第八章_玻色分布和費(fèi)米分布

1、2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),在第六章，我們用最概然方法導(dǎo)出了這兩種系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，本章將進(jìn)一步介紹這兩種分布在輻射場和金屬電子氣體中的應(yīng)用。,8.1 熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式,一、玻色分布和費(fèi)米分布,玻色分布和費(fèi)米分布可寫為,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),相應(yīng)的宏觀條件可表為:,（8.1.1),(8.1.2),其中 表示對(duì)粒子的所有能級(jí)求和，式中的正號(hào)對(duì)應(yīng)于費(fèi)米分布，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于玻色分布。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),由此可

2、見，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非簡并性條件的表達(dá)式。,當(dāng)非簡并性條件滿足時(shí)，玻色分布和費(fèi)米分布都過渡到玻耳茲曼分布。,1.巨配分函數(shù):,由于玻色子和費(fèi)米子系統(tǒng)一般是粒子數(shù)可變系統(tǒng)，其配分函數(shù)要用到下一章將要介紹的處理開放系統(tǒng)的巨正則配分函數(shù)（簡稱巨配分函數(shù)）。下面先給出玻色和費(fèi)米系統(tǒng)的巨配分函數(shù)表達(dá)式,其詳細(xì)推導(dǎo)在下一章給出。,二、玻色和費(fèi)米分布的巨配分函數(shù)及熱力學(xué)公式,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),將(8.1.2)中的兩個(gè)式子分別寫為；,式中的正號(hào)對(duì)應(yīng)于費(fèi)米分布，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于玻色分布。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),其中,是系統(tǒng)

3、的巨配分函數(shù)。對(duì)取對(duì)數(shù)，得:,(8.1.9),式(8.1.9)中的正號(hào)對(duì)應(yīng)于費(fèi)米分布，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于玻色分布。,2.熱力學(xué)公式:,按照統(tǒng)計(jì)物理處理問題的一般程序，在計(jì)算出配分函數(shù)的對(duì)數(shù)后，便可代入熱力學(xué)公式求得熱力學(xué)量。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),由于玻色和費(fèi)米分布的熱力學(xué)公式與巨正則分布的熱力學(xué)公式相同，所以，這里先給出其表達(dá)式，詳細(xì)推導(dǎo)在下一章介紹。, 平均粒子數(shù):,(8.1.10),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì), 內(nèi)能:,(8.1.11), 廣義力:,(8.1.12),上式的一個(gè)重要特例是壓強(qiáng):,(8.1.13),2020年10月2

4、3日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì), 熵:,(8.1.14), 巨熱力勢:,(8.1.15),只要計(jì)算出系統(tǒng)的巨配分函數(shù)，就可以利用上面的熱力學(xué)公式得到相應(yīng)的熱力學(xué)量。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),8.2 弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體,一般氣體滿足非簡并性條件e1 可用玻耳茲曼分布來處理。,如果e很小，但又不能被忽略，則此情形被稱為弱簡并，從中初步顯示玻色氣體和費(fèi)米氣體的差異。,弱簡并情形下我們可以近似地用積分來處理問題。為書寫簡便起見，我們將兩種氣體同時(shí)討論，在有關(guān)公式中，上面的符號(hào)適用于費(fèi)米氣體，下面的符號(hào)適用于玻色氣體。,2020年10月23日星期五,第

5、八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),在體積V內(nèi)，能量在-+d內(nèi)的粒子的可能微觀狀態(tài)數(shù)為,其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的簡并度，D()是態(tài)密度。例如，對(duì)于電子，考慮有兩個(gè)相反的自旋投影，g=2; 對(duì)于光子，由于有兩個(gè)偏振方向，g=2。,考慮三維自由粒子的情形，為簡單起見，不考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此只有平動(dòng)自由度，粒子的能量為：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),系統(tǒng)的總粒子數(shù)和總能量為:,近似用積分來處理，作對(duì)應(yīng)：,代入自由粒子氣體的D()d的表達(dá)式,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),有,引入變量x=, 上面兩個(gè)式子可改寫為：,將被積函數(shù)的分母展開：

