數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)14圓錐曲線學(xué)案

專題14圓_錐_曲_線回顧20082012年的高考題，在填空題中主要考查了橢圓的離心率和定義的運(yùn)用，在解答題中2010、2011、2012年連續(xù)三年考查了直線與橢圓的綜合問(wèn)題，難度較高在近四年的圓錐曲線的考查中拋物線和雙曲線的考查較少且難度很小，這與考試說(shuō)明中A級(jí)要求相符合預(yù)測(cè)在2013年的高考題中：(1)填空題依然是以考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)為主，三種圓錐曲線都有可能涉及(2)在解答題中可能會(huì)出現(xiàn)圓、直線、橢圓的綜合問(wèn)題，難度較高，還有可能涉及簡(jiǎn)單的軌跡方程的求解1若橢圓1的離心率e，則m的值是_解析：當(dāng)m5時(shí)，解得m；當(dāng)m0)，則x22x3，解得x1，所求距離為1.答案：3雙曲線2x2y260上一個(gè)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)解析：雙曲線方程化為1.設(shè)P到另一焦點(diǎn)的距離為d，則由|4d|2得d42，或d42(舍去)答案：244(2012江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_(kāi)解析：由題意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.答案：25已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得e，則該橢圓離心率e的取值范圍是_解析：e，PF1ePF2e(2aPF1)，PF1.又acPF1ac，acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0e0)，則有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin，當(dāng)2k，kZ，即2k，kZ，2cos 1，sin 時(shí)，F(xiàn)AB的周長(zhǎng)最大，此時(shí)FAB的面積等于(11)33.法二：橢圓右焦點(diǎn)為F(1,0)由橢圓定義|AF|AF|BF|BF|2a.則FAB的周長(zhǎng)l|AF|BF|AB|4a(|FA|FB|)|AB|4a|FA|FB|AB|4a.所以FAB周長(zhǎng)最大時(shí)，直線xm經(jīng)過(guò)F(1,0)這時(shí)|AB|3，此時(shí)SFAB233.(2)由題意可設(shè)：|PF1|4m，|F1F2|3m，|PF2|2m，當(dāng)圓錐曲線是橢圓時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a|PF1|PF2|4m2m6m，焦距為2c|F1F2|3m，所以離心率e；當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a|PF1|PF2|4m2m2m，焦距為2c|F1F2|3m，所以離心率e.答案(1)3(2)或解決圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，一般考慮用定義，在橢圓和雙曲線的方程中要注意a，b，c之間關(guān)系的區(qū)別(1)已知雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，則其漸近線方程為_(kāi)；(2)已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_解析：(1)由a23，可得a1，雙曲線方程為x21，其漸近線方程為x0，即yx.(2)由y24x可知l2：x1是拋物線的準(zhǔn)線，所以P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值即為點(diǎn)F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離d2.答案：(1)yx(2)2(2012北京高考)已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值解(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得 (12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以MN .又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為SMNd.由，化簡(jiǎn)得7k42k250，解得k1.本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，一般是聯(lián)立方程消元后轉(zhuǎn)化為二次方程的問(wèn)題已知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)AMMN，M.由點(diǎn)M在橢圓上，得t6.故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2,3)所以(6，3)，(2，3)，1293.cos AMB.設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將A，F(xiàn)，N三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得得圓的方程為x2y22xy80，令x0，得y2y80.設(shè)P(0，y1)，Q(0，y2)，由線段PQ的中點(diǎn)為(0,9)，得y1y2t18.此時(shí)，所求圓的方程為x2y22x18y80.本題是直線、雙曲線、橢圓、圓的綜合問(wèn)題，主要考查待定系數(shù)法求曲線方程如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy20相切(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2)設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T在橢圓C上解：(1)由題意知橢圓C的短半軸長(zhǎng)為圓心到切線的距離，即b.因?yàn)殡x心率e，所以 .所以a2.所以橢圓C的方程為1.(2)證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1，直線QN的方程為yx2. 設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)聯(lián)立解得x0，y0.因?yàn)?，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓C：1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合(1)求拋物線D的方程；(2)過(guò)橢圓C右頂點(diǎn)A的直線l交拋物線D于M、N兩點(diǎn)若直線l的斜率為1，求MN的長(zhǎng)；是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由解(1)由題意，可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)由a2b216151，得c1.拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，p2.拋物線D的方程為y24x.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)直線l的方程為：yx4，聯(lián)立整理得x212x160.則x1x212，x1x216，所以MN 4.設(shè)存在直線m：xa滿足題意，則圓心E，過(guò)E作直線xa的垂線，垂足為H，設(shè)直線m與圓E的一個(gè)交點(diǎn)為G.可得GH2EG2EH2，即GH2EA2EH22ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.當(dāng)a3時(shí)，GH23，此時(shí)直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2.因此存在直線m：x3滿足題意 以探究“是否存在”為目標(biāo)的開(kāi)放性問(wèn)題，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題的方法類似于反證法，即先假設(shè)存在并設(shè)出參數(shù)建立方程，若有符合題意的解，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在已知橢圓C的離心率e，一條準(zhǔn)線方程為x4，P為準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PF1、PF2分別與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的焦距F1F2為直徑的圓O交于點(diǎn)M、N.