電磁場與微波技術(場論)

1、1,第章 場論,1.1 矢量的基本運算公式 1.2 場的基本概念 1.3 標量場的梯度 1.4 矢量場的散度和旋度 1.5 亥姆霍茲定理 1.6 常用正交曲線坐標系,2,1.1 矢量的基本運算公式,1.1.1 標量和矢量 1.1.2 基本運算公式 1.1.3 常用矢量,3,標量-用大小能夠完整描述的物理量 矢量-需用大小和方向描述的物理量,若三個相互垂直的坐標軸上的分量已知, 一個矢量就確定了。 例如在直角坐標系中, 矢量A的三個分量模值分別是Ax , Ay , Az, 則A可表示為,該矢量的模為,1.1 矢量的基本運算公式1.1.1 標量和矢量,A的單位矢量為,矢量的表示方法,4,例如,在直

2、角坐標下,標量場,如溫度場,電位場,高度場等;,矢量場,如流速場,電場,渦流場等。,1.1 矢量的基本運算公式1.1.1 標量和矢量,5,設,1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,(2) 矢量的加法和減法,(1) 矢量的數(shù)乘,6,(3) 標量積和矢量積,標量積AB,并有,因而得,矢量的相乘有兩種定義-標量積(點乘)和矢量積(叉乘)。,1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,7,矢量積AB,(3) 標量積和矢量積,并有,故,1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,8,標量三重積為,矢量三重積為,（4） 三重積 矢量的三連乘也有兩種-標量、矢量三重積。,

3、1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,9,(5) 求導,例 求矢量場 的矢量線方程。 解 矢量線應滿足的微分方程為,從而有,解得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,10,1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,(6) 曲線積分,例 設,，求任意兩點a、b間的矢量E的線積分。,解,11,(7) 曲面積分,例 已知矢量場 ，求由內向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。 解,1.1 矢量的基本運算公式1.1.2 矢量的基本公式,12,1.1 矢量的基本運算公式1.1.3 常用矢量,單位矢量 一個

4、特定方向上的單位矢量等于該方向上的任一矢量除以其幅值 分矢量 一個矢量在特定方向上的投影為其在該方向上的分量 切向矢量（分量） 法向矢量 （分量）,13,1.2 場的基本概念,1.2.1 定義 1.2.2 分類 1.2.3 場圖,14,1.2 場的基本概念1.2.1 場的定義,場是一個標量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點都有一個確定的標量或矢量值。,1.2.2 場的分類,（1） 標量場,例如,在直角坐標系,標量場的場線-等值線(面)。,等值線,15,標量場(x, y, z)的等值面方程為,1.2 場的基本概念1.2.1 場的定義,場是一個標量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點都有一個確定

5、的標量或矢量值。,1.2.2 場的分類,（1） 標量場,例 求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點M(1, 0, 1)的等值面方程。 解 點M的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為,或,16,1.2 場的基本概念1.2.1 場的定義,場是一個標量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點都有一個確定的標量或矢量值。,1.2.2 場的分類,（2） 矢量場,例如,在直角坐標系,矢量場的場線-矢量線。,其方程為,三維場,在直角坐標下,二維場,17,1.2 場的基本概念1.2.1 場的定義,場是一個標量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點都有一個

6、確定的標量或矢量值。,1.2.2 場的分類,（2） 矢量場,例 求矢量場 的矢量線方程。 解 矢量線應滿足的微分方程為,從而有,解得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,18,形象描繪場分布的工具-場線,矢量場-矢量線,標量場-等值線(面)。,其方程為,其方程為,在直角坐標下:,矢量線,在某一溫度上沿什么方向溫度變化最快？,1.2.3 場圖,19,1.3 標量場的梯度,1.3.1 方向導數(shù) 1.3.2 梯度 1.3.3 梯度的物理意義,20,標量場(x, y, z)在某點沿l方向的變化率稱為沿該方向的方向導數(shù) 。 它的值與所選取的方向 有關, 設,1.3 標量場的梯度,1.3.1 方向導數(shù),21,

7、1.3 標量場的梯度,標量函數(shù)的最大變化率,1.3.1 方向導數(shù),在直角坐標系下,性質,垂直于等值面； 指向變化最快的方向； 最大的變化率；,定義,1.3.2 梯度,定義,22,引入,則,定義標量場(x, y, z)在點P(x, y, z)處的梯度(gradient)為,23,標量函數(shù)的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為,即梯度的方向與過該點的等值面相垂直, 并由梯度定義知, 它指向增大的方向。,一座山的等高線圖,24,梯度運算有如下規(guī)則:,25,例 求數(shù)量場 在點M(1, 1, 2)處沿 方向的方向導數(shù)。 解 l方向的方向余弦為,而,在l方向的方向導數(shù)為,在點M處沿l方向的方向導數(shù),26

