貝塞爾曲線和B樣條曲線

1、;. 4.3 貝塞爾曲線和 b 樣條曲線在前面討論的 拋物樣條和三次參數(shù)樣條曲線，他們的共同特點(diǎn)是：生成的曲線通過(guò)所有給定的型值點(diǎn)。我們稱之為“點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)”。但在實(shí)際工作中，往往給出的型值點(diǎn)并不是十分精確，有的點(diǎn)僅僅是出于外觀上的考慮。在這樣的前提下，用精確的插值方法去一點(diǎn)點(diǎn)地插值運(yùn)算就很不合算；另外，局部修改某些型值點(diǎn)，希望涉及到曲線的范圍越小越好，這也是評(píng)價(jià)一種擬合方法好壞的指標(biāo)之一。針對(duì)以上要求， 法國(guó)人 bezier 提出了一種參數(shù)曲線表示方法， 稱之為貝塞爾曲線。后來(lái)又經(jīng) gorgon, riesenfeld 和 forrest 等人加以發(fā)展成為 b 樣條曲線。一、 貝塞爾曲線貝塞爾曲

2、線是通過(guò)一組多邊折線的各頂點(diǎn)來(lái)定義。在各頂點(diǎn)中，曲線經(jīng)過(guò)第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)，其余各點(diǎn)則定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀。 第一條和最后一條則表示曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向。1. 數(shù)學(xué)表達(dá)式n+1 個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n 次貝塞爾曲線，其表達(dá)式為：np(t)pi bi ,n (t )0 t 1i0pi (i0,1,2,., n) 為各頂點(diǎn)的位置向量，bi,n (t ) 為伯恩斯坦基函數(shù)bi, n (t )n!t i (1 t) n ii!( n1)!2. 二次貝塞爾曲線需要 3 個(gè)頂點(diǎn)，即 p0 , p1 , p2 ，將其代入曲線表達(dá)式：p(t )p0 b0, 2p1 b1,2p2 b2, 2;. .;.b0,

3、 22!t 0 (1t) 20(1t) 212t t 20! (20)!b1,22!t 1 (1t) 2 12t (1t)2t2t 21!( 2 1)!b2, 22!t 2 (1t) 22t 22! (2 2)!p(t ) (12tt 2 ) p0(2t2t 2 ) p1t 2 p2121p0t 2t 1 220p10 t 1100p2p (t )2(t 1) p02(1 2t ) p12tp 2p (0)2 p02 p12( p1p0 )p(0)p0p (1)2 p12 p22( p2p1 )p(1)p2當(dāng) t 1 時(shí)：2111111111p2(1 224) p0( 2224) p14 p2

4、4 p02 p14 p21 p11 ( p0p2 )22p12(11) p0 2(121) p121p2 p2 p02222;. .;.3. 三次貝塞爾曲線三次貝塞爾曲線需要4 個(gè)點(diǎn)，即 p0 、 p1 、 p2 、 p3 。p(t)p0 b0,3 (t )p1 b1,3 (t)p2 b2 ,3 (t )p3 b3 ,3 (t)其中： b0 ,33!0)!t 0(1t ) 30(1t) 313t 3t 2t 30! (3b1,33!1)!t1(1 t ) 3 13t(1t )23t6t 23t 31! (3b2 ,33!2)!t 2(1t )323t 2 (1t )13t 23t 32!(3b

5、3,33!3)!t 3(1t )33t 33! (3p(t )(13t3t 2t 3 ) p0(3t6t 23t 3 ) p1(3t 23t 3 ) p2 t 3 p31331p0p(t) t 3t 2t13630p10 t13300p21000p3貝塞爾曲線特點(diǎn)：1.n 個(gè)頂點(diǎn)定義 n-1次曲線， 當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，擬合的曲線階次太高。2. 任一頂點(diǎn)對(duì)整條曲線的形狀都有關(guān)系，不利于局部修改。二、 b 樣條曲線用 b 樣條曲線基函數(shù)替代伯恩斯坦基函數(shù)。1. 數(shù)學(xué)表達(dá)式通常，給定 m+n+1個(gè)頂點(diǎn) pi (i0,1, mn) 可以定義 m+1段 n 次參數(shù)函數(shù) 為：npi ,n (t)pi k f

