2017_18學年高中數學第四章利用導數求函數的最大小值課件北師大版選修.pptx

4.2.2.1利用導數求函數的最大(小)值,1.理解最大值、最小值的概念.2.會利用導數求函數在閉區(qū)間上的最大(小)值.,函數的最大值與最小值函數y=f(x)在a,b上的最大(小)值點x0指的是:函數在這個區(qū)間上所有點的函數值都不超過(不小于)f(x0).最大值或者在極大值點取得,或者在區(qū)間的端點取得.函數的最大值和最小值統稱為最值.【做一做1】設f(x)是a,b上的連續(xù)函數,且在(a,b)內可導,則下面結論中正確的是()A.f(x)的極值點一定是最值點B.f(x)的最值點一定是極值點C.f(x)在區(qū)間(a,b)上可能沒有極值點D.f(x)在區(qū)間a,b上可能沒有最值點答案:C,答案:A,題型一,題型二,題型三,求函數的最值,分析:先對函數求導,再求出極值與區(qū)間端點的函數值,從而確定最大值與最小值.,題型一,題型二,題型三,反思1.當函數多項式的次數大于2或用傳統方法不易求最值時,可考慮用導數的方法求解.2.比較極值與端點函數值大小時,有時需要利用作差或作商,甚至需要分類討論,由函數的最值求參數值.,題型一,題型二,題型三,【變式訓練1】已知函數f(x)=ax3+c,且f(1)=6,函數在1,2上的最大值為20,則c的值為()A.1B.4C.-1D.0解析:f(x)=ax3+c,f(x)=3ax2.則f(1)=3a=6,a=2.f(x)=2x3+c,f(x)=6x20,f(x)在1,2上是增加的.f(x)的最大值為f(2)=16+c=20,c=4.答案:B,題型一,題型二,題型三,利用導數求含參的函數的最值【例2】已知函數f(x)=x3-ax2+3x,x=3是函數f(x)的極值點,求函數f(x)在區(qū)間1,5上的最大值和最小值.解:由f(x)=x3-ax2+3x,得f(x)=3x2-2ax+3.根據題意,x=3是函數f(x)的極值點,得f(3)=0,即27-6a+3=0,解得a=5.所以f(x)=x3-5x2+3x.所以f(x)=3x2-10 x+3.令f(x)=0,得x=3或(舍去).當10.故當x=3時,函數f(x)有極小值f(3)=-9,題型一,題型二,題型三,這也是函數f(x)在區(qū)間1,5上的最小值.又因為f(1)=-1,f(5)=15,所以函數f(x)在區(qū)間1,5上的最大值為f(5)=15.綜上所述,函數f(x)在區(qū)間1,5上的最大值為15,最小值為-9.反思函數的最值與極值及單調性密切相關,因此在求解函數的最值的問題時,一般都要判斷函數的單調性與極值點.導數是研究函數與極值的有力工具.,題型一,題型二,題型三,【變式訓練2】已知函數f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的遞減區(qū)間;(2)若f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.解:(1)f(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3).令f(x)3.故函數f(x)的遞減區(qū)間為(-,-1),(3,+).,題型一,題型二,題型三,(2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2),因為在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上是增加的,所以f(-1)是f(x)的極小值,且f(-1)=a-5.所以f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.所以f(-1)=-2-5=-7,即函數f(x)在區(qū)間-2,2上的最小值為-7.,題型一,題型二,題型三,已知函數最值求參數值【例3】已知函數f(x)=ax3-6ax2+b在-1,2上有最大值3,最小值-29,求a,b的值.解:由題意,知a0.因為f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x-1,2,所以令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去).若a0,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,由上表,知當x=0時,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3,又因為f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,故f(-1)f(2),題型一,題型二,題型三,所以當x=2時,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.若af(-1).所以當x=2時,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.,題型一,題型二,題型三,反思若參數變化影響著函數的單調性變化,要對參數進行分類討論.,題型一,題型二,題型三,答案:C,1,2,3,4,5,6,1.函數y=f(x)在a,b上()A.極大值一定比極小值大B.極大值一定是最大值C.最大值一定是極大值D.最大值一定大于極小值答案:D,1,2,3,4,5,6,2.函數f(x)=x3-3x2-9x+k在區(qū)間-4,4上的最大值為10,則k的值為()A.-5B.5C.-15D.15解析:f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).令f(x)=0,得x=3或x=-1.因為f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5.答案:B,1,2,3,4,5,6,3.若函數f(x)=x3-3x-a在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為M,N,則M-N的值為()A.2B.4C.18D.20解析:f(x)=3x2-3,令f(x)=0得x=1.當0x0.則f(1)最小,又f(0)=-a,f(3)=18-a,又f(3)f(0),最大值為f(3),即M=f(3),N=f(1)M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20.答案:D,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,6.求函數f(x)=x3-3x2+6x-5在區(qū)間-1,1上的最值.解:f(x)=3x2-6x+