6、,在 小的情形下， 是一個(gè)小量，可利用下面的公式展開：,只取頭兩項(xiàng)，可得：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),將上面兩式相除，得：,利用附錄C的積分公式可得：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),考慮到e-很小，近似用玻耳茲曼分布的結(jié)果,代入前面的公式中，得：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),討論：,上式第一項(xiàng)是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能；第二項(xiàng)是由量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的附加能量，與微觀粒子的全同性原理有關(guān)。,費(fèi)米氣體的附加能量為正，費(fèi)米子間表現(xiàn)出排斥作用；玻色氣體的附加能量為負(fù)，玻色子間表現(xiàn)出吸引作用；,2020年10月23

7、日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),8.3 玻色愛因斯坦凝聚,諾貝爾獎(jiǎng)自1901年頒發(fā)以來，一直是世人所公認(rèn)的最高榮譽(yù)獎(jiǎng)項(xiàng)。 在它的六個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中，物理學(xué)、化學(xué)和醫(yī)學(xué)（或生理學(xué)）獎(jiǎng)尤為引人注 目。下面我們談?wù)勎锢韺W(xué)獎(jiǎng)的概況。2001年是諾貝爾 獎(jiǎng)?lì)C發(fā)百年紀(jì)念，因此這次物理學(xué)獎(jiǎng)的頒發(fā)被人們認(rèn)為有著特殊的意 義，Nature、Science以及各種媒體都先后聚焦于10月9日。美國麻省理 工學(xué)院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃爾夫?qū)颂乩眨┖涂屏_拉多大學(xué)JILA（實(shí)驗(yàn)天文物理學(xué)聯(lián)合學(xué)院）研究所的Carl Wieman（卡爾維曼），Eric Cornell（埃里克康奈爾）因?qū)嶒?yàn)上實(shí)現(xiàn)玻

8、色愛因斯坦凝聚（簡稱BEC） 現(xiàn)象而分享了本年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),BEC是物質(zhì)的一種奇特的狀態(tài)，處于這種狀態(tài)的大量原子的行為 像單個(gè)粒子一樣。打個(gè)比方，練兵場上的士兵剛解散不久，突然指揮 官發(fā)令“向東齊步走”，于是所有的士兵像一個(gè)士兵一樣整齊的向東 走去。如果將士兵縮小到原子尺度，以至于分辨不出誰是誰，我們便看到了“BEC”。那為什么冠以玻色愛因斯坦的名字呢？有這樣一 段插曲。,1924年，年輕的印度物理學(xué)家玻色寄給愛因斯坦一篇論文，提出 了一種新的統(tǒng)計(jì)理論，它與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)理論僅在一條基本假定上不同。 傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)理論假定一個(gè)體系中所有的原

9、子（或分子）都是可以辨別的， 我們可以給一個(gè)原子取名張三，另一個(gè)取名李四，并且不會(huì)將張 三認(rèn)成李四，也不會(huì)將李四認(rèn)成張三。基于這一假定的傳統(tǒng)理論圓滿 地解釋了理想氣體定律，可以說取得了非凡的成功。然而玻色卻挑戰(zhàn) 了上面的假定，認(rèn)為在原子尺度上我們根本不可能區(qū)分兩個(gè)同類原子 （如兩個(gè)氧原子）有什么不同。接著，玻色討論了如下一個(gè)問題（這 個(gè)問題所有高中生都做過）：將N個(gè)相同的小球放進(jìn)M個(gè)標(biāo)號(hào)為1、2、M的箱子中，假定箱子的容積足夠大，有多少種不同的放法？在此問 題的基礎(chǔ)上，采用傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)相似的作法，玻色便得到了一套新的統(tǒng)計(jì) 理論。,玻色的論文引起了愛因斯坦的高度重視，迅速幫玻色譯成德文發(fā) 表。隨后將

