為這個式子就反映了截下的木棒長度如何隨著天數(shù)而改變的變化規(guī)律它具有這樣的變化趨勢：當天數(shù)n無限增大時，截下的木棒總長度無限接近于常數(shù)1，這時我們就說，當天數(shù)n趨向于無窮大時，截下的木棒總長度以1為極限，并記為如果我們把每天所剩余的木棒長度數(shù)值與截下的木棒總長度數(shù)值分別依次排列起來，那么可以得到兩個數(shù)列：這時(1)式和(2)式就分別是和的數(shù)列展開式這兩個數(shù)列中的項具有這樣的變化趨勢：當項數(shù)n無限增大時，數(shù)列(1)中的項無限接近于常數(shù)0，而數(shù)列(2)中的項無限接近于常數(shù)1，這時我們就說數(shù)列(1)以0為極限，而數(shù)列(2)以1為極限從上面兩個具體數(shù)列極限的例子的共同特點，可以抽象出數(shù)列極限的描述性定義：如果數(shù)列中的項具有這樣的變化趨勢：當n無限增大時，項無限接近某一個常數(shù)A，那么我們就說，數(shù)列以常數(shù)A為極限，且記為關(guān)于數(shù)列極限概念的這種描述，只能算直觀的描述，雖然有直觀易懂的特點，但在運用極限進行推理時將會碰到困難，且利用“n無限增大”和“無限接近于某一個常數(shù)A”這些未加說明的直觀描述來判斷，在邏輯上是有毛病的，也容易發(fā)生錯誤，所以還必須對數(shù)列極限作確切的刻畫，把直觀描述上升為精確的定義數(shù)列極限的精確定義：上面關(guān)于數(shù)列極限的直觀描述中，有一個涉及到極限本質(zhì)的問題，這就是：“無限接近于常數(shù)A”的真正含義是什么?弄清這點是掌握數(shù)列極限概念的關(guān)鍵，用句俗話來說，“無限接近于常數(shù)A”的意思是：“可以任意地靠近A，希望有多近就能有多近，只要n充分大時，就能達到我們希望的那樣近”換句話來說，就是指：“距離可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n充分大時，就能達到我們希望的那樣小”現(xiàn)拿數(shù)列來說明，若取作標準,那么只要n3，就有；如果認為還不夠小，要選作標準，那么只要n6,就有；如果嫌仍不夠小，要選更小的作標準，那么只要n9，就有；(如果想選再小的作標準，那么只要n13，就有.)總之，任意給出一個無論多么小的正數(shù)作標準，只要這個一經(jīng)給定，那么對數(shù)列來說，總可以確定一項(或者說總存在一項，設(shè)為第N項)使得隨后的所有項(即滿足nN的一切)，都有上述過程可以概括在如下的表格中：給定正數(shù)總存在一個項數(shù)使得當時都有3n36n69n913n13NnN這個表格的最后一行是值得我們注意的，它把數(shù)列“無限接近于1”的本質(zhì)確切地刻畫出來了，把它概括為一般情形，就得到用和N描述的數(shù)列極限的精確定義(簡稱為“-N”定義)：設(shè)有數(shù)列，并設(shè)A是一個常數(shù)如果任意給定一個(無論多么小的)正數(shù)，總存在一個正整數(shù)N，使得當nN時，都有成立，則稱數(shù)列以常數(shù)A為極限，且記為或者記為如果數(shù)列不存在極限，則稱數(shù)列發(fā)散注：是希臘字母，讀作epsiln；是拉丁文(極限)一詞的前三個字母，通常按英文limit(極限)一詞讀音現(xiàn)在我們對極限的定義作幾點說明：(1)關(guān)于正數(shù)，定義中的正數(shù)是一個距離指標，用來刻畫與A的接近程度具有二重性：是任意性，即可以根據(jù)需要任意選取，這樣，由不等式才能表明數(shù)列無限接近于a；是相對固定性，雖然可以任意給定，但一經(jīng)給定就相對固定下來，作為一個固定的正數(shù)看待正數(shù)的二重性體現