基本不等式---教學設計

基本不等式（教學設計）一、教材分析基本不等式是人教版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)的內容。它是在學完不等式性質，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識的基礎上，對不等式的進一步研究，同時也為選修1-2中直接證明和間接證明中的有關不等式證明的問題作好準備，為選修45：不等式選講中的幾種重要不等式及不等式的證明做好了鋪墊。在整個知識體系中起到了承上啟下的作用，具有很重要的作用。在課本封面就能體現(xiàn)出來?；静坏仁绞菑拇罅繑?shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，為今后解決最值問題提供了新的方法，在公式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結合、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。 二、學情分析在認知上，學生已經掌握了不等式的基本性質，并能夠根據(jù)不等式的性質進行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識。但是，倘若教師不加以引導，學生并不能自覺地通過已有的知識、記憶去發(fā)展和構建幾何圖形中的相等或不等關系，這就需要教師逐步地引導，去激活學生的思維，增強數(shù)形結合的思想意識。三教學目標（1）知識與技能: 了解基本（重要）不等式證明過程，能在證明過程中分析不等式成立的條件. 知道基本不等式成立的條件，并會求類型的函數(shù)在時的最小值，初步認識 “=”成立的作用. 會運用基本不等式解決實際問題的最優(yōu)化配置問題.（2）過程與方法：按照創(chuàng)設情景，提出問題 基本不等式的探究基本不等式的分析基本不等式的 應用的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數(shù)學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數(shù)學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。（3）情感態(tài)度與價值觀：在認識趙爽弦圖的過程中，了解中國數(shù)學文化，增強民族自豪感.通過基本不等式在求最值上的應用，體會數(shù)學來源于生活，反饋于生活，提高學生學習數(shù)學的興趣，提倡學生樹立科學的節(jié)能減排的環(huán)保理念.教學重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式 的證明過程；難點：用基本不等式求最大值和最小值 四、教學方法本節(jié)課采用數(shù)形結合的思想，引導學生觀察探究感知抽象歸納；用啟發(fā)誘導、探究合作、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件.幾何畫板以及希沃授課助手作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。五、學法指導在教學過程中，以教師為主導，以學生為主體，在教學中引導學生去提出、分析和解決問題。課堂上從實際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設問題情境，讓學生經歷由實際問題出發(fā)，探求基本不等式，發(fā)現(xiàn)基本不等式的實質，利用基本不等式解決實際問題。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解基本不等式。六、教學工具：多媒體課件，幾何畫板，希沃授課助手七、教學基本流程創(chuàng)設問題情境探究基本不等式歸納總結基本不等式運用基本不等式解決實際問題課堂小結練習提高與作業(yè)八、教學過程教師活動學生活動設計意圖一、問題引入:問題1：請同學們拿出四個全等的直角三角形，同桌合作拼成以斜邊為邊長、外輪廓為正方形的圖形教師巡視適時給予點撥提示：利用PPT逐個出示圖片二、公式探究：借助幾何畫板動態(tài)演示問題2：將圖形抽象成右圖所示圖形，設AF長為a，BF長為b(1)你能用a,b表示大正方形ABCD的邊長和面積s嗎？ (2)四個直角三角形的面積之和S是 (3)大正方形的面積S與S的大小關系是 (4)它們有相等的情況嗎？由于正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，得到一個不等式：。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，有。問題3：由圖形得出的結論只是一個猜想，你能證明你的猜想嗎？總結上面結論并證明證明：（作差法）因為 所以 當且僅當時，等號成立 教師板書：總結結論1：重要不等式問題4：如果a0,b0,我們用、分別代替不等式中的a,b能得到什么結論？替換后得到：， 通常把上式寫作：總結結論2：基本不等式 當且僅當a=b時，等號成立。