高中數(shù)學(xué) 《第三章 三角恒等變換》總結(jié)與習(xí)題 蘇教必修4

三角形常數(shù)變形及其應(yīng)用一、課程要求：1.為了進(jìn)一步理解矢量法的作用，我們經(jīng)歷了用矢量的乘積推導(dǎo)兩個(gè)角差的余弦公式的過(guò)程。2.兩個(gè)角的和與差的正弦、余弦和正切公式，以及兩個(gè)角的正弦、余弦和正切公式可以從兩個(gè)角的差的余弦公式中推導(dǎo)出來(lái)，以了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3.上述公式可用于簡(jiǎn)單的常數(shù)變換(包括導(dǎo)出積和差、和差積和半角公式，但不需要記憶)。二。命題趨勢(shì)從近年來(lái)高考的方向來(lái)看，這部分高考試題有更多的選擇和回答問題的機(jī)會(huì)，有時(shí)以填空題的形式出現(xiàn)。它們通常與三角函數(shù)、解三角形和向量的性質(zhì)結(jié)合在一起。主要問題是三角函數(shù)的求值，通過(guò)三角變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。這次講座的內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一。三角函數(shù)的簡(jiǎn)化和求值以及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。在多年的高考中，在觀察三角公式的掌握和應(yīng)用的同時(shí)，也注重思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察、計(jì)算和觀察、計(jì)算和推理以及綜合分析的能力。三。要點(diǎn)1.兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)；2.雙角度公式；3.三角函數(shù)的簡(jiǎn)化常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降階和消項(xiàng)；(2)切串，同音異義，異角化為同一個(gè)角度；(3)三角公式的逆等。(2)簡(jiǎn)化要求：應(yīng)獲得可獲得的值；(2)使三角函數(shù)的數(shù)量盡可能少；(3)盡量減少物品的數(shù)量；(4)嘗試從分母中排除三角函數(shù)；嘗試將三角函數(shù)從要打開的方塊數(shù)中排除。(1)功率降低公式；(2)輔助角度公式,4.三角函數(shù)有三種評(píng)估方式(1)角度評(píng)估：一般來(lái)說(shuō)，給定的角度都是非特殊角度。要觀察給定角度和特殊角度之間的關(guān)系，用三角變換消除非特殊角度，并轉(zhuǎn)化為特殊角度的三角函數(shù)值問題。(2)取值：給出某些角度的三角函數(shù)公式的值，求出其他角度的三角函數(shù)值。解決問題的關(guān)鍵在于“改變角度”，如等。用包含已知角度的公式來(lái)表示得到的角度，在解決問題時(shí)注意角度范圍的討論；(3)從給定值尋找角度：本質(zhì)上，它轉(zhuǎn)化為“給定值的評(píng)估”問題。通過(guò)將獲得的角度的函數(shù)值與角度的范圍和函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合來(lái)找到角度。5.三角形方程的證明(1)根據(jù)方程兩端的特點(diǎn)，三角恒等式的證明思想是通過(guò)三角恒等式變換、乘法簡(jiǎn)化、左右恒等式等手段，將方程兩端的“差”變?yōu)椤巴薄?2)證明三角條件方程的思想是通過(guò)觀察找到已知條件與待證明方程之間的關(guān)系，并通過(guò)代換法、參數(shù)消去法或分析法進(jìn)行證明。四.典型案例分析問題1:兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)案例1。眾所周知，因?yàn)?。分析：由于它可以看作是雙角度的，所以可以得到以下兩個(gè)解。解決方案1:從已知的罪sin=1.，cos=0， 2 2得到22個(gè)cos科斯. cos 2 cos 2 cos ()=-1代表2-2，那是2co()=-1。解決方案2:獲取.3來(lái)自從(2)到(4)(4) (3)注釋：這個(gè)問題是給出一個(gè)單角度的三角函數(shù)方程，并求出一個(gè)復(fù)角度的余弦值。用方程求解正弦、余弦、正弦和余弦很容易出錯(cuò)。然而，有四個(gè)未知數(shù)。顯然，前景并不樂觀。錯(cuò)誤的原因在于沒有注意到德備注：(1)本例中的解決方案2比解決方案1簡(jiǎn)單。