基本不等式---教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式（教學(xué)設(shè)計(jì)）一、教材分析基本不等式是人教版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。它是在學(xué)完不等式性質(zhì)，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)不等式的進(jìn)一步研究，同時(shí)也為選修1-2中直接證明和間接證明中的有關(guān)不等式證明的問題作好準(zhǔn)備，為選修45：不等式選講中的幾種重要不等式及不等式的證明做好了鋪墊。在整個(gè)知識(shí)體系中起到了承上啟下的作用，具有很重要的作用。在課本封面就能體現(xiàn)出來?；静坏仁绞菑拇罅繑?shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個(gè)模型，為今后解決最值問題提供了新的方法，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。 二、學(xué)情分析在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識(shí)。但是，倘若教師不加以引導(dǎo)，學(xué)生并不能自覺地通過已有的知識(shí)、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師逐步地引導(dǎo)，去激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。三教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)與技能: 了解基本（重要）不等式證明過程，能在證明過程中分析不等式成立的條件. 知道基本不等式成立的條件，并會(huì)求類型的函數(shù)在時(shí)的最小值，初步認(rèn)識(shí) “=”成立的作用. 會(huì)運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題的最優(yōu)化配置問題.（2）過程與方法：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題 基本不等式的探究基本不等式的分析基本不等式的 應(yīng)用的過程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在認(rèn)識(shí)趙爽弦圖的過程中，了解中國數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感.通過基本不等式在求最值上的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，反饋于生活，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提倡學(xué)生樹立科學(xué)的節(jié)能減排的環(huán)保理念.教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式 的證明過程；難點(diǎn)：用基本不等式求最大值和最小值 四、教學(xué)方法本節(jié)課采用數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生觀察探究感知抽象歸納；用啟發(fā)誘導(dǎo)、探究合作、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件.幾何畫板以及希沃授課助手作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。五、學(xué)法指導(dǎo)在教學(xué)過程中，以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生去提出、分析和解決問題。課堂上從實(shí)際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題出發(fā)，探求基本不等式，發(fā)現(xiàn)基本不等式的實(shí)質(zhì)，利用基本不等式解決實(shí)際問題。使學(xué)生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解基本不等式。六、教學(xué)工具：多媒體課件，幾何畫板，希沃授課助手七、教學(xué)基本流程創(chuàng)設(shè)問題情境探究基本不等式歸納總結(jié)基本不等式運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題課堂小結(jié)練習(xí)提高與作業(yè)八、教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、問題引入:問題1：請(qǐng)同學(xué)們拿出四個(gè)全等的直角三角形，同桌合作拼成以斜邊為邊長、外輪廓為正方形的圖形教師巡視適時(shí)給予點(diǎn)撥提示：利用PPT逐個(gè)出示圖片二、公式探究：借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示問題2：將圖形抽象成右圖所示圖形，設(shè)AF長為a，BF長為b(1)你能用a,b表示大正方形ABCD的邊長和面積s嗎？ (2)四個(gè)直角三角形的面積之和S是 (3)大正方形的面積S與S的大小關(guān)系是 (4)它們有相等的情況嗎？由于正方形的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，得到一個(gè)不等式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，有。問題3：由圖形得出的結(jié)論只是一個(gè)猜想，你能證明你的猜想嗎？總結(jié)上面結(jié)論并證明證明：（作差法）因?yàn)?所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 教師板書：總結(jié)結(jié)論1：重要不等式問題4：如果a0,b0,我們用、分別代替不等式中的a,b能得到什么結(jié)論？替換后得到：， 通常把上式寫作：總結(jié)結(jié)論2：基本不等式 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。問題5：你能從代數(shù)證明的角度證明此不等式嗎？問題6：在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).基本不等式可敘述為：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).剛才從代數(shù)角度證明了基本不等式的成立，從幾何圖形上能否證明它成立呢？借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示如圖AB是圓O的直徑，C為AB上一點(diǎn)，過C做直徑的垂線交圓于D、E兩點(diǎn)，設(shè)AC=a,BC=b1.