10、玻色的理論用于原子氣體中，進(jìn)而推測在足夠低的溫度下， 所有原子有可能處在相同的最低能態(tài)上，所有原子的行為像一個(gè)粒 子一樣。后來物理界將這種現(xiàn)象稱為玻色愛因斯坦凝聚。值得注意 的是，這里的“凝聚”與日常生活中的凝聚不同，它表示原來不同狀 態(tài)的原子突然“凝聚”到同一狀態(tài)。,愛因斯坦的預(yù)測引起了實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的廣泛興趣。然而實(shí)現(xiàn)BEC 的條件極為苛刻和“矛盾”：一方面希望達(dá)到極低的溫度，另一方面 還要求原子體系處于氣態(tài)。實(shí)現(xiàn)低溫的傳統(tǒng)手段是蒸發(fā)制冷；而斯坦福大學(xué)華裔物理學(xué)家朱棣 文、法國巴黎高等師范學(xué)校的Cohen-Tannoudj和美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的Phillips發(fā)展的激光冷卻和磁阱技術(shù)是另一種有效

11、 的制冷方法，他們?nèi)艘虼朔窒砹?997年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1976年， Nosanow和Stwalley證明在任意低溫下處于自旋極化的氫原子始終能保 持氣態(tài)，則為實(shí)現(xiàn)第二個(gè)要求提供了希望。,但遺憾的是，眾多的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家將自旋極化的氫原子氣體降溫， 并未觀察到BEC現(xiàn)象。于是Wieman和Cornell開始將興趣轉(zhuǎn)向堿金屬原 子氣體，1995年，他們將銣原子限制在磁阱中進(jìn)行激光冷卻首次成功 的觀察到原子氣的BEC現(xiàn)象。同年，MIT的Ketterle也在鈉原子氣中實(shí) 現(xiàn)了BEC。BEC的實(shí)現(xiàn)不僅在基礎(chǔ)研究方面具有重大意義，還可能在 “原子芯片”和量子計(jì)算機(jī)等方面有廣泛的應(yīng)用前景。因此2001年

12、的諾 貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予Wieman、Cornell和Ketterle以表彰他們在BEC實(shí)驗(yàn) 方面的開創(chuàng)性工作。,從實(shí)現(xiàn)BEC的歷程來看，有以下兩個(gè)必備的客觀條件：首先是理 論準(zhǔn)備（玻色和愛因斯坦的工作），其次是實(shí)驗(yàn)手段的進(jìn)步（朱棣文 等人的工作）。剩下的就是個(gè)人的素質(zhì)了，要有眼光，走對(duì)路（Wieman、 Cornell和Ketterle選擇堿金屬原子氣體作為冷卻的對(duì)象）。這樣看來， 諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)似乎不是什么神秘的東西。因此有人就會(huì)問為什么中國內(nèi)地就沒有出現(xiàn)諾貝爾獎(jiǎng)呢？我們在這里談幾點(diǎn)：,思想開放，不迷信權(quán)威。創(chuàng)新就是要打破某些已有的定論，因循 守舊，盲從權(quán)威是不可能有所創(chuàng)新的。中國的知識(shí)分子

13、經(jīng)歷了太多的 苦難以及封建思想的殘余，以至于思想里保守成分多，權(quán)威意識(shí)過強(qiáng)， 傳統(tǒng)教育中以循規(guī)蹈矩為優(yōu)等等都不利于創(chuàng)新。,科學(xué)文化的沉淀。任何重大創(chuàng)新不是憑空冒出來的，創(chuàng)新必須以 繼承已有的優(yōu)秀科學(xué)成果和思想方法為前提，這種科學(xué)文化需要長時(shí) 間的積累。而中國內(nèi)地真正科學(xué)文化的萌芽起于1919年的五四運(yùn)動(dòng)， 后來又受文革的嚴(yán)重沖擊，因此真正的科學(xué)文化沉淀也就20來年時(shí)間， 比起西方三四百年簡直是小菜。,熱情奔放而又執(zhí)著追求科學(xué)的年輕人。據(jù)中科院2001年科學(xué)發(fā)展 報(bào)告統(tǒng)計(jì)，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主作出代表性工作的平均年齡為36歲， 他們從很小就開始對(duì)物理學(xué)感興趣并一直鐘愛著物理學(xué)。他們能如此 執(zhí)著，一