一個(gè)好的解決方案來(lái)自于一個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，它巧妙地掌握知識(shí)，從而找到知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”來(lái)解決這個(gè)問題。(2)使用三角函數(shù)和差角公式的關(guān)鍵是記憶公式。我們不僅要記住公式，還要掌握公式的特點(diǎn)，如角度、時(shí)間、三角函數(shù)名之間的關(guān)系等。掌握公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起著至關(guān)重要的作用。此外，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征有助于觀察三角函數(shù)公式中相似性的結(jié)構(gòu)特征，如解析問題的設(shè)置和結(jié)論等。解決問題時(shí)，關(guān)聯(lián)相應(yīng)的公式，找到解決問題的突破點(diǎn)。(3)公式與公式的逆，變量形式也應(yīng)熟悉，如問題2:雙角度公式例3。簡(jiǎn)化以下類型：(1)，(2 ).分析：(1)如果注意到簡(jiǎn)化公式是平方根和2及其范圍，就不難找到解決問題的突破口；(2)由于分子是平方方差，即分母中的角度，如果你注意這兩個(gè)特征，就不難找到解決問題的起點(diǎn)。分析：(1)因?yàn)?，因?yàn)椋虼耍夹问?。(2)原始公式=.備注：(1)在雙角度公式中，兩個(gè)角度的倍數(shù)關(guān)系不限于兩次。我們應(yīng)該熟悉各種形式的兩個(gè)角度的多重關(guān)系。同時(shí)，我們也要注意三個(gè)角度的內(nèi)在聯(lián)系，這是一個(gè)常見的三角變換。(2)要簡(jiǎn)化一個(gè)問題，必須找到一個(gè)突破點(diǎn)。其中，減少順序，消除元，切割字符串，改變名稱為同一個(gè)名字，改變角落為同一個(gè)角度是常用的簡(jiǎn)化技術(shù)。(3)公式變形。如果。分析：對(duì)于提到的兩個(gè)轉(zhuǎn)換，有以下兩個(gè)解決方案。解決方案1:通過(guò)，解決方案2:注釋：如果這個(gè)問題的左側(cè)被展開，再次找到cosx和sinx的值，這是非常復(fù)雜的。注意角度的變化。2使用雙角度公式，問題將很難解決，并將被簡(jiǎn)化。因此，在用條件解決評(píng)價(jià)問題時(shí)，應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的角度與已知條件下的角度之間的聯(lián)系。一般的方法是拼出角度并分割角度。例如，,等等。問題3:輔助角度公式例5。已知正實(shí)數(shù)a、b滿足。分析：從方程的角度來(lái)看，如果方程左側(cè)的分子和分母同時(shí)除以A，則已知的方程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)公式，從而得到該公式。如果注意到方程左側(cè)分子和分母的結(jié)構(gòu)，可以考慮用輔助角來(lái)求解。解決方案1:由問題決定解決方案2:解決方案3:注釋：在上述解決方案中，方法一使用了集中變量的思想，是一個(gè)基本的解決方案。解決方案2通過(guò)模式關(guān)聯(lián)引入輔助角度，這更為巧妙，但是輔助角度的公式，或這些年在高考中使用的頻率相當(dāng)高，應(yīng)該引起注意。解決方案3使用替代方法，但它實(shí)際上是對(duì)解決方案1和解決方案2的優(yōu)點(diǎn)的全面理解，因此解決方案3是最好的。例6。已知函數(shù)y=cos2x sinxcosx 1，x r。(1)當(dāng)函數(shù)y獲得最大值時(shí)，尋找自變量x的集合；(2)從y=sinx (x r)的像中可以得到這個(gè)函數(shù)的像是什么樣的平移和展開變換？(原因)(1)分析：y=cos2x sinxcosx 1=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+由y獲得的最大值必須且僅需要2x=2k，kZ，即x=k，k z。所以當(dāng)函數(shù)y得到最大值時(shí)，獨(dú)立變量x的集合是x | x=k，k z。(2)函數(shù)y=sinx按如下順序變換：(1)向左移動(dòng)函數(shù)y=sinx的圖像以獲得函數(shù)y=sin (x)的圖像；(2)將獲得的圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原始時(shí)間(縱坐標(biāo)不變)以獲得函數(shù)y=sin(2x)；(3)將獲得的圖像上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原始時(shí)間(橫坐標(biāo)不變)t(1)當(dāng)函數(shù)y獲得最大值時(shí)，尋找自變量x的集合；(2)從y=sinx (x r)的像中可以得到這個(gè)函數(shù)的像是什么樣的平移和展開變換？