廣東深圳實驗學校高中部高二數(shù)學上學期期中

深圳實驗學校高中部2019-2020學年度第一學期期中考試高二數(shù)學試題時間：120分鐘 滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求。1拋物線的焦點坐標是ABCD2若，構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是A，B，C，D，3方程表示的曲線是A一個點B一條直線C兩條直線D雙曲線4如圖1，在平行六面體中，與的交點為設，則下列向量中與相等的向量是ABCD5橢圓與橢圓（）的 圖1A長軸長相等B短軸長相等C離心率相等D焦距相等6設平面與平面的夾角為，若平面，的法向量分別為和，則ABCD7與圓及圓都外切的圓的圓心在A圓上B橢圓上C拋物線上D雙曲線的一支上8以，為頂點的三角形是A等邊三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形9已知點在拋物線上，點在直線上，則的最小值是ABCD10在直三棱柱中，分別是，的中點，則與所成角的余弦值是ABCD11已知雙曲線（，）的離心率，若，是雙曲線上任意三點，且，關于坐標原點對稱，則直線，的斜率之積為ABCD12已知空間直角坐標系中，是單位球內一定點，是球面上任意三點，且向量，兩兩垂直，若（注：以表示點的坐標），則動點的軌跡是A為球心，為半徑的球面B為球心，為半徑的球面C為球心，為半徑的球面D為球心，為半徑的球面二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13雙曲線上一點與它的一個焦點間的距離等于1，那么點與另一個焦點間的距離等于 14，是從點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是 15圖2為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為 （注：重力加速度取，精確到） 圖216已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是 三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）已知空間三點，（1）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標18（本小題滿分12分）設拋物線（）上的點與焦點的距離為，到軸的距離為（1）求拋物線的方程和點的坐標；（2）若點位于第一象限，直線與拋物線相交于，兩點，求證：19（本小題滿分12分）如圖3，在三棱錐中，是的重心（三條中線的交點），是空間任意一點（1）用向量，表示，并證明你的結論；（2）設，請寫出點在的內部（不包括邊界）的充分必要條件（不必給出證明）圖320（本小題滿分12分）已知動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是定值（其中，）（1）求動點的軌跡方程；（2）當，變化時，指出（1）中軌跡方程表示的曲線形狀21（本小題滿分12分）如圖4，四邊形為梯形，四邊形為矩形，平面平面，為的中點（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小圖422（本小題滿分12分）已知直線：經(jīng)過橢圓：（）右焦點，且與橢圓相交于，兩點，為的中點，的斜率為（為坐標原點）（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓：（）相切，且圓的動切線與橢圓相交于，兩點，求面積的最大值深圳實驗學校高中部2019-2020學年度第一學期期中考試高二數(shù)學試題參考答案與評分標準一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求。題號123456789101112答案DCCADBDDBABB12解：選擇B由得，即又，兩兩垂直，所以是以，為三條相鄰棱的長方體中與頂點相對的頂點由，得（*）又，所以，同理，三式相加，得，代入（*）式，得，即（定值）所以，動點的軌跡是以為球心，為半徑的球面注：本題也可以采用排除法分別考慮與重合和點在球面上兩種極端情形，研究即得答案二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13 17 14 15 1.41（N） 16注：1、第15小題中，無單位（N）不扣分；（2）第16小題中，未注明不給分三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）已知空間三點，（1）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標解：（1）由已知，1分所以，；2分3分故以，為鄰邊的平行四邊形的面積等于5分（2）設，由已知，得6分7分 8分所以，向量或 10分18（本小題滿分12分）設拋物線（）上的點與焦點的距離為，到軸的距離為（1）求拋物線的方程和點的坐標；（2）若點位于第一象限，直線與拋物線相交于，兩點，求證：解：（1）由拋物線的定義知，點到準線的距離為，1分即有2分解之，得， 3分所以，拋物線的方程為， 4分點的坐標為或 6分證明：（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，7分解之，得或，即，或，10分又，所以故12分注：1、點，的坐標只需寫出一組；2、也可以利用根與系數(shù)的關系證明（略）19（本小題滿分12分）如圖3，在三棱錐中，是的重心（三條中線的交點），是空間任意一點（1）用向量，表示，并證明你的結論；（2）設，請寫出點在的內部（不包括邊界）的充分必要條件（不必給出證明）解：（1）2分證明如下： 4分 6分 7分 圖3（2）設，則點在的內部（不包括邊界）的充分必要條件是：，9分且，12分20（本小題滿分12分）已知動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是定值（其中，）（1）求動點的軌跡方程；（2）當，變化時，指出（1）中軌跡方程表示的曲線形狀解：（1）設，由已知，得2分所以，兩邊平方，得， 化簡，得動點的軌跡方程為5分（2）因為，所以當時，（1）中軌跡方程化為，它表示的曲線是直線軸；7分當時，（1）中軌跡方程化為，它表示中心在原點，焦點在軸上，長半軸長為，短半軸長為的橢圓；9分當時，（1）中軌跡方程化為，它表示中心在原點，焦點在軸上，實半軸長為，虛半軸長為的雙曲線 12分21（本小題滿分12分）如圖4，四邊形為梯形，四邊形為矩形，平面平面，為的中點（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小證明：（1）（法1）連結與相交于，連結1分因為四邊形為矩形，所以為中點 圖4又為的中點，所以，在中，3分平面5分（法2）因為四邊形為矩形，且為的中點，所以1分3分從而與，是共面向量又平面，所以平面5分解：（2）因為四邊形為矩形，所以又平面平面，平面，平面平面，所以平面7分而，所以，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖5 圖5設，由已知，得，設平面的一個法向量為，則，且，所以，且，即，取，得，即同理，可求得平面的一個法向量為 10分所以，平面與平面的夾角為 12分22（本小題滿分12分）已知直線：經(jīng)過橢圓：（）右焦點，且與橢圓相交于，兩點，為的中點，的斜率為（為坐標原點）（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓：（）相切，且圓的動切線與橢圓相交于，兩點，求面積的最大值解：（1）設，則，兩式相減并整理，得，即所以 2分又直線：與軸的交點為，由已知，得3分聯(lián)立，解得，所以，橢圓的方程為