14、方面是經(jīng)濟(jì)條件還不錯(cuò)，更重要的是他們從小所受的教育是 以充分發(fā)揮自己的個(gè)性為主。而內(nèi)地的教育更樂意將學(xué)生培養(yǎng)成標(biāo)準(zhǔn) 的螺絲釘，學(xué)生本人則很少有太多的想法和目標(biāo)，在經(jīng)濟(jì)大潮的影響 下立刻便沉到“海”里去了。,總之，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)是在繼承前人優(yōu)秀的成果基礎(chǔ)上的重大創(chuàng) 新，目前中國內(nèi)地并不具備上述創(chuàng)新的條件。但值得慶幸的是，自改 革開放以來，思想界也有所解放，國家對(duì)科學(xué)重視程度提高，國際交 流與合作也日益廣泛和深入，經(jīng)過漫長時(shí)間的努力，中國大陸有 望出現(xiàn)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,今天稱之為玻色-愛因斯坦凝聚的物理現(xiàn)象是七十年前由愛因斯坦和玻色預(yù)言的宏觀量子效應(yīng) 。1995 年 5 月在美國科羅拉多大學(xué)和美國

15、國家標(biāo)準(zhǔn)局的聯(lián)合天體物理實(shí)驗(yàn)室（JILA）里首次被人們觀測到。 不久以后，Rice大學(xué)和 MIT的研究小組相繼報(bào)道了類似的發(fā)現(xiàn)。 在 1995 年底, 這個(gè)重要發(fā)現(xiàn)被國際合眾社評(píng)為“十大國際科技新聞” 。 人們宣稱, “終于得到了物質(zhì)的第五種狀態(tài)” 宏觀量子態(tài)。,一、玻色愛因斯坦凝聚,上節(jié)討論了弱簡并理想玻色（費(fèi)米）氣體的性質(zhì)，初步看到了由微觀粒子全同性帶來的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)對(duì)系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的影響。在弱簡并的情形下 小，影響是微弱的。在本節(jié)中我們將會(huì)看到，當(dāng)理想玻色氣體的 等于或大于2.612的臨界值時(shí)將出現(xiàn)獨(dú)特的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。這是愛因斯坦于1925年在理論上首先預(yù)言的。,2020年10月

16、23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),考慮由N個(gè)全同、近獨(dú)立的玻色子組成的系統(tǒng)，溫度為T，體積為V。為明確起見，假設(shè)粒子的自旋為零，它服從下列玻色分布,或?qū)憺?即要求對(duì)所有能級(jí)均有：,兩邊取對(duì)數(shù)得：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),當(dāng) 時(shí)，上式可寫為：,由玻色分布，粒子數(shù)密度可寫為,(8.3.2),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),為方便起見,采用經(jīng)典近似描述。則粒子能量在到d范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為:,系統(tǒng)的總粒子數(shù)為：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),由式(8.3.3)可以看出，等式左邊是常數(shù)，所以右邊T和的變化也應(yīng)

17、保持其積分結(jié)果為常數(shù)。由于是負(fù)值，當(dāng)T升高時(shí)，降低（或絕對(duì)值增大）。反過來，隨T降低而增加。當(dāng)T降到某一臨界值Tc時(shí)，將趨于零。此時(shí)的粒子數(shù)密度公式可寫為：,(8.3.4),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),(8.3.5),利用積分公式,代入式(8.3.5)，得臨界溫度為:,(8.3.6),分析:溫度低于TC時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？,前面的討論指出，溫度愈低時(shí) 值愈高，但在任何溫度下 必是負(fù)的。由此可知在 時(shí)， 仍趨于-0.但這時(shí)（8.3.3）左方將小于n，與 為給定的條件矛盾。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),考慮到在低溫下玻色子處在能級(jí)0的數(shù)目