分析：(1)y=sinx cosx=2(sinx cos xsin)=2 sin(x)，xR必須獲得y的最大值，并且只有x=2k，kZ，即x=2k，k z。因此，當(dāng)函數(shù)y獲得最大值時(shí)，獨(dú)立變量x的集合是x | x=2k，k z(2)轉(zhuǎn)化步驟是：(1)向左移動(dòng)函數(shù)y=sinx的圖像以獲得函數(shù)y=sin (x)的圖像；(2)使獲得的圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，并把縱坐標(biāo)擴(kuò)展到原來(lái)的兩倍，得到函數(shù)y=英寸(x)的圖像。在這種變換之后，獲得函數(shù)y=sinx cosx的圖像。備注：本課題主要考察三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并利用三角公式進(jìn)行恒定變形的技巧和計(jì)算能力。問題4:三角函數(shù)的簡(jiǎn)化例7。查找sin220 cos250 sin20cos50的值。分析：原公式=(1-cos 40)(1 cos 100)(sin 70-sin 30)=1+(cos100-cos40)+sin70-=-sin70sin30+sin70=-sin70+sin70=.評(píng)論：本主題研究三角恒等式和計(jì)算能力。例8。已知功能。有待確定的領(lǐng)域；(二)設(shè)定第四象限的角度，并計(jì)算數(shù)值。分析：(一)通過(guò)，所以在這個(gè)領(lǐng)域里(ii)因?yàn)?，并且是第四象限的拐角，因此因此。問題5:三角函數(shù)評(píng)估例9。設(shè)f(x)=cos2cos sinrcosx a(其中 0，ar)，f(x)圖像y軸右側(cè)第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。求的值；(ii)如果間隔中f(x)的最小值為，則求a的值。分析：(一)根據(jù)主題。(二)從(一)可知，因此，在那時(shí)，間隔中的最小值是，因此例10。求函數(shù)=2的取值范圍和最小正周期。分析：y=cos(x)cos(x-)sin2x=cos2xsin2x=2s in(2x)。函數(shù)y=cos (x) cos (x-) sin2x的取值范圍是-2，2，最小正周期是。問題6:三角函數(shù)綜合例11。已知向量(一)如果找到(二)中的最大值。分析：(1)；當(dāng)=1時(shí)，有一個(gè)最大值。此時(shí)，最大值為。備注：本主題主要考察以下知識(shí)點(diǎn)：1 .向量被垂直轉(zhuǎn)換成0的數(shù)量乘積；2、特殊角度的三角函數(shù)值；3.三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的有界性：4.已知向量的坐標(biāo)表示難度中等，并且需要很少的計(jì)算。例12。假設(shè)曲線x2sin y2cos=1和X2COS -Y2SIN =1有4個(gè)不同的交點(diǎn)。(1)找出的取值范圍；(2)證明四個(gè)交點(diǎn)是圓的，并求出圓半徑的取值范圍。分析：(1)求解方程得到；因此，兩條已知曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是，(0)0。(2)如果四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(xi，yi) (I=1，2，3，4)，那么：xi2 yi2=2cos (2) (I=1，2，3，4)。因此，四個(gè)交點(diǎn)是圓的，并且這個(gè)圓的半徑r是r=cos)。備注：本主題重點(diǎn)考察解方程方法在處理曲線相交時(shí)的應(yīng)用，這也是曲線和方程的基本方法。同時(shí)，這個(gè)題目也突出了三角不等式的檢驗(yàn)。問題7:三角函數(shù)的應(yīng)用例13。有一個(gè)半徑為R、中心角為60的扇形鐵板。下一個(gè)內(nèi)接矩形從該扇形中切割出來(lái)，即矩形的每個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或圓弧上，并且計(jì)算該內(nèi)接矩形的最大面積。分析：從這個(gè)話題開始，我們應(yīng)該解決兩個(gè)問題。(1)放置內(nèi)接矩形有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)分別處理。(2)為了找到最大值，我們應(yīng)該在這里構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，并說(shuō)明如何選擇便于表