(xiàn)了一個數(shù)列逼近它的極限時要經(jīng)歷一個無限過程(這個無限過程通過的任意性來體現(xiàn))，但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的(這個有限的變化通過的相對固定性來體現(xiàn))(2)定義中的正整數(shù)N是一個特定的項數(shù)，對于這個項數(shù)，重要的是它的存在性，它是在固定后才能確定的，所以它依賴于大體上說來，變小時，N就變大，所以可以把N看成是的函數(shù)要注意，對于一個固定的來說，合乎定義要求的正整數(shù)N不是惟一的例如數(shù)列的極限為0，即，取定存在自然數(shù)，當n100時有，顯然，對取定的，比100大的任何一個自然數(shù)都能起到的作用如取，當，當然也有一般情況，對任意0，總存在自然數(shù)N，當nN時，有，于是當時，當然也有.由此可見，在極限的定義中，“總存在自然數(shù)N”這段話，在于強調(diào)自然數(shù)N的存在性因此，在極限的證明題中，常取較大的自然數(shù)N此外，定義中的不等式指的是下面一串不等式：.定義要求這一串不等式都成立至于下面N個不等式，并不要求它們一定成立：(3)若是任意給定的數(shù)，不難看到2，5，也都是任意給定的數(shù)盡管它們在形式上與有差異，但在本質(zhì)上它們與起同樣的作用今后在極限的證明題中，常應(yīng)用與等價的其他形式2數(shù)列極限的幾何意義是什么?學(xué)習(xí)數(shù)列極限的幾何解釋，將有助于我們對數(shù)列極限概念有更深的理解由于數(shù)列的每一項在數(shù)軸上可以用一個點來表示，因而數(shù)列的每一項在數(shù)軸上就對應(yīng)一個點列先把數(shù)列的每一項和A在數(shù)軸上對應(yīng)的點表示出來，再作出以點A為中心，為半徑的開區(qū)間(A-，A+)由于不等式等價于，所以數(shù)列極限精確定義的幾何表示為：數(shù)列以A為極限，就是對任意給定的一個開區(qū)間(A-，A+)，第N項以后的一切數(shù)全部落在這個區(qū)間內(nèi)，如圖2-1：(以后的一切項全部落在有陰影的區(qū)間中)圖上的那個開區(qū)間(A-，A+)，我們有時也稱它是A點的鄰域，記為(A，)這樣的定義可以用鄰域把它敘述出來：對任意給定的鄰域(A，)，一定存在正整數(shù)N，當nN時，這個定義和剛才已經(jīng)給出的定義是一樣的，這是因為和是一回事3收斂數(shù)列是否可以進行四則運算?可以若數(shù)列與皆收斂(數(shù)列與的極限存在)，則可以對它們進行加、減、乘、除的四則運算我們看以下三個運算法則：若數(shù)列與皆收斂，則數(shù)列也收斂，且若數(shù)列與皆收斂，則數(shù)列也收斂，且若數(shù)則，皆收斂，且則數(shù)列也收斂，且這三個運算法則指出：若兩個數(shù)列收斂，先對它們進行四則運算再進行極限運算等于先對數(shù)列進行極限運算再進行四則運算這表明四則運算與極限運算是可以交換次序的這兩種不同的運算交換次序?qū)⒔o計算極限帶來很大的方便，我們可以利用這三個運算法則計算以下幾道例題例1 考察其中k，都是正整數(shù)，并且是都思路啟迪 原極限式中分子與分母各項式的極限都不存在，所以應(yīng)將其變形，變成分子與分母極限都存在的形式規(guī)范解法 應(yīng)用和與差的運算，得：再應(yīng)用除法運算，得：例2 設(shè)思路啟迪 由于的極限都不存在，所以應(yīng)先將變形，使之變成極限可求的數(shù)列規(guī)范解法 因為用除分子和分母，得，而，由得知，再應(yīng)用除法運算，即求得4什么叫無窮小量,無窮大量?