8、,例 求r在M(1，0，1)處沿 方向的方向導數(shù)。 解 r的梯度為,點M處的坐標為x=1, y=0, z=1,所以r在M點處的梯度為,r在M點沿l方向的方向導數(shù)為,而,所以,27,標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數(shù);,梯度的方向為該點最大方向導數(shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。,梯度的大小為該點標量函數(shù) 的最大變化率，即該點最大方向導數(shù);,1.3.3 梯度的物理意義,三維高度場的梯度,例 高度場的梯度,與過該點的等高線垂直；,數(shù)值等于該點位移的最大變化率；,指向地勢升高的方向。,28,例 電位場的梯度,與過該點的等位線垂直；,指向電位增加的方向。,數(shù)值等于該

9、點的最大方向導數(shù)；,電位場的梯度,29,1.4 矢量場的散度和旋度,1.4.1 通量 1.4.2 散度 1.4.3 環(huán)量 1.4.4 旋度,30,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.1 通量,元通量,通量,31,矢量 E 沿閉合曲面S 的面積分, 0 (有正源), 0 (有負源), =0 (無源),矢量場的通量,可以根據凈通量的大小判斷閉合面中源的性質:,通量的物理意義,32,定義矢量A在某點的散度(divergence), 記為divA:,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.2 散度,哈密頓(W .R .Hamilton)引入微分算子,則散度可以表示為,33,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.2

10、 散度,34,得高斯公式(散度定理),該公式表明了區(qū)域V 中場A與邊界S上的場A之間的關系。,矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.2 散度,意義,35,例 球面S上任意點的位置矢量為,試利用散度定理計算,解,36,矢量A沿某封閉曲線的線積分, 定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量), 記為,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.3 環(huán)量,環(huán)量密度,取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。,37,旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。,旋度(curl或rotation),與環(huán)量密度的關系為,在直角坐標系下,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.4 旋度,3

11、8,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.4 旋度,旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。,點P的旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值。,在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J 稱為旋度源(或渦旋源)；,點P的旋度的方向是該點最大環(huán)量密度的方向。,若矢量場處處A=0，稱之為無旋場(或保守場)。,39,矢量A的旋度可表示為算子與A的矢量積, 即,計算A時, 先按矢量積規(guī)則展開, 然后再作微分運算, 得,1.4 矢量場的散度和旋度1.4.4 旋度,40,旋度運算符合如下規(guī)則:,在直角坐標系中有,41,斯托克斯(Stockes)定理,A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量

12、。因此，其面積分后，環(huán)量為,即Stockes定理,在電磁場理論中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個非常重要的公式。,矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。,該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關系,42,例 自由空間中的點電荷q所產生的電場強度為,求任意點處(r0)電場強度的旋度E。,解,43,可見, 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故,這說明點電荷產生的電場是無旋場。,因,44,1.5 亥姆霍茲定理,1.5.1 散度和旋度的比較 1.5.2 亥姆霍茲定理,45,1.5.1 散度和旋度的比較, 矢量場的散度是一個標量函數(shù), 而矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)。 散度表示場

13、中某點的通量密度, 它是場中任一點通量源強度的量度; 旋度表示場中某點的最大環(huán)量強度, 它是場中任一點處旋渦源強度的量度。,1.5 亥姆霍茲定理, 散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定; 而旋度由各場分量在與之正交方向上的變化率來決定。,46,在有限區(qū)域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。,1.5.2 亥姆霍茲定理,47,例：判斷矢量場的性質,=0,=0,=0,0,0,=0,48,1.6 常用坐標系,1.6.1 直角坐標系 1.6.2 圓柱坐標系 1.6.3 球坐標系,49,坐標變量,微元,1.6 常用正交曲線坐標系1.6.1 直角坐標系,50,柱坐標系,1.6 常用正交曲線坐標系1.6.2 圓柱坐標系,坐標變量,三者總保持正交關系, 并遵循右手螺旋法則,51,微元,52,1.6 常用正交曲線坐標系1.6.3 球坐標系,坐標變量,三者總保持正交關系, 并遵循右手螺旋法則,53,微元,，,54,三種特殊形式的場,1.平行平面場：如果在經過某一軸線(設為 Z 軸)的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即