問題5：你能從代數(shù)證明的角度證明此不等式嗎？問題6：在數(shù)學中，我們稱為a、b的算術平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).基本不等式可敘述為：兩個非負數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).剛才從代數(shù)角度證明了基本不等式的成立，從幾何圖形上能否證明它成立呢？借助幾何畫板動態(tài)演示如圖AB是圓O的直徑，C為AB上一點，過C做直徑的垂線交圓于D、E兩點，設AC=a,BC=b1.如何用a,b表示OD,CD?2.你能從圖形中得出OD和CD的大小關系嗎？3.你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，或利用相交弦定理，那么D2AB即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”問題7：基本不等式有何作用呢？對于，（1）若（定值），則當且僅當時，有最小值；（2）若（定值），則當且僅當時，有最大值l l同桌合作動手擺出圖形,并將小組作品投影展示 小組合作結合所拼會標圖形，小組代表回答本組答案，得出不等式以及等號成立的條件學生用作差法口述證明重要不等式觀察重要不等式的結構特點由換元替代的方法，直接得出基本不等式.類比前面的證明方法，學生用作差法口述證明基本不等式小組合作討論，學生回答，根據(jù)按鈕拖動直觀地觀察CD與OD的大小關系.學生總結變形式，分析基本不等式在求函數(shù)最值中的作用了解中國數(shù)學文化，增強學生的民族自豪感和愛國主義精神，增強學生對國家發(fā)展的信心.通過對”會標”的了解,感受中國人的智慧和華夏民族熱情好客的優(yōu)良傳統(tǒng).利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系，抽象出不等式學生體會如何從實驗中發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法,通過證明過程發(fā)現(xiàn)不等式成立的條件，加深學生對知識的理解. 培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學思想方法此處采用了換元法，也為后面利用基本不等式求最值奠定基礎.通過證明過程發(fā)現(xiàn)基本不等式成立的條件，加深學生對知識的理解培養(yǎng)學生團結合作精神以及數(shù)形結合的意識，養(yǎng)成數(shù)形結合地分析問題的習慣.培養(yǎng)學生觀察概括能力，結論的得出發(fā)揮學生自主能動性 三 、基本不等式應用問題8：應用1變式練習：問題9：應用2學生觀察指出錯誤，體會不等式成立的條件的重要性. 總結出一正二定三相等的特點學生獨立完成，并將優(yōu)秀作業(yè)投影思考、運用基本不等式解決問題基本不等式成立的條件學生往往易忽視，在應用方面仍存在不仔細的現(xiàn)象，所以這里用易出錯的題目進行強調.另外此處繼續(xù)鞏固用換元的方法思考問題；變式練習將兩個正數(shù)變?yōu)椴换榈箶?shù)的情況,使學生能舉一反三解決問題.1. 使學生利用基本不等式解決簡單的實際問題；2. 嘗試運用數(shù)學知識解決實際問題，樹立科學的節(jié)能減排意識和環(huán)保意識.體會在市場經濟下，運用所學數(shù)學知識優(yōu)化生活中的一些問題的重要性. 四、知識梳理，體會研究價值問題10：本節(jié)課主要學習了什么內容？什么數(shù)學思想方法？由學生總結學習的內容，指出本節(jié)課所經歷的知識探究過程和數(shù)形結合的思想。通過總結，培養(yǎng)學生數(shù)學交流和表達的能力，養(yǎng)成及時總結的良好習慣，并將所學知識及方法納入已有的認知結構，提升情感、態(tài)度、價值觀目標.五、目標檢測設計設計意圖：（1）采用幾道簡單的求最值的問題，檢測學生對基本不等式內容的掌握和使用情況（2）課后思考為學有余力的學生準備，同時也為下一節(jié)的學習做好鋪墊，也達到分層教學的目的。九、教學反思1. 逐層鋪墊，降低難度 由具體到一般，建立實際生活中的圖形與不等式的聯(lián)系，然后歸納出重要不等式和基本不等式及其取等號的條件2. 恰當使用信息技術 恰當?shù)厥褂枚嗝襟w課件.幾何畫板.希沃教學助手，讓學生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程. 3. 采用“啟發(fā)探究討論”教學模式 精心設置一個個問題鏈，給每個學生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機會.4.適時滲透德育內容抓住教材中趙爽弦圖，弘揚中國的數(shù)學文化，贊揚華夏民族熱情好客的優(yōu)良傳統(tǒng).并與學生共享，一定能提升學生科學的態(tài)度和良好的學習品質，定能將民族精神滲透到日常的教學中.通過對教材例1的題后反思，使學生樹立科學的節(jié)能減排的環(huán)保意識，從教學效果上看，德育內容的充實使數(shù)學課堂更“厚實”，更符合新課改的理念.從德育效果上看，學生自己“悟”