18、是不能忽略的,因此在TTc時(shí), 應(yīng)將式(8.3.4)改寫為:,(8.3.7),產(chǎn)生這個(gè)矛盾的原因是：我們用式（8.3.3）的積分代替（8.3.2）的求和。由于狀態(tài)密度中含有因子 ，在將式（8.3.2）改寫成（8.3.3）時(shí)， 的項(xiàng)就被舍棄掉了。由式（8.3.2）可以看出，在 以上 為負(fù)的有限值時(shí)，處在能級(jí) 的粒子數(shù)與總粒子數(shù)相比是一個(gè)小量，用積分代替求和引起的誤差是可以忽略的；但在 以下 趨于-0時(shí)，處在能級(jí) 的粒子數(shù)將是很大的數(shù)值，不能忽略。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),現(xiàn)在來計(jì)算式(8.3.7)中的第二項(xiàng)。令x=/kT，并將式(8.3.5)代入，得 :,(8.

19、3.8),其中,右邊第一項(xiàng)是溫度為T時(shí)處在能級(jí)0的粒子的數(shù)密度； 第二項(xiàng)是處在激發(fā)能級(jí)0的粒子的數(shù)密度 。在第二項(xiàng)中已取極限 。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),將式(8.3.8)代入式(8.3.7),可求得溫度為T時(shí)處在最低能級(jí)0上的粒子數(shù)密度：,(8.3.9),討論：,1. 時(shí)， ； 時(shí)， ，粒子幾乎全部聚集于基態(tài)，稱為BEC現(xiàn)象。,2.BEC現(xiàn)象是動(dòng)量空間的凝聚，與真實(shí)空間不同。,3.產(chǎn)生原因：不受泡利原理限制，（所以費(fèi)米系不可能產(chǎn)生BEC現(xiàn)象）,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),二、內(nèi)能和熱容量,在TTc時(shí)，理想玻色氣體的內(nèi)能只是能級(jí)0

20、的粒子的能量之和。計(jì)算如下:,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),上式說明，理想玻色氣體的定容熱容量 在TTc時(shí)與 成正比；在TTc時(shí)， 達(dá)到最大值,而在高溫時(shí)趨于經(jīng)典值 。圖8-3-4給出了二者的變化關(guān)系。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),圖 8-3-4,理想玻色氣體熱容量隨溫度的變化曲線使人們想到了液氦的正常相和超流相之間的相變。由于圖8-3-4中曲線的形狀與相變相似，加之4He 是玻色子，才使得人們猜測4He 的相變可能是在粒子之間有相互作用情形下的玻色愛因斯坦凝聚。,8.4 光子氣體,前面兩節(jié)討論了弱簡并理想玻色氣體的特性和 時(shí)理想玻色氣

21、體出現(xiàn)的凝聚現(xiàn)象，所討論的系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)。本節(jié)從粒子的觀點(diǎn)根據(jù)玻色分布討論平衡輻射問題，在平衡輻射中光子數(shù)是不守恒的，這是玻色統(tǒng)計(jì)的重要應(yīng)用。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),早在19世紀(jì)60年代，基爾霍夫就開始了對(duì)熱輻射問題的研究。他引入了黑體概念，并利用熱力學(xué)第二定律證明了黑體輻射（也即平衡輻射）的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度的頻率分布只與溫度有關(guān)。,1879年，斯忒藩（J. Stefan）仔細(xì)研究了當(dāng)時(shí)已有的測量結(jié)果，得出了輻射的內(nèi)能密度與絕對(duì)溫度的四次方成正比的結(jié)論。,此后，人們又根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的能量均分定理討論了這一問題，所得內(nèi)能的頻率分布在低頻范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)符

