陜西省漢中市屆高三數(shù)學下學期第二次教學質量檢測試題文

漢中市2019屆高三年級教學質量第二次檢測考試文科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，若，則（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】C【解析】【分析】先解不等式，根據(jù)，確定集合A，根據(jù)，就可以求出【詳解】 而，所以，因此集合 ，所以，因此本題選C.【點睛】本題考查了集合的表示方法之間的轉化、集合之間關系。2.設復數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出復數(shù)的共軛復數(shù)，計算，根據(jù)結果寫出虛部?！驹斀狻繌蛿?shù)，的虛部為，因此本題選C.【點睛】本題考查了復數(shù)的共軛復數(shù)、復數(shù)的四種運算、虛部的概念。3.已知向量、的夾角為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求向量的模可以先求出模的平方，然后再開算術平方根?！驹斀狻?，因此本題選A.【點睛】本題考查了向量求模的方法。一般的方法有二種：一是平方進行轉化；另一個是利用向量加減法的幾何意義進行求解。本題也可以利用第二種方法來求解。設則=利用余弦定理可以求出它的模。4.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可以求出，進而可以求出的值。運用兩角差的正切公式可以求出的值。【詳解】 所以， ，因此本題選D.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)之間的關系、兩角差的正切公式。5.函數(shù)的圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】首先由函數(shù)解析式可知函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A,C，又當 時， ，在 上單調遞增，故選B6.雙曲線的離心率恰為它一條漸近線斜率的2倍，則離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意根據(jù)離心率公式，列出等式，再由之間的關系，最后求出離心率。【詳解】由題意可知，即，而得，因此本題選A.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求法。7.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的單調增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圖可知：圖象過，這樣可以利用周期公式可以求出，把代入解析式中，求出，最后求出函數(shù)的單調增區(qū)間?！驹斀狻坑蓤D可知：圖象過 ,；圖象過，因為 ，所以，當時，函數(shù)單調遞增，化簡得，因此本題選D.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖象及性質。解決此類問題的關鍵是通過函數(shù)的圖象找到“關鍵點”，如最高點、最低點、零點等。8.九章算術是中國古代第一部數(shù)學專著，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就。“更相減損術”便出自其中，原文記載如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也?！逼浜诵乃枷刖幾g成如示框圖，若輸入的，分別為45，63，則輸出的為（ ）A. 2B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】【分析】通過已知，可以判斷這是在求兩數(shù)的最大公約數(shù)。也可以按照循環(huán)結構的特點，先判斷后執(zhí)行，分別求出當前的值，直到循環(huán)結束?！驹斀狻客ㄟ^閱讀可以知道，這是利用更相減損術求45，63的最大公約數(shù)，63，45的最大公約數(shù)是9。也可以按照循環(huán)結構來求解，如下表：循環(huán)次數(shù)ab初始4563第一次4518第二次2718第三次918第四次99第五次輸出a=9因此本題選D.【點睛】本題考查了算法和程序框圖、更相減損術。解決此類問題的關鍵就是按照程序框圖的結構進行，得出結論，當然對于一些經(jīng)典的算法應該熟知，這樣可以直接求解。9.如圖，在直三棱柱中，點為的中點，則異面直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中點，連結,這樣求異面直線與所成的角就轉化成求的大小。【詳解】取的中點，連結,在直三棱柱，點為的中點, 且，且，所以就是異面直線與所成的角。，可以求出，在中，由勾股定理可求出，在中，由勾股定理可求出，顯然是直角三角形，,所以，因此本題選B.【點睛】本題考查了異面直線所成角的問題，解決的關鍵轉化成相交線所成的角，但要注意異面直線所成角的范圍是。10.