如何用a,b表示OD,CD?2.你能從圖形中得出OD和CD的大小關(guān)系嗎？3.你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，或利用相交弦定理，那么D2AB即D.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”問題7：基本不等式有何作用呢？對(duì)于，（1）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值；（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值l l同桌合作動(dòng)手?jǐn)[出圖形,并將小組作品投影展示 小組合作結(jié)合所拼會(huì)標(biāo)圖形，小組代表回答本組答案，得出不等式以及等號(hào)成立的條件學(xué)生用作差法口述證明重要不等式觀察重要不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)由換元替代的方法，直接得出基本不等式.類比前面的證明方法，學(xué)生用作差法口述證明基本不等式小組合作討論，學(xué)生回答，根據(jù)按鈕拖動(dòng)直觀地觀察CD與OD的大小關(guān)系.學(xué)生總結(jié)變形式，分析基本不等式在求函數(shù)最值中的作用了解中國數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和愛國主義精神，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)國家發(fā)展的信心.通過對(duì)”會(huì)標(biāo)”的了解,感受中國人的智慧和華夏民族熱情好客的優(yōu)良傳統(tǒng).利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式學(xué)生體會(huì)如何從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法,通過證明過程發(fā)現(xiàn)不等式成立的條件，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解. 培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法此處采用了換元法，也為后面利用基本不等式求最值奠定基礎(chǔ).通過證明過程發(fā)現(xiàn)基本不等式成立的條件，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作精神以及數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合地分析問題的習(xí)慣.培養(yǎng)學(xué)生觀察概括能力，結(jié)論的得出發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性 三 、基本不等式應(yīng)用問題8：應(yīng)用1變式練習(xí)：問題9：應(yīng)用2學(xué)生觀察指出錯(cuò)誤，體會(huì)不等式成立的條件的重要性. 總結(jié)出一正二定三相等的特點(diǎn)學(xué)生獨(dú)立完成，并將優(yōu)秀作業(yè)投影思考、運(yùn)用基本不等式解決問題基本不等式成立的條件學(xué)生往往易忽視，在應(yīng)用方面仍存在不仔細(xì)的現(xiàn)象，所以這里用易出錯(cuò)的題目進(jìn)行強(qiáng)調(diào).另外此處繼續(xù)鞏固用換元的方法思考問題；變式練習(xí)將兩個(gè)正數(shù)變?yōu)椴换榈箶?shù)的情況,使學(xué)生能舉一反三解決問題.1. 使學(xué)生利用基本不等式解決簡單的實(shí)際問題；2. 嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，樹立科學(xué)的節(jié)能減排意識(shí)和環(huán)保意識(shí).體會(huì)在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)優(yōu)化生活中的一些問題的重要性. 四、知識(shí)梳理，體會(huì)研究價(jià)值問題10：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？什么數(shù)學(xué)思想方法？由學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，指出本節(jié)課所經(jīng)歷的知識(shí)探究過程和數(shù)形結(jié)合的思想。通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)及方法納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo).五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖：（1）采用幾道簡單的求最值的問題，檢測(cè)學(xué)生對(duì)基本不等式內(nèi)容的掌握和使用情況（2）課后思考為學(xué)有余力的學(xué)生準(zhǔn)備，同時(shí)也為下一節(jié)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，也達(dá)到分層教學(xué)的目的。九、教學(xué)反思1. 逐層鋪墊，降低難度 由具體到一般，建立實(shí)際生活中的圖形與不等式的聯(lián)系，然后歸納出重要不等式和基本不等式及其取等號(hào)的條件2. 恰當(dāng)使用信息技術(shù) 恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w課件.幾何畫板.希沃教學(xué)助手，讓學(xué)生直觀形象地理解問題，了解知識(shí)的形成過程. 3. 采用“啟發(fā)探究討論”教學(xué)模式 精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問題鏈，給每個(gè)學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機(jī)會(huì).4.適時(shí)滲透德育內(nèi)容抓住教材中趙爽弦圖，弘揚(yáng)中國的數(shù)學(xué)文化，贊揚(yáng)華夏民族熱情好客的優(yōu)良傳統(tǒng).并與學(xué)生共享，一定能提升學(xué)生科學(xué)的態(tài)度和良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，定能將民族精神滲透到日常的教學(xué)中.通過對(duì)教材例1的題后反思，使學(xué)生樹立科學(xué)的節(jié)能減排的環(huán)保意識(shí)，從教學(xué)效果上看，德育內(nèi)容的充實(shí)使數(shù)學(xué)課堂更“厚實(shí)”，更符合新課改的理念.從德育效果上看，學(xué)生自己“悟”