2010年天津高考理科數(shù)學(xué)試題(解析版)

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘，第卷1至3頁，第卷4至11頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項(xiàng)：1 答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。2 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試卷上的無效。3 本卷共10小題，每小題5分，共50分。參考公式：如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)棱柱的體積公式V=Sh, 棱錐的體積公式V=,其中S標(biāo)示棱柱的底面積。 其中S標(biāo)示棱錐的底面積。h表示棱柱的高。 h示棱錐的高。一 選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 【答案】A【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題。進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，同時(shí)將i2改為-1.【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，不要失分哦。 （2）函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。由及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）上?！緶剀疤崾尽亢瘮?shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號(hào)相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解。（3）命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是 (A)若f(x) 是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)（B）若f(x)不是奇函數(shù)，則f(-x)不是奇函數(shù)（C）若f(-x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)（D）若f(-x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)【答案】B【解析】本題主要考查否命題的概念 ，屬于容易題。否命題是同時(shí)否定命題的條件結(jié)論，故否命題的定義可知B項(xiàng)是正確的?！緶剀疤崾尽拷忸}時(shí)要注意否命題與命題否定的區(qū)別。（4）閱讀右邊的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內(nèi)可填寫(A)i3? （B）i4?（C）i5? （D）i6? 【答案】 D【解析】 本題 主要考查條件語句與循環(huán)語句的基本應(yīng)用，屬于容易題。第一次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)S=1，i=3;第二次執(zhí)行循環(huán)時(shí)s=-2，i=5；第三次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)s=-7.i=7，所以判斷框內(nèi)可填寫“if(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本題主要考查函數(shù)的對(duì)數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算及分類討論思想，屬于中等題。由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論?！緶剀疤崾尽糠诸惡瘮?shù)不等式一般通過分類討論的方式求解，解對(duì)數(shù)不等式既要注意真數(shù)大于0，同事要注意底數(shù)在（0，1）上時(shí)，不等號(hào)的方向不要寫錯(cuò)。(9)設(shè)集合A=若AB,則實(shí)數(shù)a,b必滿足（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法與幾何與結(jié)合之間的關(guān)系，屬于中等題。A=x|a-1xa+1,B=x|xb+2因?yàn)锳B,所以a+1b-2或a-1b+2，即a-b-3或a-b3，即|a-b|3【溫馨提示】處理幾何之間的子集、交、并運(yùn)算時(shí)一般利用數(shù)軸求解。(10) 如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用（A）288種 （B）264種 （C）240種 （D）168種【答案】D【解析】本題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)與分類討論思想，屬于難題。（1） B,D,E,F用四種顏色，則有種涂色方法；（2） B,D,E,F用三種顏色，則有種涂色方法；（3） B,D,E,F用兩種顏色，則有種涂色方法；所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法。【溫馨提示】近兩年天津卷中的排列、組合問題均處理壓軸題的位置，且均考查了分類討論思想及排列、組合的基本方法，要加強(qiáng)分類討論思想的訓(xùn)練。2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）第卷注意事項(xiàng)：1 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。2 用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。3 本卷共12小題，共100分。二 填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案天災(zāi)題中橫線上。（11）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 和 ?！敬鸢浮?4，23【解析】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，屬于容易題。甲加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為【溫馨提示】莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的十位，這事解決本題的突破口。（12）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 【答案】【解析】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體積的計(jì)算，屬于容易題。由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱與一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正四棱錐組成的組合體，因?yàn)檎褥`珠的體積為2，正四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積V=2+ = 【溫馨提示】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何體的形狀，求錐體體積時(shí)不要丟掉哦。（13）已知圓C的圓心是直線與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為 【答案】本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于容易題。令y=0得t=-1，所以直線與x軸的交點(diǎn)為（-1.0）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓C的方程為【溫馨提示】直線與圓的位置關(guān)系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結(jié)合的方法求解。（14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P，若,則的值為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥勘绢}主要考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，屬于中等題。因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓，所以,因?yàn)闉楣步?，所以PBCPAB,所以.設(shè)OB=x，PC=y，則有，所以【溫馨提示】四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內(nèi)容，也是考查的熱點(diǎn)。（15）如圖，在中，,則 .【答案】D【解析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題?！窘馕觥拷鼛啄晏旖蚓碇锌偪梢钥吹狡矫嫦蛄康纳碛埃揖鶎儆谥械阮}或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題。（16）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】D【解析】本題主要考查函數(shù)恒成立問題的基本解法，屬于難題。依據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立。當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答題寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（）若，求的值?！窘馕觥勘拘☆}主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12分。（1）解：由，得所以函數(shù)的最小正周期為因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1（）解：由（1）可知又因?yàn)?，所以由，得從而所以?8）.（本小題滿分12分）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響。（）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率（）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；（）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求的分布列?！窘馕觥勘拘☆}主要考查二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分12分。（1）解：設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率（）解：設(shè)“第次射擊擊中目標(biāo)”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件,則 = =（）解：由題意可知，的所有可能取值為 =所以的分布列是（19）（本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,（1） 求異面直線與所成角的余弦值；（2） 證明平面（3） 求二面角的正弦值?！窘馕觥勘拘☆}主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,（1） 解：易得,于是 所以異面直線與所成角的余弦值為（2） 證明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)椋?，從而，又由?所以，故ACDE,又因?yàn)镃C1DE且，所以DE平面ACF，從而AFDE.連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D因?yàn)?，所以AF平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，（）如果，且，證明【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（）解：f令f(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當(dāng)x1時(shí)，2x-20,從而(x)0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（）可知，,則=，所以,從而.因?yàn)?，所以，又由（）可知函?shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以,即2.（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，且對(duì)任意.，成等差數(shù)列，其公差為。（）若=，證明，成等比數(shù)列（）（）若對(duì)任意，成等比數(shù)列，其公比為。【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。（）證明：由題設(shè)，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。（）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當(dāng)1時(shí)，可知1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。（）證明：，可得，從而=1.由（）有所以因此，以下分兩種情況進(jìn)行討論：（1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m()若m=1,則.若m2，則+所以(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（）所以從而綜合（1）（2）可知，對(duì)任意,有證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得所以由可知?？傻?，所以是等差數(shù)列，公差為1。（ii）證明：因?yàn)樗?。所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故。從而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同證法一。2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答一、 選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。 （1）A （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）D （10）B二填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分24分。（11）24:23 （12） （13） （14） （15） (16)三、解答題（17）本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12分。（1）解：由，得所以函數(shù)的最小正周期為因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1（）解：由（1）可知又因?yàn)?，所以由，得從而所?8.本小題主要考查二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分12分。（1）解：設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率（）解：設(shè)“第次射擊擊中目標(biāo)”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件,則 = =（）解：由題意可知，的所有可能取值為 =所以的分布列是（19）本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,（3） 解：易得,于是 所以異面直線與所成角的余弦值為（4） 證明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)椋?，從而，又由?所以，故ACDE,又因?yàn)镃C1DE且，所以DE平面ACF，從而AFDE.連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D因?yàn)?，所以AF平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為（20）本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由