教育與心理統(tǒng)計課件--第六章--概率分布

現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計學,南昌大學教育學院心理李力,第六章概率分布,一、概率的基本概念和性質(zhì)二、常用離散型概率分布三、正態(tài)分布四、樣本分布,一、概率的基本概念,1、試驗（1）對試驗對象進行一次觀察或測量的過程擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)（2）試驗的特點可以在相同的條件下重復(fù)進行每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果,2、事件（1）事件：試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3（2）隨機事件(randomevent)：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù),（3）簡單事件(simpleevent)：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”（4）必然事件(certainevent)：每次試驗一定出現(xiàn)的事件P（A）=1擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7（5）不可能事件(impossibleevent)：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件P（A）=0擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于6,3、樣本空間與樣本點（1）樣本空間(sampleSpace)一個試驗中所有結(jié)果的集合，用表示例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：1,2,3,4,5,6在投擲硬幣的試驗中，正面，反面（2）樣本點(samplepoint)樣本空間中每一個特定的試驗結(jié)果,4、事件的概率（1）事件A的概率是一個介于0和1之間的一個值，用以度量試驗完成時事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)（2）當試驗的次數(shù)很多時，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進行n次試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為,*P只用小數(shù)表示，不用分數(shù)表示,例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右,互斥事件及其概率(mutuallyexclusiveevents),在試驗中，兩個事件有一個發(fā)生時，另一個就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點),互斥事件的文氏圖(Venndiagram),【例】在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確定擁有個人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦B：恰好有100個家庭擁有電腦C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你的理由(1)A與B(2)A與C(3)B與C,互斥事件及其概率,解：(1)事件A與B是互斥事件。因為你觀察到恰好有265個家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個家庭擁有電腦(2)事件A與C不是互斥事件。因為張三也許正是這265個家庭之一，因而事件與有可能同時發(fā)生(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2),（二）概率的基本定理,加法規(guī)則若兩個事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個事件各自的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，An兩兩互斥，則有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An),解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有6個互斥事件，而且每個事件出現(xiàn)的概率都為1/6根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得,【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點數(shù)為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率,乘法規(guī)則如果完成某一事件分為A、B兩步，而A、B為連續(xù)發(fā)生但又互為獨立的事件，那么A與B兩個事件同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)例：從牌中抽取梅花6的概率為P=P（6）*P（梅花）=1/13*1/4=1/52,事件的補及其概率,事件的補(complement)事件A不發(fā)生的事件，稱為補事件A的補事件(或稱逆事件)，記為A。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合,A,A,P(A)=1-P(A),廣義加法公式,廣義加法公式對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)或P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),兩個事件的并,兩個事件的交,廣義加法公式(事件的并或和),事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為AB或A+B,廣義加法公式(事件的交或積),事件A與事件B同時發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為BA或AB,廣義加法公式,解：設(shè)A=員工離職是因為對工資不滿意B=員工離職是因為對工作不滿意依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家計算機軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率,條件概率(conditionalprobability),在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B是事件A的條件概率，記為P(A|B),條件概率,解：設(shè)A=顧客購買食品，B=顧客購買其他商品依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%的人既購買食品也購買其他商品。求：(1)已知某顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率(2)已知某顧客購買其他的條件下，也購買食品的概率,條件概率,【例】一家電腦公司從兩個供應(yīng)商處購買了同一種計算機配件，質(zhì)量狀況如下表所示從這200個配件中任取一個進行檢查，求(1)取出的一個為正品的概率(2)取出的一個為供應(yīng)商甲的配件的概率(3)已知取出一個為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率,條件概率,解：設(shè)A=取出的一個為正品B=取出的一個為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件(1)(2)(3),乘法公式(multiplicativelaw),用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個事件，若P(B)0，則P(AB)=P(B)P(A|B)或P(AB)=P(A)P(B|A),乘法公式,【例】一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報紙的日報，而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為50%。