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)探究是否存在一定點(diǎn)恒在直線MN上？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由題意得，4，解得c2，a2，則b2a2c24，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)易知F1F24，所以圓O的方程為x2y24.設(shè)P(4，t)，則直線PF1方程為y(x2)，由得(t236)x24t2x4(t236)0，解得x12，x2，所以M，同理可得N.若MNx軸，則，解得t212，此時(shí)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)都為1，故直線MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)；若MN與x軸不垂直，即t212，此時(shí)kMN，所以直線MN的方程為y，即y(x1)，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)(1)求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法而對(duì)于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2ny21(mn0)，這樣可以避免對(duì)參數(shù)的討論(2)求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值(3)在雙曲線中由于e21，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)1(2012上海春招)拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析：由p4得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)答案：(2,0)2已知方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_；若該方程表示雙曲線，則m的取值范圍是_解析：若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則解得1m；若方程表示雙曲線，則(m1)(2m)0，解得m2.答案：(，1)(2，)3點(diǎn)P為橢圓1(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，如果PF1F275，PF2F115，則橢圓的離心率為_(kāi)解析：由題意得F1PF290，PF12c cos 75，PF22c sin 75，所以2c(sin 75cos 75)2a，e.答案：4已知拋物線y22px(p0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)解析：直線AB的方程為yx，即xy，代入y22px得，y22pyp20.則yAyB2p4，p2，準(zhǔn)線方程為x1.答案：x15(2011天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為_(kāi)解析：由題設(shè)可得雙曲線方程滿足3x2y2(0)，即1.于是c2.又拋物線y224x的準(zhǔn)線方程為x6，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則c236，于是27.所以雙曲線的方程1.答案：16已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且2，則C的離心率為_(kāi)解析：不妨設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，B點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，F(xiàn)(c,0)(c0)為右焦點(diǎn)，則由2，得D點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是B點(diǎn)到右準(zhǔn)線距離的一半，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)xD，由2 知，c2，得3c2a2，e.答案：7(2011江西高考)若橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)作圓x2y21的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是_解析：由題可設(shè)斜率存在的切線的方程為yk(x1)(k為切線的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圓x2y21的一條切線方程為3x4y50，求得切點(diǎn)A，易知另一切點(diǎn)B(1,0)，則直線AB的方程為y2x2.令y0得右焦點(diǎn)為(1,0)，令x0得上頂點(diǎn)為(0,2)a2b2c25，故得所求橢圓方程為1.答案：18已知雙曲線1(a0，b0)和橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_(kāi)解析：由題意知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，離心率是.故在雙曲線中c，e，故a2，b2c2a23，故所求雙曲線的方程是1.答案：19設(shè)P點(diǎn)在圓x2(y2)21上移動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓y21上移動(dòng)，則PQ的最大值是_解析：圓心C(0,2)，PQPCCQ1CQ，于是只要求CQ的最大值設(shè)Q(x，y)，CQ ，1y1，當(dāng)y時(shí)，CQmax ，PQmax1.答案：110(2012遼寧高考)已知雙曲線x2y21，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_(kāi)解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，因?yàn)镻F1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因?yàn)閨PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|PF2|4，則(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.答案：211.(2011四川高考)過(guò)點(diǎn)C(0,1)的橢圓1(ab0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B(a,0)過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值解：(1)由已知得b1，解得a2，所以橢圓方程為y21.橢圓的右焦點(diǎn)為(，0)，此時(shí)直線l的方程為yx1，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得7x28x0.解得x10，x2，代入直線l的方程得y11，y2，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.故|CD|.(2)證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符設(shè)直線l的方程為ykx1.代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(4k21)x28kx0.解得x10，x2，代入直線l的方程得y11，y2，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.又直線AC的方程為y1，直線BD的方程為y(x2)，聯(lián)立解得因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4k,2k1)又P點(diǎn)坐標(biāo)為.所以(4k,2k1)4.故為定值12已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，一條準(zhǔn)線l：x2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是l上的點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓D交于P，Q兩點(diǎn)若PQ，求圓D的方程；若M是l上的動(dòng)點(diǎn)，求證點(diǎn)P在