玉林高中級培優(yōu)班數(shù)學(xué)補(bǔ)充資料(7)解析幾何的存在性問題、定點(diǎn)定值問題與最值問題

1、最新資料推薦玉林高中 2015 級培優(yōu)班數(shù)學(xué)補(bǔ)充資料（7） 存在性問題、定點(diǎn)定值問題與最值問題班別： _姓名： _1、橢圓 x2y21 兩焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，P 是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足24PF1 PF21 ，過 P 作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、 PB 分別交橢圓于 A、B 兩點(diǎn) .（ 1）求 P 點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）求證直線 AB 的斜率為定值；（ 3）求 PAB 面積的最大值。2、已知橢圓 E 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)1，F(xiàn)2 在 x 軸上，離心率1 .Fe2（ I）求橢圓E 的方程；（ II ）求F1 AF2 的角平分線所在直線（ III ）在橢圓 E 上是

2、否存在關(guān)于直線若不存在，說明理由 .l 的方程；l 對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出；1最新資料推薦3、已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1 ( 3,0) ， F2 ( 3,0)，離心率 e3.（ 1）求此橢圓的方程；2（ 2）設(shè)直線 l : y xm ，若 l 與此橢圓相交于P ，Q 兩點(diǎn)，且 PQ 等于橢圓的短軸長，求m 的值；（ 3）以此橢圓的上頂點(diǎn)B 為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC ，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個(gè)；若不存在，請說明理由.4、已知橢圓 E 的長軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線y 24 5x的焦點(diǎn) ,離心率是6 .3（ 1）求橢圓 E 的方程；（ 2）過點(diǎn) C ( 1,0

3、) ，斜率為 k 的動直線與橢圓 E 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，請問 x 軸上是否存在點(diǎn) M ，使 MA MB 為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由2最新資料推薦5x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好 是拋物線 x24y的焦點(diǎn)，離心率 e2，、已知橢圓的焦點(diǎn)在5過橢圓的右焦點(diǎn) F 作與坐標(biāo)軸 不垂直的直線 l 交橢圓于 A, B 兩點(diǎn)（ 1）求橢圓方程；（ 2）設(shè)點(diǎn) M (m,0) 是線段 OF 上的一個(gè)動點(diǎn)，且 (MA MB )AB ，求 m 的取值范圍；（ 3）設(shè)點(diǎn) C 是點(diǎn) A關(guān)于 x 軸對稱點(diǎn)，在 x 軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N ，使得 C, B, N 三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N

4、 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由3最新資料推薦6. 如圖 , 設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn) O,長軸在 x 軸上 , 上頂點(diǎn)為 A, 左右焦點(diǎn)分別為 F1 , F2 , 線段OF1, OF2 的中點(diǎn)分別為B1, B2 , 且 AB1B2 是面積為 4 的直角三角形 .( ) 求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;( ) 過 B1 做直線 l 交橢圓于P,Q 兩點(diǎn) , 使 PB2QB2 , 求直線 l 的方程4最新資料推薦玉林高中 2015 級數(shù)學(xué)培優(yōu)資料（ 7）答案存在性問題、定點(diǎn)定值問題與最值問題1、解：（ 1）由題得 F1 (0,2 ) ， F2 (02) ，設(shè) P0 ( x0 , y0 ) (x00, y00

5、) PF1(x0 ,2y0 ) ，PF1( x0 , 2 y0 ) ， PF1 PF 2x02(2 y02 ) 1 ，x02y0224 y024 y02(221 ，得 y02 .點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在曲線上，則241 ， x02，從而y0 )2則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (1,2 ) .（ 2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為 k ( k0) ，則 BP的直線方程為：y2k (x1) . 由y2k( x1)k 2 ) x2x2y 21得 (22k(2k )x24( 2k) 240 ，設(shè) B (xB , yB ) ，則 1 xB2k(k2 ), xB2k(k2)1k22

