材料力學(xué)第八章疊加法求變形最新版本

.,努力學(xué)習(xí)，報效祖國！,.,8-3用疊加法計(jì)算梁的變形及梁的剛度計(jì)算,一、用疊加法計(jì)算梁的變形,在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。,當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。,.,例8-3如圖用疊加法求,解：,1.求各載荷產(chǎn)生的位移,2.將同點(diǎn)的位移疊加,=,+,+,.,試按疊加原理求圖a所示簡支梁的跨中截面的撓度wC和兩端截面的轉(zhuǎn)角qA及qB。已知EI為常量。,例題5-4,.,為了能利用簡單荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將圖a所示荷載視為與跨中截面C正對稱和反對稱荷載的疊加(圖b)。,例題5-4,解:,.,在集度為q/2的正對稱均布荷載作用下，查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式，得,例題5-4,.,注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁AC和右半跨梁CB分別視為受集度為q/2的均布荷載作用而跨長為l/2的簡支梁。查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式得,在集度為q/2的反對稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對稱的，故有,例題5-4,.,按疊加原理得,例題5-4,.,試按疊加原理求圖a所示外伸梁的截面B的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點(diǎn)D的撓度wA和wD。已知EI為常量。,例題5-5,.,利用簡支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁AB(圖b)和簡支梁BC(圖c)所組成。和彎矩應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁的B截面處，它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b及圖c所示。,例題5-5,解:,.,圖c中所示簡支梁BC的受力情況以及約束情況與原外伸梁BC段完全相同，注意到簡支梁B支座處的外力2qa將直接傳遞給支座B，而不會引起彎曲。簡支梁BC，由q產(chǎn)生的Bq、wDq(圖d)，由MB產(chǎn)生的BM、wDM(圖e)?？刹橛嘘P(guān)式，將它們分別疊加后可得B、wD，它們也是外伸梁的B和wD。,例題5-5,.,例題5-5,.,圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以轉(zhuǎn)動的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|a，應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去,才是原外伸梁的A端撓度wA,例題5-5,.,.,逐段剛化法：,變形后：ABABBCBC,變形后AB部分為曲線，BC部分為直線。,C點(diǎn)的位移為：wc,.,例：求外伸梁C點(diǎn)的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,將梁各部分分別引起的位移疊加,1）BC部分引起的位移fc1、c1,.,2）AB部分引起的位移fc2、c2,C,A,B,P,B2,.,例8-4欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。,解：,.,例8-5用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。,解:,.,例8-6求圖示梁B、D兩處的撓度wB、wD。,解：,.,例8-7求圖示梁C點(diǎn)的撓度wC。,.,解：,.,三.梁的剛度條件,例8-8圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，w/l=1500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷P，并校核強(qiáng)度。,剛度條件：,w、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時的要求。,CL9TU40,機(jī)械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000,機(jī)械：0.0050.001rad,.,解：由剛度條件,.,圖a所示簡支梁由兩根槽鋼組成(圖b)，試按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇槽鋼型號。已知=170MPa，=100MPa，E=210GPa，。,例題5-7,.,一般情況下，梁的強(qiáng)度由正應(yīng)力控制，選擇梁橫截面的尺寸時，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸，再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核，最后再按剛度條件進(jìn)行校核。如果切應(yīng)力強(qiáng)度條件不滿足，或剛度條件不滿足，應(yīng)適當(dāng)增加橫截面尺寸。,例題5-7,解:,.,1.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號,梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖c和圖e所示。最大彎矩為Mmax=62.4kNm。梁所需的彎曲截面系數(shù)為,例題5-7,.,而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)Wz36710-6m3/2=183.510-6m3=183.5cm3。由型鋼表查得20a號槽鋼其Wz=178cm3，雖略小于所需的Wz=183.5cm3，但所以可取20a號槽鋼。,例題5-7,.,2.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核,圖c最大剪力FS,max=138kN。每根槽鋼承受的最大剪力為,例題5-7,.,Sz,max為20a號槽鋼的中性軸z以下半個橫截面的面積對中性軸z的靜矩。根據(jù)該號槽鋼的簡化尺寸(圖d)可計(jì)算如下：,例題5-7,.,當(dāng)然，的值也可按下式得出：,每根20a號槽鋼對中性軸的慣性矩由型鋼表查得為Iz=1780.4cm41780cm4,例題5-7,.,故20a號槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,于是,例題5-7,.,3.校核梁的剛度條件如圖a，跨中點(diǎn)C處的撓度為梁的最大撓度wmax。由疊加原理可得,例題5-7,.,梁的許可撓度為,由于,因此，所選用的槽鋼滿足剛度條件。,例題5-7,.,.,四.提高彎曲剛度的措施,影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。,一、增大梁的抗彎剛度EI；,二、減小跨度L或增加支承降低彎矩M；,三、改變加載方式和支承方式、位置等。,.,8-5梁的彎曲應(yīng)變能,一.梁的彎曲應(yīng)變能,1.純彎曲：,2.橫力彎曲：,W,.,二.小結(jié)：,1、桿件變形能在數(shù)值上等于變形過程中外力所做的功。V=W,2、線彈性范圍內(nèi)，若外力從0緩慢的增加到最終值：,其中：,P-廣義力-廣義位移,拉、壓：,扭轉(zhuǎn)：,彎曲：,.,例8-12試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端B的撓度。,解：,.,8-4用比較變形法解超靜定梁,一.靜不定梁的基本概念,二.