第三章 經典數學問題的建模巧用

.,數學建模與實驗,第三章經典數學問題的建模巧用,.,人狼羊菜渡河問題,狀態(tài)轉移問題,.,人狼羊菜渡河問題,問題分析,這是一個多步決策問題，我們采用狀態(tài)變量表示此岸人、狼、羊、菜的狀況，決策變量為每次運載的東西。問題轉化為在狀態(tài)允許的范圍內，確定每一步的決策，達到安全渡河的目的。,模型建立與求解,我們用作為狀態(tài)變量，表示人、狼、羊、菜在此岸的狀態(tài)。表示在彼岸。表示在此岸，,.,人狼羊菜渡河問題,狀態(tài)變量,決策變量,新的狀態(tài)變量,.,（1，0，0，0）=（0，1，1，0）（1，1，0，0）=（0，0，1，0）（1，1，1，0）+（1，0，1，0）=（0，1，0，0）（1，0，0，1）=（0，1，1，1）,人狼羊菜渡河問題,狀態(tài)轉移舉例,狀態(tài),決策變量,狀態(tài),.,人狼羊菜渡河問題,.,人狼羊菜渡河問題,1,10,3,7,4,8,2,9,5,6,.,從連接圖可看出，狀態(tài)1到狀態(tài)6的最短路線為,路線1：1-10-3-7-4-8-5-6,路線2：1-10-3-9-2-8-5-6,人狼羊菜渡河問題,.,課堂練習,商人過河問題,.,數學巧用,棋子顏色問題,任意拿出黑白兩種顏色的棋子共n個，隨機排成一圓圈。然后在兩顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來的棋子，再重復以上過程。問這樣重復進行下去棋子的顏色會發(fā)生怎樣的變化？,.,棋子顏色問題,模型分析,（-1）（-1）=1，1（-1）=-1，,運算結果與顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子的規(guī)則正好相符。,如果用1表示黑色棋子，用-1表示白色棋子。因為,故可設棋子數為n,為初始狀態(tài)，其中,.,則狀態(tài)變化過程如下,n=3,n=2,兩步以后棋子全為黑色,三步以后回到前面狀態(tài),棋子顏色問題,.,n=4,棋子顏色問題,經過4步棋子全為黑子,.,n=5,棋子顏色問題,棋子既不循環(huán)也不全為黑子,.,當棋子數為,結論,棋子顏色問題,時，至多經,全變?yōu)楹谧?。當棋子數不?次操作，就可以,時，一般不能全變?yōu)?黑子。,.,1.設棋子數為16，經過16步操作，看棋子是否全變?yōu)楹谏?.設棋子數為7，經過10步操作，看棋子顏色如何。,編程練習,棋子顏色問題,.,MATLAB程序,棋子顏色問題,clcclearalln=16;%棋子數times=16;%迭代次數x0=zeros(1,n);%產生1n全零陣x1=zeros(1,n);fori=1:nk=rand(1,1);%產生1個服從0，1上均勻分布的隨機數if(k0.5)x0(i)=1;elsex0(i)=-1;end,.,end,棋子顏色問題,x0%初始棋子顏色構造完畢f(xié)ori=1:timesi%顯示迭代次數fork=1:n-1x1(k)=x0(k)*x0(k+1);endx1(n)=x0(n)*x0(1);x1%顯示第i次迭代結果x0=x1;%初始狀態(tài)更新end,.,鋪瓷磚問題,要用40塊方形瓷磚鋪下圖所示的地面，當時市場上只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。有人買了20快長方形瓷磚，試著鋪地面，結果弄來弄去始終無法鋪好。試問是這人的功夫不到家還是這個問題根本無解呢？,.,鋪瓷磚問題,解：將相鄰的方塊，一個畫上陰影，一個保留空白，則共有21個陰影方塊和19個空白方塊。因為一塊長方形磚一次只能覆蓋一個陰影方塊和一個空白方塊，故多余的兩塊陰影方塊無法覆蓋，本問題本身無解。,.,課堂練習跑步問題,有人在任何一個5min時間區(qū)內跑不到500m，問此人10min有沒有可能恰好跑完1000m？,建模提示：設S(t)表示t（min)（t0,5）跑完的路程。構造f(t)=s(t+5)-s(t)-500,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,.,設S(t)表示t（min)跑完的路程。構造f(t)=s(t+2)-s(t)-200,則f(0)=s(2)-s(0)-200（s(0)=0)f(2)=s(4)-s(2)-200f(4)=s(6)-s(4)-200f(6)=s(8)-s(6)-200f(8)=s(10)-s(8)-200若10min恰好跑完1000m,則f(8)=800-s(8)f(0)+f(2)+f(4)+f(6)=s(8)-800由連續(xù)函數性質，存在