6、2k2，2k22k22k2k 22 2 k2)xB4 2k，yAyBk( xA1)k( xB1)8k2 .同理可得 xA2k2，則 xA2k22k所以： AB的斜率 k ABy AyB2 為定值 .xAxBy2xm（ 3）設(shè) AB的直線方程：y2 xm . 由x2y2，得 4 x222mxm240 ，241由(2 2m) 216( m24)0 ，得2 2m22P到 AB的距離為 d| m | ，則31112| m |1 221 m2m282S PAB2 | AB | d2(42m) 338 m(m8)8 (2)2。當(dāng)且僅當(dāng) m222 ,22 取等號三角形 PAB面積的最大值為2 。2、解析（

7、I）設(shè)橢圓 E 的方程為x2y21a2b2由 e1,即 c1,a2c,得 b2a2c23e2,橢圓方程具有形式x2y21.2a24c23e2將 A （2， 3）代入上式，得131,解得 c2, 橢圓 E 的方程為 x2y21.c2c21612（ II） 解 法 1 ： 由 （ I） 知 F1 ( 2,0), F2 (2,0)， 所 以 直 線 AF 1的 方 程 為 ：y3 ( x2), 即3x4y60, 直線 AF 2 的方程為： x2.4l 的斜率為正數(shù) .設(shè) P(x, y)為 l 上任一點(diǎn)，由點(diǎn) A 在橢圓 E 上的位置知，直線則 | 3x4 y 6 | x2 |.若 3x4 y65x1

8、0, 得 x2 y80（因其斜率為52x y10.負(fù)，舍去） .所以直線 l 的方程為：5最新資料推薦A(2,3), F1 ( 2,0), F2 (2,0),AF1(4, 3), AF2(0,3).解法 2：AF1AF214,3)13)4| AF1 | | AF2 |(0,(1,2).535k12, l : y 3 2( x 1),即2x y 1 0.（ III ）解法1：假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)B( x1 , y1 )和 C ( x2 , y2 ),BCl ,kBCy2y11 .設(shè) BC的中點(diǎn)為 M (x0 , y0 ),則 x0x1x2 , y0y1y2 ,x2x1222由于 M 在 l

9、 上，故 2x0 y010.又 B ， C 在 橢 圓 上 ， 所 以 有 x12y121與 x22y221. 兩 式 相 減 ， 得x22x12y22y1216121612( x1x2 )( x2x1 ) ( y1y2 )( y2y1 )0.16120, 即1612將該式寫為1x1x2y2y1 1y1y20 ，82x2x162并將直線 BC 的斜率 kBC 和線段 BC 的中點(diǎn)，表示代入該表達(dá)式中，得 1x010,即3x02 y00.812 y0 2得 x22, y03，即 BC 的中點(diǎn)為點(diǎn) A ，而這是不可能的 .不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)B 和 C.解法 2：假設(shè)存在 B( x1 , y1

10、), C (x2 , y2 )兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對稱 ，則 lBC, kBC1 .x2y22設(shè)直線 BC的方程為 y1m, 將其代入橢圓方程1,x16122得一元二次方程 3x24( 1 xm)248,即 x2mxm2120,2則 x1與x2 是該方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得x1x2m,于是 y1y21( x1x2 )3mm 3m22m2,B ， C 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (,).3m24又線段 BC 的中點(diǎn)在直線 y2 x1上 ,m 1,得 m4.4即 B ，C 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 3），與點(diǎn) A 重合，矛盾 .不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn).3 、 解 ：（ 1 ） 設(shè) 橢 圓 方 程 為 x2y