求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率,解：設(shè)A=某住戶訂閱了日報B=某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50P(AB)=P(A)P(B|A)=0.750.5=0.375,獨立事件與乘法公式,【例】從一個裝有3個紅球2個白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設(shè)A=第2次摸到紅球B=第1次摸到紅球依題意有：P(B)=3/5；P(A|B)=2/4P(AB)=P(B)P(A|B)=3/52/4=0.3,獨立事件與乘法公式(independentevents),1、若兩個事件相互獨立，則這兩個事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即P(AB)=P(A)P(B)2、若事件A1,A2,An相互獨立，則P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(An),獨立事件與乘法公式,【例】一個旅游經(jīng)景點的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個游客都照相留念的概率,解：設(shè)A=第一個游客照相留念B=第二個游客照相留念兩個游客都照相留念是兩個事件的交。在沒有其他信息的情況下，我們可以假定事件A和事件B是相互立的，所以有P(AB)=P(A)P(B)=0.800.80=0.64,【例】假定我們是從兩個同樣裝有3個紅球2個白球的盒子摸球。每個盒子里摸1個。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設(shè)A=從第一個盒子里摸到紅球B=從第二個盒子里摸到紅球依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5P(AB)=P(A)P(B|A)=3/53/5=0.36,二、常用離散型概率分布,兩點分布,一個離散型隨機變量X只取0和1兩個可能的值它們的概率分布為或也稱0-1分布,兩點分布,【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p0.04，合格率為q=1-p=1-0.04=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為,二項試驗,二項分布與伯努利試驗有關(guān)貝努里試驗滿足下列條件一次試驗只有兩個可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗“成功”的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對每次試驗都是相同的試驗是相互獨立的，并可以重復(fù)進行n次在n次試驗中，“成功”的次數(shù)對應(yīng)一個離散型隨機變量X,重復(fù)進行n次試驗，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為XB(n，p)例：拋硬幣：正面朝上記為“1”，概率為0.5；反面朝上記為“0”，概率為0.5。,二項分布的取值概率,設(shè)X為n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x的概率為,二項分布,對于P(X=x)0，x=1,2,n，有同樣有當n=1時，二項分布化簡為,二項分布(數(shù)學期望和方差),數(shù)學期望=E(X)=np方差2=D(X)=npq例：P1826-6、6-7,二項分布,【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個。求5個產(chǎn)品中：(1)沒有次品的概率是多少？(2)恰好有1個次品的概率是多少？(3)有3個以下次品的概率是多少？,泊松分布(Poissondistribution),1837年法國數(shù)學家泊松(D.Poisson，17811840)首次提出用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù),超幾何分布(hypergeometricdistribution),采用不重復(fù)抽樣，各次試驗并不獨立，成功的概率也互不相等總體元素的數(shù)目N很小，或樣本容量n相對于N來說較大時，樣本中“成功”的次數(shù)則服從超幾何概率分布概率分布函數(shù)為,三、正態(tài)分布,由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，17771855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述可用于近似離散型隨機變量的分布例如：二項分布經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ),y：概率密度，即正態(tài)分布的縱坐標：正態(tài)隨機變量X的均值：正態(tài)隨機變量X的方差=3.1415926;e=2.71828x：隨機變量的取值(-x),1、正態(tài)分布特征（1）正態(tài)分布曲線函數(shù),(2)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),圖形是關(guān)于x=對稱鐘形曲線，且峰值在x=處均值和標準差一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個完整的“正態(tài)分布族”均值可取實數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標準差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正態(tài)曲線扁平；越小，正態(tài)曲線越高陡峭當X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠不會與之相交正態(tài)隨機變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,和對正態(tài)曲線的影響,正態(tài)分布的概率,-3-2-+2+3,P=0.68268P=0.9544P=0.9974,-2.58-1.96-1.64+1.64+1.96+2.58,1.641.962.58,P=0.90P=0.95P=0.99,標準正態(tài)分布,標準化的例子P(5X6.2),標準化的例子P(2.9X7.1),2、標準正態(tài)分布表的使用,（1）對于標準正態(tài)分布，即ZN(0,1)，有P(aZb)baP(|Z|a)2a（2）對于負的z，可由(-z)z得到（3）對于一般正態(tài)分布，即XN(,)，有,標準正態(tài)分布下概率面積的計算,例：求下列函數(shù)的概率值（1）P(0Z1.2)（2）P(-1.2Z0)（3）P(-1.45Z0.8)（4）P(Z-0.8)（5）P(0ZZ)=0.32，求Z的值。（6）某正態(tài)分布，=50,=100求P(45X52)若P(36XX0)=0.25,求X0的值,正態(tài)分布,【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標準差為10元的正態(tài)分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會超過70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？,解：設(shè)=50，=10，XN(50,102),3、次數(shù)分布是否正態(tài)分布的檢驗方法,（1）皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法,2、峰度、偏度檢驗法（樣本量較大時）3、累加次數(shù)曲線法,正態(tài)分布的實際應(yīng)用,1、考試評價中的應(yīng)用分數(shù)的標準化（1）標準分數(shù)以標準差為單位，反映了一批原始分數(shù)在團體中的地位（2）標準分數(shù)的性質(zhì)是個地位量數(shù)標準分數(shù)是等距變量，可以加減運算|z|表示分數(shù)離開平均數(shù)的距離，正、負號表示在平均數(shù)之上或之下。,（總體）（樣本）,（3）標準分數(shù)的變式T=10Z+50（TBCF分數(shù)）CEEB=100Z+500（美國大學入學考試）I