變形比較法解靜不定梁,用多余反力代替多余約束，就得到一個形式上的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)，又稱靜定基。,梁的約束個數(shù)多于獨(dú)立靜力平衡方程的個數(shù)。,.,解：將支座B看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：,.,三.用變形比較法解靜不定梁的步驟,（1）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力；,（2）求靜定基僅在原有外力作用下于解除約束處產(chǎn)生的位移；,（4）比較兩次計(jì)算的變形量，其值應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程求解。,（3）求僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移；,.,6-4簡單超靜定梁,.超靜定梁的解法,解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的基本靜定系為A端固定的懸臂梁。,基本靜定系,.,基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c、d)時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。,若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄)所得的補(bǔ)充方程為,.,從而解得“多余”未知力,所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為,.,該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖所示。,思考1.該梁的反彎點(diǎn)(彎矩變換正負(fù)號的點(diǎn))距梁的左端的距離為多少？,2.該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？,.,例8-10為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。設(shè)二梁EI相同，試求：二梁接觸處的壓力,解：解除約束代之以約束反力,變形協(xié)調(diào)條件為：,.,例8-11梁ABC由AB、BC兩段組成，兩段梁的EI相同。試?yán)L制剪力圖與彎矩圖。,解：變形協(xié)調(diào)條件為：,.,試求圖a所示結(jié)構(gòu)中AD桿內(nèi)的拉力FN。梁AC和桿AD的材料相同，彈性模量為E；AD桿的橫截面積為A，AC梁的橫截面對中性軸的慣性矩為I。,例題6-7,.,1.梁AC共有三個未知力(圖b)FN，F(xiàn)B，F(xiàn)C，但平面僅有兩個平衡方程，故為一次超靜定問題。,例題6-7,解：,.,2.把AD桿視為梁AC的“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件為梁的A截面的撓度wA等于桿的伸長量DlDA(圖b)，即wA=DlDA。,例題6-7,.,3.求wA和DlDA,wA是由荷載產(chǎn)生的wAq(圖c)和FN產(chǎn)生的wAF(圖d)兩部分組成，,例題6-7,.,把圖d所示外伸梁，視為由懸臂梁AB(圖e)和簡支梁BC(圖f)兩部分組成。,例題6-7,.,4.把wA和DlDA代入位移(變形)相容條件得補(bǔ)充方程：,由此求得,例題6-7,.,試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束反力FA,FB,FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5106Nm2。,例題6-8,.,1.該梁有三個未知力FA、FB、FC，僅有兩個平衡方程。故為一次超靜定問題。,例題6-8,解：,.,2.若取中間支座B處阻止其左、右兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)動的約束為“多余”約束，則B截面上的一對彎矩MB為“多余”未知力，相當(dāng)系統(tǒng)如圖b。,例題6-8,.,相當(dāng)系統(tǒng)的位移條件是B處兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角等于零，即,例題6-8,3.查關(guān)于梁位移公式的附錄可得,.,4.將qBqB代入位移相容條件補(bǔ)充方程，從而解得,這里的負(fù)號表示MB的實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖b中所設(shè)相反，即為MB負(fù)彎矩。,例題6-8,.,5.利用圖b可得約束力分別為,例題6-8,.,繪出剪力圖和彎矩圖分別如圖c,d所示。,例題6-8,.,超靜定梁多余約束的選擇可有多種情況，例如，若以支座B為多余約束，F(xiàn)B為多余未知力，位移條件為wB=0，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(e)所示。有如以支座C為多余約束，F(xiàn)C為多余未知，位移條件為wC=0，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(f)所示。位移條件容易計(jì)算的相當(dāng)系統(tǒng)就是最適宜的。,例題6-8,.,*II.支座沉陷和溫度變化對超靜定梁的影響,超靜定梁由于有“多余”約束存在，因而支座的不均勻沉陷和梁的上,下表面溫度的差異會對梁的約束力和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，在工程實(shí)踐中這是一個重要問題。,.,(1)支座不均勻沉陷的影響,圖a所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個支座若發(fā)生沉陷A、B、C，而沉陷后的支點(diǎn)A1、B1、C1不在同一直線上時(即沉陷不均勻時)，支座約束力和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時的值。,.,現(xiàn)按如圖a中所示各支點(diǎn)沉陷BCA的情況進(jìn)行分析。此時，支座B相對于支座A、C沉陷后的點(diǎn)A1、C1的連線有位移,.,于是，如以支座B1作為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支梁A1C1(參見圖b)在荷載q和“多余”未知力FB共同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是,.,于是得補(bǔ)充方程,由此解得,其中的wB按疊加原理有(參見圖c、d):,.,再由靜力平衡方程可得,.,(2)梁的上,下表面溫度差異的影響,圖a所示兩端固定的梁AB在溫度為t0時安裝就位，其后，由于梁的頂面溫度升高至t1，底面溫度升高至t2，且t2t1，從而產(chǎn)生約束力如圖中所示。,由于未知的約束力有6個，而獨(dú)立的平衡方程只有3個，故為三次超靜定問題。,l,.,現(xiàn)將右邊的固定端B處的3個約束作為“多余”約束，則解除“多余”約束后的基本靜定系為左端固定的懸臂梁。,它在上,下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角qBt和撓度wBt(見圖c)以及軸向位移Bt。,.,如果忽略“多余”未知力FBx對撓度和轉(zhuǎn)角的影響，則由上,下表面溫差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容條件時，圖b所示的懸臂梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：,.,式中一些符號的意義見圖c、d、e。,.,現(xiàn)在先來求qBt和wBt與梁的上,下表面溫差(t2-t1)之間的物理關(guān)系。,從上面所示的圖a中取出的微段dx