11、21 (a b 0) ， 則 c3 ， c3 ，a 2b2x2a2a2, b2a 2c 21所求橢圓方程為y21.4（ 2）由yxm，消去 y，得 5x 28mx4( m21)0 ，x24 y 246最新資料推薦則64m 280(m 21)0 得 m25（ * ）設(shè) P(x1, y1 ), Q( x2 , y 2 ) ，則xx28m，x1 x24(m21) ， yy2xx2，15511PQ(x1x 2 ) 2( y1 y2 )22(8m) 216(m 21)2解得 . m 215，滿足（ * ）55，8（ 3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC ，其中 B （ 0， 1），由題意可知，直角邊BA ，

12、 BC 不可能垂直或平行于x 軸，故可設(shè) BA 邊所在直線的方程為ykx1（不妨設(shè) k0 ），則 BC邊所在直線的方程為y1x1 ，由ykx1，得 A8k8k 2kx 24 y2(1 4k 2 ,1 4k 21),48k) 28k22 ) 28k1k2AB(,12114k214k4k用代替上式中的k，得 BC81k 2，由 ABBC ，得 k ( 4k 2 )14k 2 ,k4k 2k0，解得： k1或 k35，故存在三個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形.-24、解：（ 1）依題意橢圓的焦點(diǎn)在x 軸，且 a5, 又c ea6530 ,故 ba 2c25 105 ,3333故所求橢圓 E的方程為 x23y21

13、,即 x23y 2555（ 2）假設(shè)存在點(diǎn)M 符合題意，設(shè)AB ： yk (x1),代入 E : x23y 25 得： (3k 21) x26k 2 x 3k 25 0設(shè) A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), M (m,0) 則x1x26k2, x1x23k253k 23k211MAMB(k21)x1 x2(k2m)( x1x1)k22m22m16m14分m33(3k21)10要使上式與 K 無關(guān)，則有6m140, 解得 m7，存在點(diǎn) M (7 ,0) 滿足題意33、解：（ ）由題意知b1，又2c2a2b 24，所以 a 25，所以 x 2y 2151ea 2a255（ 2）由（

14、 1）得 F (2,0) ，所以 0m2，設(shè) l 的方程為 yk ( x 2)( k0) ，聯(lián)立得(5k 21) x 220k 2 x20k 250 ， x1x220k 220k 255k， x1 x2，（ * ）215k 21MAMB(x1x22m, y1y2 ) ， AB( x2x1 , y2y1 ) ，由題意得( x1x22m)( x2x1 ) ( y1y 2 )( y 2y1 )0，代入可得 (85)2m0，所以 k2m0得0m8m k85m5（ 3）設(shè) N (t,0) ，則有 CB / CN ，所以 CB( x2x1 , y2y1 ) ，7最新資料推薦CN(tx1 , y1 ) ，所

15、以 (x 2x1 ) y1( y2y1 )(tx1 ) ，整理得：x2 y1x1 y2x2 (kx12k) x1( kx2 2k)2kx1 x22k( x2x1)ty1y2k( x2x1 ) 4kk (x2x1) 4k2 x1 x22( x2x1 )代入（ * ）式解得 t5( x2x1 )42 來源：學(xué)科網(wǎng)所以在 x 軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N ( 5 ,0) ，使得 C, B, N 三點(diǎn)共線26. 解 : 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21 ab0 , 右焦點(diǎn)為 F2c,0.22ab因AB1B2 是直角三角形, 又 AB1AB2, 故B1 AB2 為直角 ,因此 OAOB2 , 得bc .結(jié) 合 c2a2b2得 4b2a2b2 ,故 a25b2 , c24b2 , 所 以 離 心 率2ec 2 5 . 在 Rt AB1 B2 中, OAB1B2 , 故a5S AB B21 B1B2 OA OB2 OAc b b2由 題 設(shè) 條 件 S AB1 B24 , 得122b24 ,從而 a25b220 .因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2y21204(2) 由 (1) 知 B1(2,0), B(2,0), 由題意知直線 l的傾斜角不為0, 故可設(shè)直線 l 的方程為 : xmy2, 代入橢圓方程得m25y24my160,設(shè) Px , y