趣味數(shù)學(xué)講座[1]

趣味數(shù)學(xué)講座,主講人：趙國(guó)釗,晏子春秋里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事，大意是：齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開(kāi)疆、公孫接和古冶子。這三名勇士都力大無(wú)比，武功超群，為齊景公立下過(guò)不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無(wú)人，得罪了齊國(guó)的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士?jī)蓚€(gè)桃子，讓他們自己評(píng)功，按功勞的大小吃桃。三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃；田開(kāi)疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子,古冶子說(shuō)出了自己更大的功勞。公孫接、田開(kāi)疆都覺(jué)得自己的功勞確實(shí)不如古冶子大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺(jué)得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好漢就沒(méi)有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見(jiàn)了，后悔不迭。仰天長(zhǎng)嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我獨(dú)自活著，算什么勇士！說(shuō)罷，也拔劍自殺了。,晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說(shuō)是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝有人在一首詩(shī)中曾不無(wú)諷刺地寫道：“一朝被讒言，二桃殺三士。誰(shuí)能為此謀，相國(guó)務(wù)晏子！”,在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理抽屜原理。,抽屜原理,把n+1個(gè)物體放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜里有不止一個(gè)這種物體。,什么叫做抽屜原理？,東西多，抽屜少，那么至少有兩個(gè)東西放在一個(gè)抽屜里。,如：,有6個(gè)蘋果，要放入5個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜里面會(huì)放2個(gè)蘋果。,至少,抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,18051859)首先明確的提出來(lái)并用以證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也稱為狄利克雷原則。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。,形式一：設(shè)把n1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)ai大于或等于2.,（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有ai2，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai1，于是有：a1a2an111nn1這與題設(shè)矛盾。,所以，至少有一個(gè)ai2，即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素。,形式二：設(shè)把nm1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)ai大于或等于m1。,（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有aim1，因?yàn)閍i是整數(shù)，所以aim，于是有：,a1a2anmmmnmnm1,這與題設(shè)相矛盾。,所以，至少有存在一個(gè)aim1.,1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，當(dāng)年匈牙利全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人?！?如果B、C、D三人互不認(rèn)識(shí)，那么我們就找到了三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人；如果B、C、D三人中有兩個(gè)互相認(rèn)識(shí)，例如B與C認(rèn)識(shí)，那么，A、B、C就是三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。,用A、B、C、D、E、F代表六個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到“與A認(rèn)識(shí)”和“與A不認(rèn)識(shí)”兩個(gè)“抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在“與A認(rèn)識(shí)”的抽屜里有三個(gè)人，他們是B、C、D。,幼兒園買來(lái)不少熊、馬、狗塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么至少要有幾個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具相同？,6種可能出現(xiàn)的選擇方式,就是6個(gè)“抽屜”,“蘋果”是小朋友,把135塊餅干分給16個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友至少要分到1塊餅干，那么不管怎樣分，一定會(huì)有2個(gè)小朋友得到的餅干數(shù)目相同。為什么？,要使16個(gè)小朋友個(gè)到的餅干數(shù)各不相同至少需要1+2+3+15+16=,這與只有135塊餅干矛盾.所以一定有2個(gè)小朋友得到的餅干數(shù)目相同.,練習(xí)：,六甲班共有學(xué)生42人，從學(xué)校圖書室借來(lái)212本書，是否有人能至少借到6本或6本以上的圖書？,假設(shè)無(wú)人借6本或6本以上的圖書，則全班至多借書542=210（本）.但全班共借來(lái)212本，所以要么至少有兩人借6本，要么至少有1人借7本.,練習(xí)：,1.有黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，問(wèn)至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？,最多取出8根只有一種顏色的筷子，再取任意3根即可保證達(dá)到要求。所以至少要取11根.,練習(xí)：,2.在1只箱子里面放著紅、黑、白三種顏色的手套各6副，如想閉著眼睛從中取出兩副顏色不同的手套，問(wèn)至少要取出多少只才能達(dá)到要求？,1212125,至少取出15只手套才能達(dá)到要求.,3.在2323的方格紙中，將19這9個(gè)數(shù)字填入每個(gè)小方格中，并對(duì)所有形如“十字”的圖形中的5個(gè)數(shù)字求和，對(duì)于小方格中的數(shù)字的任意一種填法，其中和數(shù)相等的“十字”圖形至少有多少個(gè)？,練習(xí)：,在2323的方格紙中共有2121=441個(gè)“十”字圖形，,“十”字圖形中5個(gè)數(shù)字的和最小為5，最大為45，共有45-4=41種不同的和.,由441=4110+30可知，和數(shù)相等的“十”字圖形至少有11個(gè).,4.400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.,練習(xí)：,分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.,解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.,練習(xí)：,5.邊長(zhǎng)為1的正方形中，任意放入9個(gè)點(diǎn)，求證這9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)組成的三角形中，至少有一個(gè)的面積不超過(guò)1/8.,E,D,F,G,解：將邊長(zhǎng)為1的正方形等分成邊長(zhǎng)為,的四個(gè)小正方形，視這四個(gè)正方形為抽屜，9個(gè)點(diǎn)任意放入這四個(gè)正方形中，據(jù)形式2，必有三點(diǎn)落入同一個(gè)正方形內(nèi).現(xiàn)特別取出這個(gè)正方形來(lái)加以討論.,把落在這個(gè)正方形中的三點(diǎn)記為D、E、F.通過(guò)這三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)（如E）作平行線，如圖可知：,h,SDEFSDEGSEFG,E,D,F,G,6.任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被3整除.,練習(xí)：,證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r，r1，r2.至少有一類包含所給個(gè)數(shù)中的至少兩個(gè).因此可能出現(xiàn)兩種情況：,.某一類至少包含三個(gè)數(shù)；.某兩類各含兩個(gè)數(shù)，第三類包含一個(gè)數(shù).,若是第一種情況，就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；,若是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被3整除.綜上所述，原命題正確.,7.某校派出學(xué)生204人上山植樹(shù)15301株，其中最少一人植樹(shù)50株，最多一人植樹(shù)100株，則至少有5人植樹(shù)的株數(shù)相同.,練習(xí)：,證明：按植樹(shù)的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個(gè)抽屜，則個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里.,(用反證法)假設(shè)無(wú)人或人以上植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有人以下植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹(shù)的人數(shù)為204人，所以，每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹(shù)的總株數(shù)最多有：,4(505199100)4,1530015301得出矛盾.,所以，至少有5人植樹(shù)的株數(shù)相同.,形式一：設(shè)把n1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存