設(shè)是一個數(shù)列，若對于任意給定的0，總存在正整數(shù)N，當nN時，,則稱為無窮小量，記為或要注意的是不能把無窮小量理解為很小的量設(shè)是一個數(shù)列，如果對任意給定的CO，總存在正整數(shù)N，當nN時必有我們就稱是一個無窮大量，記為，或要注意的是無窮大量是一個變量，在它的變化過程中，其絕對值隨著n的增大而無限制增大，切不可把它和很大的量混淆起來無窮大量的幾何解釋：所謂是無窮大量，就是對任意給定的兩個開區(qū)間(R，+)及(-，R)，一定有這樣的一項(第N項)，自這項以后的一切項(即nN的)全部都落在這兩個開區(qū)間內(nèi)，如圖2-2對于無窮大量，有時我們還要從變量的變化趨勢是保持正號還是保持負號來對無窮大量加以區(qū)分，有：(1)正無窮大量：設(shè)是無窮大量，并且自某項N以后(即nN)，有，我們就說是正無窮大量，記為或正無窮大量也可以這樣敘述：對任意給定的C0，總存在N，當nN時有，就稱是正無窮大量(2)相仿地可以給出負無窮大量的概念5無窮大量與無窮小量有什么關(guān)系?無窮大量和無窮小量之間有著密切的關(guān)系，可以用下面的定理表達出來定理：若為無窮大量，則它的倒數(shù)所成的數(shù)列為無窮小量反之，若為無窮小量，且，則它的倒數(shù)所成的數(shù)列為無窮大量證明：因是無窮大量，根據(jù)定義，對任意給定的CO，總可找到正整數(shù)N，當nN時，有，從而有因為C是任意的，所以也是任意的，于是就證明了是無窮小量定理的第二部分可以同樣證明6無窮大量有哪些運算法則?(1)設(shè)和都是正(或負)無窮大量，那么它們的和也是正(或負)無窮大量證明：我們只證明正無窮大量的情形對任意給定的C0，因，所以存在，當時有，又因，所以還存在，當時，有現(xiàn)在取，那么當nN時，就有，這便證明了要注意的是，任意兩個非同號的無窮大量之和可能不是無窮大量，例如n和-n都是無窮大量，但它們的和是0，0，顯然不是無窮大量(2)設(shè)是無窮大量，而是有界數(shù)列(后面有對有界數(shù)列的說明)，那么它們的和是無窮大量(3)設(shè)是無窮大量，又設(shè)數(shù)列具有以下特性，存在某個N，當nN時，有，那么它們的乘積是無窮大量證明：對任意給定的C0，由于，故存在，當時，有又因為當nN時，有，這時取當時，就有，而0是一個定數(shù)，這就證明了推論：設(shè)是無窮大量，收斂于a(a0)，那么它們的乘積是無窮大量例 設(shè)思路啟迪 和前面的例題一樣，原極限式的分子和分母都不存在極限，所以應(yīng)先將其變形，化成極限可求的情形規(guī)范解法 我們可以把寫成： 因為，又因為，所以，由推論得.將這個例子和前面的例子合并起來，我們便得到這里當然要假定點評 以后碰到類似求的問題，可以直接套用最后的結(jié)論.7什么是函數(shù)的極限?實際上，數(shù)列就是定義域為自然數(shù)集的函數(shù)，在每一個自然數(shù)n處的函數(shù)值f(n)就是，即，如果理解了這種特殊函數(shù)形式的極限，那么學(xué)習(xí)函數(shù)極限的概念也就可以觸類旁通，因為數(shù)列極限已包含著一般函數(shù)極限的基本思想與數(shù)列不同的是，函數(shù)y=f(x)的自變量有多種變化過程一般來說，自變量x的變化趨勢有兩種情形：一種是x無限接近于固定值；另一種是x的絕對值無限增大，也就是x沿數(shù)軸的正向和負向無限遠離原點，下面就這兩種不同的情形分別討論函數(shù)的極限引例1 已知自由落體的運動方程是，求在時刻t=1秒時的瞬時速度解 