22、合，在高頻（紫外）范圍與實(shí)驗(yàn)不符。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),更為嚴(yán)重的是，根據(jù)能量均分定理，有限溫度下平衡輻射的內(nèi)能和定容熱容量是發(fā)散的。這是對(duì)經(jīng)典理論的嚴(yán)重挑戰(zhàn)，歷史上稱之為“紫外線災(zāi)難”。,1900年底，普朗克在一次學(xué)術(shù)會(huì)議的演講中首次引入能量子概念，并以此得出了一個(gè)能夠完滿解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果的輻射能量分布公式，即著名的普朗克公式。本節(jié)根據(jù)量子理論，從粒子的觀點(diǎn)出發(fā)，由玻色分布導(dǎo)出黑體輻射的普朗克公式，進(jìn)而從粒子的觀點(diǎn)研究平衡輻射的問題。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),根據(jù)粒子觀點(diǎn)，可以把空窖內(nèi)的輻射場看作由大量近獨(dú)立的光子所組成，并

23、形象地稱之為光子氣體。每個(gè)光子具有確定的能量、動(dòng)量和自旋。光子自旋量子數(shù)為1，相應(yīng)于兩個(gè)偏振的投影是+1和1。光子的靜止質(zhì)量m為零，是玻色子的一種特殊情況。,一、由玻色分布導(dǎo)出普朗克公式,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),按照相對(duì)論關(guān)系:,光子是玻色子，達(dá)到平衡后遵從玻色分布。由于空窖壁不斷地發(fā)射和吸收光子，所以光子氣體中的光子數(shù)是不恒定的。在導(dǎo)出玻色分布時(shí)只存在E是常數(shù)的條件而不存在N是常數(shù)的條件，因而只應(yīng)引入一個(gè)拉氏乘子 ，而另一個(gè)拉氏乘子0。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),由于 ，這也意味著平衡狀態(tài)下光子氣體的化學(xué)勢等于零。,2020年

24、10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),根據(jù)玻色分布,對(duì)于光子，每個(gè)量子態(tài)的平均光子數(shù)為：,因此，空窖內(nèi)圓頻率在d范圍內(nèi)的平均光子數(shù)為：,(8.4.4),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),由于每個(gè)光子的能量為 ，在體積為V的空窖內(nèi)，圓頻率d范圍的輻射場能量（內(nèi)能）為：,(8.4.5),式(8.4.5)稱為黑體輻射的普朗克公式，是普朗克在1900年得到的，不過推導(dǎo)方法與上述方法不同，在推導(dǎo)該式時(shí)普朗克第一次引入了能量量子化的概念，這是物理概念的革命性飛躍。普朗克公式的建立是量子物理學(xué)的起點(diǎn)。它給出了輻射場能量按頻率的分布，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合。教材中圖8.4畫出了不

25、同溫度下上式的圖形。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),下面討論兩種極限情況：,在低頻、高溫情況下：,上式是瑞利（L. Rayleigh）和金斯（J. H. W. Jeans）公式，它是能量均分定理的結(jié)果，在低頻下適用。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),容易看出，根據(jù)式（8.4.6），在有限溫度下平衡輻射的總能量是發(fā)散的（因?yàn)榭扇?），此即“紫外線災(zāi)難”。,此時(shí)，可將式(8.4.5)分母中的1略去，有：,這是黑體輻射的維恩（W. Wien）公式，在高頻范圍適用。,此結(jié)論與維思1896所求得的結(jié)果一致，這一公式的實(shí)質(zhì)是： ，隨著 ， 。即 的高頻

26、光子幾乎不存在。這是由于在溫度為T的平衡態(tài)下，要輻射出 的光子的幾率很小。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),將式(8.4.5)對(duì)所有頻率積分，可求得空腔內(nèi)輻射場的內(nèi)能。,引入變量 ,上式化為:,利用,有,故,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),積分，得：,上式表明，空窖輻射的內(nèi)能密度與 成正比，這與熱力學(xué)的結(jié)果一致。不同的是，這里給出了比例常數(shù)a的具體數(shù)值，而在熱力學(xué)中則只能由實(shí)驗(yàn)確定，這正是統(tǒng)計(jì)物理優(yōu)越性的表現(xiàn)。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),二、維恩位移定律,從式(8.4.5)可以看出，普朗克公式中包含了與 成正比