一次數(shù)學考試中，4位同學各自在選作題第22題和第23題中任選一題作答，則至少有1人選作第23題的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮一位同學從二道題中選一道題的概率。問題是至少有1人選作第23題的概率，我們可以先求出一個人都沒有選作第23題的概率是多少，根據(jù)對立事件概率公式，然后得出答案?！驹斀狻棵课煌瑢W從選作題第22題和第23題中任選一題作答，選作第23題的概率都是，四個人都不選作第23題的概率是，所以至少有1人選作第23題的概率為，因此本題選D.【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的計算。11.已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，交準線于點，若，則等于（ ）A. 12B. 14C. 16D. 28【答案】C【解析】【分析】分別過A,B作準線的垂線，利用拋物線的定義把A,B兩點到F點的距離轉化為A,B兩點到準線的距離，結合已知可以求出和的長，最后求出。【詳解】拋物線，分別過A,B作準線的垂線，垂足為M,N，如下圖：由拋物線的定義可知：,軸,因為，所以有 ，解得= .所以.軸，所以, 所以 =16，因此本題選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，弦長的求法。12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，給出下列命題：當時， 函數(shù)有3個零點的解集為 ，都有其中正確命題的個數(shù)是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】對于：根據(jù)奇函數(shù)的性質即可求解；對于：先求出當時，函數(shù)的零點，利用奇函數(shù)的性質，就可以求出當時，函數(shù)的零點，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以有。對于:分類討論，當時，求出的解集；當時,求出的解集。對于：利用導數(shù)，求出函數(shù)的值域，就可以判斷是否正確。【詳解】對于：當時，有,由奇函數(shù)定義可知：，所以本命題正確；對于：當時， ，解得，即，根據(jù)奇函數(shù)的性質可知，又因為定義域是，所以，因此函數(shù)有3個零點，本命題正確；對于：當時，即,解得，；當時，通過的分析，可知，當時，即，解得，本命題正確；對于：當時，當時，函數(shù)單調遞增；當 ，函數(shù)單調遞減， 的極大值為，當時，根據(jù)可知，當時，當時，所以當時，由于是奇函數(shù)時，而，所以當時，即恒成立，本命題正確。綜上所述，有4個命題是正確的，因此本題選A?！军c睛】本題考查了奇函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)單調性。本題重點考查了數(shù)形結合思想、分類討論思想。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于_【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標系內畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，判斷平面區(qū)域的形狀，最后求出面積。【詳解】不等式組所表示的平面區(qū)域如下所示：通過上圖，可以發(fā)現(xiàn)平面區(qū)域是個三角形，解方程組解得A點坐標為，點B坐標為（1，0），點C坐標為（2，0）因此三角形ABC的面積為，所以不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于.【點睛】本題考查了不等組所表示的平面區(qū)域的面積。解決此類問題的關鍵是畫出正確的平面區(qū)域。14.已知函數(shù)，方程有三個實數(shù)解，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】方程有三個實數(shù)解，可以轉化為函數(shù)和圖象有三個交點，畫出函數(shù)和的圖象，通過數(shù)形結合，可以求出的取值范圍。【詳解】方程有三個實數(shù)解，等價于函數(shù)和圖象有三個交點，因此先畫出函數(shù)圖象，圖象如下圖：通過圖象可知當時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點,的取值范圍是.【點睛】本題重點考查了利用函數(shù)圖象，通過轉化方法解決方程有實數(shù)解的問題。15.在中，內角、的對邊分別為，若，且，則三角形的面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，由，可以得出，的關系，再由余弦定理可以求出，也就可以求出再由同角三角函數(shù)的關系可以求出的大小，最后利用公式求出三角形的面積?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜芍?，已知，由余弦定理可知：，又因為 所以，.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式以及同角三角函數(shù)關系。