這里我們遇到了兩個問題：(1)什么叫做在時刻t=1秒時的瞬時速度；(2)怎么求出在時刻t=1秒時的瞬時速度在中學(xué)物理課本中，我們知道，當質(zhì)點做勻速直線運動時，速度是位移與時間之比：它可以代表質(zhì)點在任何時刻的速度但是，自由落體并不是作勻速直線運動的，因此不能直接利用公式來解決問題，為了解決所提出的問題，要用到平均速度的概念我們?nèi)我馊∫粋€很短的時間間隔1，t，把質(zhì)點在這個時間間隔內(nèi)所作的運動近似地看成是勻速的我們可以想象的到，當時刻t越來越接近1秒(也就是時間間隔1，t越短時)，質(zhì)點運動越接近于勻速運動，從而這段時間間隔的平均速度越接近于質(zhì)點在時刻t=1秒時的瞬時速度根據(jù)上述想法，首先求出所考慮的時間間隔內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度，這個速度是依賴于時刻t的，我們記為利用公式可以求得：這個式子反映了平均速度隨著時刻t的變化規(guī)律我們看到，平均速度具有這樣的變化趨勢：當時刻t無限接近于1秒，但t1秒時，平均速度無限接近于9.8米/秒這時我們說，當時刻t趨向于1秒時，平均速度以9.8米/秒極限,并記為我們把這個極限定義為自由落體在時刻t=1秒時的瞬時速度引例2 考察函數(shù)解 我們注意，這個函數(shù)在點x=1是沒有定義的，對這個函數(shù)作圖象，并列表如下：x0.90.990.99911.0011.011.1y1.91.991.99922.0012.012.1從上表和圖象可以看出：函數(shù)在點x=1的鄰近具有這樣的變化趨勢：當x無限接近于1，但x1時，函數(shù)的值無限接近于2這時我們說，當x趨向于1時，函數(shù)以2為極限,且記為從上面給出的兩個具體函數(shù)極限的例子的共同特點，可以抽象出當時函數(shù)f(x)的極限的描述性定義：如果函數(shù)y=f(x)在點的鄰近具有這樣的變化趨勢：當x無限接近于，但時，f(x)無限接近于一個常數(shù)A，那么我們說，當時，函數(shù)f(x)以A為極限，且記為這個式子中的符號“”讀作“x趨向于”，它表示x無限接近于的變化過程應(yīng)當注意，在一般討論函數(shù)極限時，只要求函數(shù)f(x)在某個點的空心鄰域(即點的鄰域，但不包含點)內(nèi)有定義，因此通常是限制x不等于的，并不要求函數(shù)f(x)在這一點一定要有定義比如，在上面例1中，當t=1時，平均速度就失去意義，因為只有在一段時間間隔內(nèi)，才有平均速度可言；又如，在例2中，當x=1時，所討論的函數(shù)也沒有定義因此，在研究函數(shù)f(x)的極限時；我們總不去考慮這一點的函數(shù)值情況無論f(x)在點是否有定義，只要當x無限接近于，但時，f(x)無限接近于常數(shù)A，那么數(shù)A就是函數(shù)f(x)當x趨向于時的極限上面關(guān)于函數(shù)極限概念的描述，也只是個直觀的描述，在這個直觀的描述中，涉及到兩個“無限接近”(x無限接近于和f(x)無限接近于A)，它們的真正含義是什么呢?弄清這些是掌握函數(shù)極限概念的關(guān)鍵所謂“當x無限接近于，但時，f(x)無限接近于A”的意思是：f(x)可以任意靠近A，希望有多近就能有多近，只要x充分靠近,但不等于時，就可以使f(x)與A靠近到我們希望的那樣近換句話說，就是指：“|f(x)-A|可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要充分小，但不為0(即時，就可以使|f(x)-A|達到我們希望的那樣小”我們可以用例1涉及的平均速度來說明，|f(x)-A|就相當于若取0.1作標準，那么只要時，就有若認為0.1不夠小，就選取0.01作標準那么只要時，就有若嫌0.01仍不夠小，要選更小的0.001作標準那么只要,就有若想選0.0001作標準只要，就有總之，任意給出多么小的正數(shù)作標準，只要這個一經(jīng)給定，那么對平均速度來說，總能確定(或說總存在)一個正數(shù)，使得當0|t-1|時，都有上述過程可以