高三數(shù)學第62課時空間的角教案

課題：空間的角教學目標：掌握直線與平面所成角、二面角的計算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關問題,進一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關問題.教學重點：直線與平面所成的角，二面角的求解.（一） 主要知識及主要方法： 三垂線定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線的逆定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直. 空間角的計算步驟 一作、二證、三算.異面直線所成角：范圍：；計算方法:平移法：一般情況下應用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進行平移.向量法：設、分別為異面直線、的方向向量,則兩異面直線所成的角；補體法；證明兩條異面直線垂直,即所成角為.直線與平面所成的角：定義：（課本）平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角.范圍 ；最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角.斜線與平面所成角的計算：直接法：關鍵是作垂線，找射影 可利用面面垂直的性質； 平移法：通過三角形的中位線或平行四邊形的對邊平移，計算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過等體積法求出斜線任一點到平面的距離，計算這點與斜足之間的線段長，則.應用結論：如右圖所示，為垂足，為斜足，與平面所成的角為，則.向量法：設是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角.二面角：定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個半平面重合時，二面角為，當兩個半平面合成一個平面時，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.確定二面角的方法：定義法；三垂線定理及其逆定理法；垂面法；射影面積法：，此方法常用于無棱二面角大小的計算；無棱二面角也可以先根據(jù)線面性質恢復二面角的棱，然后再用方法、計算大?。幌蛄糠ǎ悍ㄒ?、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角；其方向如右圖，則二面角的平面角（同等異補）法二、設,是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側，另一個指向外側（同等異補），則二面角的平面角（二）典例分析： 問題1（全國）四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面已知，證明：；求直線與平面所成角的大小（本小題要求用多種方法解答,包括向量法）.問題2 （屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬）邊長為的正方體中，是棱上任一點，（）.若時，求證：面面；試確定值，使直線與平面所成的角的正切值為.問題3（四川）如圖，是直角梯形，又，直線與直線所成的角為.求證：平面平面；求二面角的大小;求三棱錐的體積.(要求第小題用多種方法解答,包括向量法）.問題4（陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，求證：平面（此小題這里略去不做）；求二面角的大小(要求第小題用多種方法解答,包括向量法）.（三）課后作業(yè)： 如圖所示，在棱長為的正方體中，是底面的中心，分別是，的中點.那么異面直線和所成角的余弦值等于 (浙江文)在三棱錐中，點、分別是、的中點，底面.求證：平面；求直線與平面所成角的大小如圖，的邊長為，都垂直于平面，且，點為的中點，求直線與平面所成的角.（四）走向高考： （浙江）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點求證：；求與平面所成的角(北京)如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上求證：平面平面；當為的中點時，求異面直線與所成角的大小