27、和與指數(shù)反比兩個(gè)因子，所以輻射場的能量隨分布可能存在一個(gè)極大值 ，可用如下方法求得：,由,得,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),上述方程可由圖解法或數(shù)值法求出，其解為:,稱為維恩位移定律。它指出當(dāng)黑體溫度升高時(shí)，輻射能量最大頻率 將向高頻方向移動(dòng)，或者輻射能量最大的波長 將向短波方向移動(dòng)（如圖）。通過測量 ，可以確定輻射體的溫度，光測高溫計(jì)就是根據(jù)這一原理制成的。,(8.4.9),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),例 8-1 試求光子氣體巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù),并利 用熱力學(xué)公式求輻射場的內(nèi)能、壓強(qiáng)和熵。,解:光子是玻色子，服從玻色統(tǒng)計(jì)?？紤]到光子數(shù)不

28、守恒，化學(xué)勢=0(或=0)。利用式(8.1.3)，有,(8.4.11),為方便起見，用積分近似處理。,光子在體積V內(nèi)，圓頻率在到+d范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為:,(8.4.12),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),作對(duì)應(yīng),對(duì)于粒子數(shù)可變系統(tǒng),其特性函數(shù)是巨熱力勢,故先求出巨熱力勢,然后再求其它量更方便一些。巨熱力勢為：,(8.4.14),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),引入積分變量,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),比較式(8.4.19)和(8.4.20),得:,上式在熱

29、力學(xué)中是作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果引入的，而統(tǒng)計(jì)物理可以導(dǎo)出這一關(guān)系。另外，在習(xí)題7-2中我們曾用不同的方法得到了上式。這里，我們用統(tǒng)計(jì)物理的規(guī)范方法得到了。,(8.4.19),(8.4.20),由此可知，光子氣體的熵隨 而趨于零，符合熱力學(xué)第三定律的要求。,8.5 金屬中的自由電子氣體,前面討論了玻色氣體，現(xiàn)在轉(zhuǎn)而討論費(fèi)米氣體的特性。如前所述，當(dāng)氣體滿足非簡并條件 或 時(shí)，不論是由玻色子還是費(fèi)米子組成的氣體，都同樣遵從玻耳茲曼分布。弱簡并的情形初步顯示了二者的差異。本節(jié)以金屬中的自由電子氣體為例，討論強(qiáng)簡并 或 情形下費(fèi)米氣體的特性。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),一、金屬中的

30、自由電子氣體模型,金屬是由晶格結(jié)點(diǎn)上的離子實(shí)和在整個(gè)金屬中運(yùn)動(dòng)的價(jià)電子組成的。如果假定離子實(shí)形成的勢場是均勻的，并且電子間的庫侖相互作用可忽略，就可把金屬中的自由電子看成是封閉在金屬體內(nèi)的近獨(dú)立粒子，并形象地稱之為“電子氣體”。由于電子是費(fèi)米子，故遵從費(fèi)米分布。本節(jié)將利用費(fèi)米分布討論金屬中電子氣體的熱力學(xué)性質(zhì)。,1.模型,原子結(jié)合成金屬后，價(jià)電子脫離原子可以在整個(gè)金屬內(nèi)運(yùn)動(dòng)，形成公有電子。失去價(jià)電子后的原子成為離子，在空間形成規(guī)則的點(diǎn)陣。在初步的近似中人們把公有電子看作在金屬內(nèi)部作自由運(yùn)動(dòng)的近獨(dú)立粒子。金屬的高導(dǎo)電率和高熱導(dǎo)率說明金屬中自由電子的存在。,2020年10月23日星期五,第八章 玻