6、k,n (t )（ 0t1）， (i0,1, m)k0其中 fk, n (t) 為 b 樣條分段混合函數(shù)，形式為：;. .;.1 nkjj(t n k j )fk ,n (t )( 1)c n 1n! j0? 段數(shù)、次數(shù) 段數(shù) =節(jié)點(diǎn)數(shù) - 次數(shù)，每段曲線與 n+1 個(gè)點(diǎn)有關(guān)；? c mnm!n! (m n)!2. 二次 b 樣條曲線n=2,k=0,1,2pi (t ) pi f0,npi 1f1,npi2 f2, n1 20jj(t 2 0j )2f0 ,n( 1)c 32! j01 (1) 03!(t2) 2( 1)13!(t 1)2( 1)23!t 220! (30)!1!(31)!2!

7、 (32)!1 (t 1)22f1,21 21( 1)jj(t21j )22 jc301 (1)03!(t1) 2(1)13!(t11)2 20!(30)!1! (31)!1(2t 22t1)2f2, 21 0jj(t2 2j )21( 1)03!t2122 j( 1)c321! (3t01)!2pi (t)1 (t1)2pi1 ( 2t 22t1) pi 11 t 2 pi2222pi (t)(t 1) pi( 2t 1) pi 1tp i 2p(0)1 ( pipi 1 )21p(1)( pi 1pi 2 )p (0)pi1pip (1)pi2pi 1;. .;.111p() p(0) p

8、(1) pi 1222p (1p(1) p(0)23. 三次 b 樣條曲線n=3, k=0, 1, 2, 33pi (t )pik fk, 3 (t)f0,3 b0f1, 3 b1f2,3 b2f3, 3b3k0其中 fk, 31 nk (1) j c nj1 (tnkj ) n， bl(l0,1,2,3)稱為特征多邊形。3! j0f0 ,313( 1)jj(t 3j )33!c 4j01(1) 04!(t 3)3(1)14!(t2) 3(1) 24!(t 1) 3( 1) 34!t 360! (40)!1! (41)!2! (42)!3!( 43)!1(t 33t 23t1)61 2f1,3

9、(3! j 01 (1)61 (3t 361) j c 4j (t31j ) 304!(t2) 3( 1)14!(t 1)3( 1) 24!t 30!(40)!1!( 41)!2!(42)!6t24)1 1( 1)jj(t 3 2 j )3f2 ,3c 43! j01 (1) 04!(t 1) 3( 1) 14!t 3 60! (40)!1!(41)!;. .;.1(3t 33t 23t1)6f3,31 0( 1)jj(t33j )31(1)04!t3133! jc 460! (4t00)!6p(t)1(t 33t 23t1) b01(3t 36t 24) b11(3t 33t 23t1)1t

10、 366661331b0t3t2t13630b10t 113030b261410b3p (t )1(t 22t1)b01(3t 24t) b11(3t 22t1) b21t 2 b322221331b01b1t 2t12420b221010b3p(0)1( b04b1b2 )1b0b2)2b16(233p(1)1( b14b2b3 )1(b1b3)2b26323p (0)1(b2b0 )2p (1)1( b3b1 )2p (0)(b2b1 )( b0b1 )p (1)(b3b2 )(b1b2 )例 : 設(shè) p0 (4,3) ， p1 (6,5) ， p2 (10,6) ， p3 (12,4) ，用以上四個(gè)點(diǎn)構(gòu)造2 次 b 樣條曲線。由 b 樣條的定義可知， 4 個(gè)點(diǎn)可定義2 次 b 樣條曲線 2 段：m+n+1=4 n=2 m+1=2pi ,2 (t)1 (t1)2 pi1 (2t 22t1) pi 11 t 2 pi 2222pi ,2 (t) a pib pi 1c pi 2;. .;.p0 ,2 (t)1(t1) 2p01(2t 22t1) p11t 2p2222p0 ,2