第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：11.2互斥事件有一個發(fā)生的概率

11.2 互斥事件有一個發(fā)生的概率知識梳理1.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.2.對立事件：其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.3.對于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系;第二，所研究的兩個事件是在一次試驗(yàn)中涉及的;第三，兩個事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的.從集合角度來看，A、B兩個事件互斥，則表示A、B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集.對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A=U，A=.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.4.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的，因此當(dāng)A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.當(dāng)計(jì)算事件A的概率P（A）比較困難時，有時計(jì)算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P（A）=1P（）.對于n個互斥事件A1，A2，An，其加法公式為P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.5.分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想.點(diǎn)擊雙基1.兩個事件互斥是這兩個事件對立的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：根據(jù)定義判斷.答案：B2.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量小于4.8 g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85 g的概率是0.32，那么質(zhì)量在4.8，4.85）g范圍內(nèi)的概率是A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68解析：設(shè)一個羽毛球的質(zhì)量為 g，則P（4.8）+P（4.84.85）+P（4.85）=1.P（4.84.85）=10.30.32=0.38.答案：B3.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙二人下成和棋的概率為A.60% B.30% C.10% D.50%解析：甲不輸即為甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，p=50%.答案：D4.（2004年東北三校模擬題）一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球，從中摸出一個球，放回后再摸出一個球，則兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為_.解析：（1）先摸出白球，P白=C，再摸出黑球，P白黑=CC；（2）先摸出黑球，P黑=C，再摸出白球，P黑白=CC，故P=+=.答案：5.有10張人民幣，其中伍元的有2張，貳元的有3張，壹元的有5張，從中任取3張，則3張中至少有2張的幣值相同的概率為_.解析：至少2張相同，則分2張時和3張時，故P=.答案： 典例剖析【例1】 今有標(biāo)號為1，2，3，4，5的五封信，另有同樣標(biāo)號的五個信封.現(xiàn)將五封信任意地裝入五個信封，每個信封裝入一封信，試求至少有兩封信配對的概率.解：設(shè)恰有兩封信配對為事件A，恰有三封信配對為事件B，恰有四封信（也即五封信配對）為事件C，則“至少有兩封信配對”事件等于A+B+C，且A、B、C兩兩互斥.P（A）=，P（B）=，P（C）=，所求概率P（A）+P（B）+P（C）=.答：至少有兩封信配對的概率是.思考討論若求（1）至少有1封信配對.答案：.（2）沒有一封信配對.答案：1.【例2】 （2004年合肥模擬題）在袋中裝20個小球，其中彩球有n個紅色、5個藍(lán)色、10個黃色，其余為白球.求：（1）如果從袋中取出3個都是相同顏色彩球（無白色）的概率是，且n2，那么，袋中的紅球共有幾個?（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率.解：（1）取3個球的種數(shù)為C=1140.設(shè)“3個球全為紅色”為事件A，“3個球全為藍(lán)色”為事件B，“3個球全為黃色”為事件C.P（B）=，P（C）=.A、B、C為互斥事件，P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），即=P（A）+P（A）=0取3個球全為紅球的個數(shù)2.又n2，故n=2.（2）記“3個球中至少有一個是紅球”為事件D.則為“3個球中沒有紅球”.P（D）=1P（）=1=或P（D）=.【例3】 9個國家乒乓球隊(duì)中有3個亞洲國家隊(duì)，抽簽分成甲、乙、丙三組（每組3隊(duì)）進(jìn)行預(yù)賽，試求：（1）三個組各有一個亞洲隊(duì)的概率；（2）至少有兩個亞洲隊(duì)分在同一組的概率.解：9個隊(duì)分成甲、乙、丙三組有CCC種等可能的結(jié)果.（1）三個亞洲國家隊(duì)分給甲、乙、丙三組，每組一個隊(duì)有A種分法，其余6個隊(duì)平分給甲、乙、丙三組有CCC種分法.故三個組各有一個亞洲國家隊(duì)的結(jié)果有ACCC種，所求概率P（A）=.答：三個組各有一個亞洲國家隊(duì)的概率是.（2）事件“至少有兩個亞洲國家隊(duì)分在同一組”是事件“三個組各有一個亞洲國家隊(duì)”的對立事件，所求概率為1=.答：至少有兩個亞洲國家隊(duì)分在同一組的概率是.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是A.至少有1個白球，都是紅球B.