31、色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),2.自由電子氣體的特點(diǎn)：,m很小， 很高，常溫下 ，自旋為 1/2，所以是高度簡并的費(fèi)米氣體。,3. 金屬中的自由電子氣體模型與經(jīng)典理論的困難,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),2. 下面我們求出體積為V，能量在到+d范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)：,(8.5.1),1溫度為T時(shí)，能量為的一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：,二、絕對(duì)零度時(shí)自由電子氣體的性質(zhì),這是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論遇到的又一困難，1928年索末菲根據(jù)費(fèi)米分布成功地解決了這個(gè)問題。本節(jié)研究自由電子氣體對(duì)金屬的 的貢獻(xiàn)。,考慮到電子自旋在其動(dòng)量方向上的投影有兩個(gè)可能值，則體積為V、能量在到+d范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)

32、為：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),3在體積V內(nèi)，能量在到+d范圍內(nèi)的平均電子數(shù)為：,(8.5.3),2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),4金屬中的價(jià)電子總數(shù),(8.5.4),對(duì)上式積分得總電子數(shù)N的表達(dá)式,若N、V、T一定，則由上式可求出自由電子的化學(xué)勢：,定性分析： 對(duì)自由電子氣體，由于 ，即 ，所以有 。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),5T0K時(shí)的電子分布,用 表示0K時(shí)電子氣的化學(xué)勢，此時(shí)分布同時(shí)受兩個(gè)約束最小作用原理（能量應(yīng)取最小值）泡利原理，所以其分布為:,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和

33、費(fèi)米統(tǒng)計(jì),如圖8-5-1所示，式(8.5.5)表明T=0K時(shí)，在 的每一個(gè)量子態(tài)上，平均電子數(shù)為1；而在 的每一個(gè)量子態(tài)上，平均電子數(shù)為零。此分布可以這樣理解：,討論：,在0K時(shí)電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利 不相容限制每一量子態(tài)最多只能容納一個(gè)電子，因此電子從=0的狀態(tài)依次填充至 為止， 是0K時(shí)電子的最大能量（費(fèi)米能量）。因此T=0K時(shí)，自由電子的分布狀態(tài)稱為完全簡并態(tài)。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),6電子的費(fèi)米能,顯然， 是0K時(shí)電子的最大能量，也稱為費(fèi)米能，下面我們來求出費(fèi)米能：,故：,分析：對(duì)于電子 較大，所以 較大。,也稱為費(fèi)米能級(jí)，它表示T=

34、0K時(shí)電子的最大能量，用 表示。,大小的估計(jì)：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),以Cu為例，Cu的電子密度是8.5 ,代入式(8.5.7)，得 1.1 J。,一般氣體的能量是kT數(shù)量級(jí)，若取T=300K, 則 kT=4.14 J，,二者之比kT / 約等于1260。 可見，即使在絕對(duì)零度， 的值還是相當(dāng)大的。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),7.費(fèi)米動(dòng)量,7電子氣的總能量,T=0K時(shí)電子氣的總能量應(yīng)等于電子總數(shù)乘以每個(gè)電子的能量。由式(8.5.6)乘以，得：,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),(8.5.9),由上式知，

35、絕對(duì)零度時(shí)電子的平均能量是 .,8.求完全簡并壓強(qiáng)P,根據(jù)：,或：,以銅例,9.討論:,例：以銅金屬中的自由電子氣體為例時(shí)，實(shí)驗(yàn)表明 由此求得：,a.常溫下： 可見 , 很大., 時(shí)，電子的平均速率,這說明，即使在T=0K時(shí)，自由電子仍然以極高速率運(yùn)動(dòng)，這是泡利原理迫使的結(jié)果。,2020年10月23日星期五,第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),三、T0K時(shí)電子氣性質(zhì)的定性和半定量解釋,1. T0K時(shí)自由電子的分布,對(duì)于T0K, 由下式知，f 有如下三種可能：,在 的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)大于12；,在 的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)小于12。,上式表明，T0K時(shí)：,注意 隨 按指數(shù)規(guī)律變化。因此，只在 范圍內(nèi)有明顯變化，若 時(shí)， 隨 的增加或減小迅速趨于零或者1，所以分布如上圖示。,2020年10月23日星