16.三棱錐中，側棱與底面垂直，且，則三棱錐的外接球的表面積等于_【答案】【解析】【分析】在長方體里，為高，則為底面的寬和長，求出長方體的體對角線長，利用長方體的對角線的長等于長方體外接球的真徑，求出半徑，最后求出外接球的表面積?！驹斀狻堪讶忮F，放到長方體里,如下圖:,因此長方體的外接球的直徑為,所以半徑,則三棱錐的外接球的表面積為.【點睛】本題考查求三棱錐的外接球的表面積。重點考查了轉化思想。三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.已知函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，其中，為的最小值.（1）求的通項公式.（2）已知是正項等比數(shù)列，求的通項公式，并求的前項和.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）把代入函數(shù)解析式中可以求出，再求出函數(shù)的最小值，可求出，進而可求出公差，最后求出等差數(shù)列的通項公式。（2）利用已知可以求出，是正項等比數(shù)列，可以求出公比，進而可以求出的通項公式，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前和公式，可最后求出?！驹斀狻浚?）因為，所以，的最小值為1，所以.因為是等差數(shù)列，所以公差，所以的通項公式.（2）因，且公比，所以公比.的通項公式，所以.【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，前項和公式。18.社區(qū)服務是高中學生社會實踐活動的一個重要內容，漢中某中學隨機抽取了100名男生、100名女生，了解他們一年參加社區(qū)服務的時間，按，（單位：小時）進行統(tǒng)計，得出男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表和女生參加社區(qū)服務時間的頻率分布直方圖.（1）完善男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表和女生參加社區(qū)服務時間的頻率分布直方圖.抽取的100名男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表社區(qū)服務時間人數(shù)頻率0.05200.3530合計1001學生社區(qū)服務時間合格與性別的列聯(lián)表不合格的人數(shù)合格的人數(shù)男女（2）按高中綜合素質評價的要求，高中學生每年參加社區(qū)服務的時間不少于20個小時才為合格，根據(jù)上面的統(tǒng)計圖表，完成抽取的這200名學生參加社區(qū)服務時間合格與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認為參加社區(qū)服務時間達到合格程度與性別有關，并說明理由.（3）用以上這200名學生參加社區(qū)服務的時間估計全市9萬名高中學生參加社區(qū)服務時間的情況，并以頻率作為概率.（i）求全市高中學生參加社區(qū)服務時間不少于30個小時的人數(shù).（）對我市高中生參加社區(qū)服務的情況進行評價.參考公式0.1500.1000.0500.0250.0100.0020.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其）【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)公式：每小組的頻率等于每小組的頻數(shù)除以樣本容量，進行求解。根據(jù)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，計算出女生在段小長方形的面積，最后補完整頻率分布直方圖。（2）按照每年參加社區(qū)服務的時間不少于20個小時才為合格這一要求，在100名男生參加社區(qū)服務時間頻率分布表中求出男生合格人數(shù)、不合格人數(shù)；在100名女生參加社區(qū)服務時間頻率直方圖中，求出女生合格人數(shù)，不合格人數(shù)，填寫列聯(lián)表。求出,得出結論。（3）（i）根據(jù)100名男生參加社區(qū)服務時間頻率分布表和100名女生參加社區(qū)服務時間頻率直方圖，可以求出這200名學生參加社區(qū)服務時間不少于30個小時的人數(shù)，然后求出全市高中生社區(qū)服務時間不少于30個小時的概率，最后求出求全市高中學生參加社區(qū)服務時間不少于30個小時的人數(shù).（）可以從以下這四個方面做出分析：A全市高中生是不是都達到高中素質評價的要求方面；B全市所有學生參與社區(qū)服務的時間多少方面；C全市高中學生中，女生參與社區(qū)服務的時間比男生長短方面；D全市高中學生，參與社區(qū)服務時間的長短集中哪個時間段方面?！驹斀狻浚?）由每小組的頻率等于每小組的頻數(shù)除以樣本容量，這個公式可以計算出每一時間段所需填寫的內容。