至少有1個白球，至多有1個紅球C.恰有1個白球，恰有2個白球D.至多有1個白球，都是紅球答案：C2.一批產(chǎn)品共10件，其中有兩件次品，現(xiàn)隨機(jī)地抽取5件，則所取5件中至多有一件次品的概率為A.B. C. D.解析：P=+=+=.答案：B3.有3人，每人都以相同的概率被分配到4個房間中的一間，則至少有2人分配到同一房間的概率是_.解析：P=1=.答案： 4.從編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十個球中，任取5個球，則這5個球編號之和為奇數(shù)的概率是_.解析：任取5個球有C種結(jié)果，編號之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為CC+CC+C=126，故所求概率為=.答案：5.52張橋牌中有4張A，甲、乙、丙、丁每人任意分到13張牌，已知甲手中有一張A，求丙手中至少有一張A的概率.解：丙手中沒有A的概率是，由對立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一張A的概率是1=0.5949.6.袋中有5個白球，3個黑球，從中任意摸出4個，求下列事件發(fā)生的概率：（1）摸出2個或3個白球；（2）至少摸出1個白球；（3）至少摸出1個黑球.解：從8個球中任意摸出4個共有C種不同的結(jié)果.記從8個球中任取4個，其中恰有1個白球?yàn)槭录嗀1，恰有2個白球?yàn)槭录嗀2，3個白球?yàn)槭录嗀3，4個白球?yàn)槭录嗀4，恰有i個黑球?yàn)槭录﨎i.則（1）摸出2個或3個白球的概率P1=P（A2+A3）=P（A2）+P（A3）=+=+=.（2）至少摸出1個白球的概率P2=1P（B4）=10=1.（3）至少摸出1個黑球的概率P3=1P（A4）=1=.培養(yǎng)能力7.某單位36人的血型類型是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.現(xiàn)從這36人中任選2人.求：（1）兩人同為A型血的概率；（2）兩人具有不相同血型的概率.解：（1）P=.（2）考慮對立事件：兩人同血型為事件A，那么P（A）=.所以不同血型的概率為P=1P（A）=.8.8個籃球隊(duì)中有2個強(qiáng)隊(duì)，先任意將這8個隊(duì)分成兩個組（每組4個隊(duì)）進(jìn)行比賽，則這兩個強(qiáng)隊(duì)被分在一個組內(nèi)的概率是_.解法一：2個強(qiáng)隊(duì)分在同一組，包括互斥的兩種情況：2個強(qiáng)隊(duì)都分在A組和都分在B組.2個強(qiáng)隊(duì)都分在A組，可看成“從8個隊(duì)中抽取4個隊(duì)，里面包括2個強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為；2個強(qiáng)隊(duì)都分在B組，可看成“從8個隊(duì)中抽取4個隊(duì)，里面沒有強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為.因此，2個強(qiáng)隊(duì)分在同一個組的概率為P=+=.解法二：“2個強(qiáng)隊(duì)分在同一個組”這一事件的對立事件“2個組中各有一個強(qiáng)隊(duì)”，而兩個組中各有一個強(qiáng)隊(duì)，可看成“從8個隊(duì)中抽取4個隊(duì)，里面恰有一個強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為.因此，2個強(qiáng)隊(duì)分在同一個組的概率P=1=1=.答案：探究創(chuàng)新9.有點(diǎn)難度喲！有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求證：PnPn1=（Pn1Pn2），其中nN，2n99；（3）求P99及P100的值.（1）解：棋子開始在第0站為必然事件，P0=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，P1=.棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為；第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為.P2=+=.（2）證明：棋子跳到第n（2n99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：棋子先到第n2站，又?jǐn)S出反面，其概率為Pn2；棋子先到第n1站，又?jǐn)S出正面，其概率為Pn1.Pn=Pn2+Pn1.PnPn1=（Pn1Pn2）.（3）解：由（2）知，當(dāng)1n99時，數(shù)列PnPn1是首項(xiàng)為P1P0=，公比為的等比數(shù)列.P11=，P2P1=（）2，P3P2=（）3，PnPn1=（）n.以上各式相加，得Pn1=（）+（）2+（）n，Pn=1+（）+（）2+（）n=1（）n+1（n=0，1，2，99）.P99=1（）100，P100=P98=1（）99=1+（）99.思悟小結(jié)求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.概率加法公式僅適用于互斥事件，即當(dāng)A、B互斥時，P（A+B）=P（A）+P（B），否則公式不能使用.2.如果某事件A發(fā)生包含的情況較多，而它的對立事件（即A不發(fā)生）所包含的情形較少，利用公式P（A）=1P（）計(jì)算A的概率則比較方便.這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時對培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的.拓展題例【例題】 某單位一輛交通車載有8個職工從單位出發(fā)送他們下班回家，途中共有甲、乙、丙3個停車點(diǎn)，如果某停車點(diǎn)無人下車，那么該車在這個點(diǎn)就不停車.假設(shè)每個職工在每個停車點(diǎn)下車的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）該車在某停車點(diǎn)停車；（2）停車的次數(shù)不少于2次；（3）恰好停車2次.解：將8個職工每一種下車的情況作為1個基本事件，那么共有38=6561（個）基本事件.（1）記“該車在某停車點(diǎn)停車”為事件A，事件A發(fā)生說明在這個停車點(diǎn)有人下車，即至少有一人下車