段：人數(shù)=0.05100=5；段：頻率=20100=0.2；段：人數(shù)=0.35100=35； 段：頻率=30100=0.3； 段：人數(shù)=1005203530=10，頻率=10.050.20.350.3=0.1。補全抽取的100名男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表，如下表：社區(qū)服務時間人數(shù)頻率50.05200.2350.35300.3100.1合計1001根據(jù)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，所以有，補完頻率分布直方圖如下圖：（2）通過抽取的100名男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表可知男生合格人數(shù)為75人，不合格人數(shù)為25人；通過抽取的100名女生參加社區(qū)服務時間頻率直方圖中可知合格人數(shù)為65人，不合格人數(shù)為35人， 列聯(lián)表如下表。學生社區(qū)服務時間合格人數(shù)與性別的列聯(lián)表不合格的人數(shù)合格的人數(shù)男2575女3565，沒有以上把握認為社區(qū)服務時間達到合格與性格有關.（3）（i）抽取的樣本中社區(qū)服務時間不少于30個小時的人數(shù)為70人，頻率為，所以全市高中生社區(qū)服務時間不少于30個小時的概率為，所以全市高中生社區(qū)服務時間不少于30個小時的人數(shù)為萬人.（ii）可從以下四個角度分析，也可以從其它角度分析，角度正確，分析合理即可。 A從抽樣數(shù)據(jù)可以得到全市高中生還有一部分學生參與社區(qū)服務的時間太少，不能達到高中素質評價的要求。B全市所有學生參與社區(qū)服務的時間都偏少。C全市高中學生中，女生參與社區(qū)服務的時間比男生短。D全市高中學生，參與社區(qū)服務時間的長短集中在之間.【點睛】本題考查了頻率分布表和頻率直方圖、。本題重點考查了應用數(shù)學知識解決生活實際問題的能力。19.圓的方程為：，為圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，點在上，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，點的坐標為，的面積為，求的最大值，及直線的方程.【答案】（1）（2），直線的方程為或.【解析】【分析】（1）設點的坐標，求出的坐標，設，通過，可以得到與的關系，與的關系，把代入圓的方程中，最后得到點的軌跡的方程。（2）由題意易知直線的斜率不為0，設直線的方程為，直線方程與點的軌跡的方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系，可以得出的面積的表達式，最后利用基本不等式可以求出的最大值，直線的方程.【詳解】（1）設，則，設，因為，所以，把代入圓的方程得，所以的軌跡的方程為.（2）由題意易知直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，聯(lián)立， .當且僅當時取等號，所以面積有最大值為.所以的面積為最大時，直線的方程為或.【點睛】本題考查了求橢圓的標準方程、直線和橢圓的位置關系、基本不等式。20.如圖所示，四棱錐中，、分別為、中點，平面.（1）若四邊形為菱形，證明：平面平面.（2）若四邊形為矩形，四棱錐的體積為，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）.【解析】【分析】（1）要想證明面面垂直，就要證明線面垂直。四邊形為菱形，因此對角線互相垂直即，通過平面，可以得出，這樣可以證明出平面.從而平面平面.（2）通過四棱錐的體積為，可以求出AD的長，利用等積法就可以求出三棱錐的體積.【詳解】（1）由題平面，平面，.由題為菱形，即，又，平面.又平面，所以平面平面.（2）設，. 由題，解得.為的中點，即點到平面的距離為，.【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、等積法求體積。本題重點考查了轉化思想。21.已知函數(shù)，且在處的切線方程為.（1）求的解析式，并討論其單調性.（2）若函數(shù)，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）先求出切點的坐標，通過切線方程可以求出切線的斜率，對函數(shù)進行求導，求出切線方程的斜率，這樣得到一個等式，最后求出的值，這樣就求出的解析式。求出定義域，討論導函數(shù)的正負性，判斷其單調性。（2）研究的單調性，就要對進行求導，研究導函數(shù)的正負性，就要對進行求導，得到，研究的正負性，從而判斷出的單調性，進而判斷出的正負性，最后判斷出的單調性，利用單調性就可以證明結論。【詳解】（1）由題切點為代入得：即解得，即為上的增函數(shù).（2）由題，即證，.構造函數(shù)，即為上的增函數(shù)，又，即時，即在上單調遞減，時，即在上單調遞增，得證.【點睛】本題考查了函數(shù)的導數(shù)的幾何意義、用導數(shù)研究函數(shù)單調性、利用二次求導證明恒成立問題。22.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極