人教版初中八年級上冊數(shù)學(xué)《13.3.2 等邊三角形》課件

1、13.3 等腰三角形 13.3.2 等邊三角形,第一課時(shí),第二課時(shí),第一課時(shí),等邊三角形的性質(zhì)和判定,下列圖片中有你熟悉的數(shù)學(xué)圖形嗎？你能說出此圖形的名稱嗎？,1.掌握等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.,2.探索等邊三角形的性質(zhì)和判定,3.能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明,小明想制作一個(gè)三角形的相框，他有四根木條，長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計(jì)出幾種形狀的三角形？,等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形,等邊三角形,一般三角形,在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.,等邊對等角

2、,三線合一,等角對等邊,兩邊相等,兩腰相等,軸對稱圖形,A,B,C,有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？,等腰三角形,AB=AC,B=C,等邊三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C,=60,問題1：,結(jié)論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60.,已知：AB=AC=BC ， 求證：A= B=C= 60.,證明： AB=AC. B=C .(等邊對等角) 同理 A=C . A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 .,等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？,結(jié)論:等邊三角形每條

3、邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”.,頂角的平分線、底邊的高 底邊的中線 三線合一,一條對稱軸,三條對稱軸,問題2：,每條邊上的中線、高和這條邊所對的角的平分線互相重合,三個(gè)角都相等，,對稱軸（3條）,等邊三角形,對稱軸（1條）,兩個(gè)底角相等,底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合,且都是60,兩條邊相等,三條邊都相等,歸納總結(jié),例1 如圖，ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度數(shù),解：ABC是等邊三角形， ABCACB60. ABE40， EBCABCABE60 4020. BEDE， DEBC20， CEDA

4、CBD40.,等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用,解決與等邊三角形有關(guān)的計(jì)算問題，關(guān)鍵是注意“每個(gè)內(nèi)角都是60”這一隱含條件，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)解答.,1.如圖，ABC是等邊三角形，BD平分ABC，延長BC到E，使得CE=CD求證：BD=DE,證明：ABC是等邊三角形，BD是角平分線， ABC=ACB=60，DBC=30 又CE=CD， CDE=CED 又BCD=CDE+CED， CDE=CED=30 DBC=DEC DB=DE（等角對等邊）,例2 ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BMCN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，BQM等于多少度？,解：

5、ABC為等邊三角形， ABCCBAC60，ABBC. 又BMCN， AMBBNC(SAS)， BAMCBN， BQMABQBAMABQCBNABC60.,此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般先利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.,2.如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F （1）求證：ABECAD； （2）求BFD的度數(shù),（1）證明：ABC為等邊三角形， BAC=C=60，AB=CA，即BAE=C=60， 在ABE和CAD中， ABECAD（SAS） （2）解：BFD=ABE+

6、BAD， 又ABECAD， ABE=CAD BFD=CAD+BAD=BAC=60,等邊三角形的判定,三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形,等邊三角形,從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形,從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形,三條邊都相等的三角形是等邊三角形,小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個(gè)角是60的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？,等邊三角形的判定方法： 有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.,3.根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.,（1）,（2）,（6）,（5）,不 是,是,是,是,是,（4）,（3）,不一定 是,例3 如圖，在等邊三角形ABC中，DEBC，求證：ADE

7、是等邊三角形.,證明：, ABC是等邊三角形，, A= B= C., DE/BC, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等邊三角形.,等邊三角形的判定的應(yīng)用,證明：ABC 是等邊三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等邊三角形.,若點(diǎn)D、E 在邊AB、AC 的延長線上，且 DEBC，結(jié)論還成立嗎？,若點(diǎn)D、E 在邊AB、AC 的反向延長線上，且DEBC，結(jié)論依然成立嗎？,證明： ABC 是等邊三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD

8、=D =E ADE 是等邊三角形,上題中,若將條件DEBC改為AD=AE, ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.,證明：, ABC是等邊三角形，, A= B= C., AD=AE, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等邊三角形.,例4 等邊ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，問APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論,解：APQ為等邊三角形 證明如下：ABC為等邊三角形，ABAC. BPCQ，ABPACQ， ABPACQ(SAS)， APAQ，BAPCAQ. BACBAPPAC60， PAQCAQPAC60， APQ是等邊三角

9、形,判定一個(gè)三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個(gè)內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個(gè)內(nèi)角等于60.,證明：ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF AF=BD=CE，A=B=C=60， ADFBEDCFE（SAS）， DF=ED=EF， DEF是等邊三角形,4. 如圖，等邊ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF求證：DEF是等邊三角形,解析：ABC是等邊三角形，BAC=60，AB=AC 又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)， BAD= BAC=30,如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則BAD=_,30,2.如圖，等邊三角形A

10、BC的三條角平分線交于點(diǎn)O，DEBC，則這個(gè)圖形中的等腰三角形共有（ ）,A. 4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè),D,1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（） A105 B120 C135 D150,B,3.在等邊ABC中，BD平分ABC，BD=BF，則CDF的度數(shù)是（） A10 B15 C20 D25,4.如圖,ABC和ADE都是等邊三角形，已知ABC的周長為18cm,EC =2cm,則ADE的周長是 cm.,12,B,5.如圖，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB為邊在ABC外作等邊ABD，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于F求證：AEFBEC,證明：ABD是等

11、邊三角形， DAB=60， CAB=30，ACB=90， EBC=1809030=60，F(xiàn)AE=EBC E為AB的中點(diǎn)，AE=BE 又 AEFBEC， AEFBEC（ASA）,如圖，A、O、D三點(diǎn)共線，OAB和OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形，求AEB的大小.,解：,OAB和OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形.,AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60., A、O、D三點(diǎn)共線，,DOB=COA=120, COA DOB(SAS)., DBO=CAO.,設(shè)OB與EA相交于點(diǎn)F, EFB=AFO，,AEB=AOB=60.,F,圖、圖中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM與CBN都是等邊三角形 (1)如圖，線

12、段AN與線段BM是否相等？請說明理由； (2)如圖，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究CEF的形狀，并證明你的結(jié)論,解：(1)ANBM. 理由：ACM與CBN都是等邊三角形， ACMC，CNCB， ACMBCN60. ACNMCB. ACNMCB(SAS) ANBM.,圖,(2)CEF是等邊三角形 證明：ACEFCM=60， ECF=60. ACNMCB， CAECMB. ACMC， ACEMCF(ASA)， CECF. CEF是等邊三角形,圖,等邊 三角形,定義,底=腰,性質(zhì),邊,三邊相等,角,三個(gè)角都等于60 ,軸對稱性,軸對稱圖形，每條邊上都具有“三線合一”性質(zhì),判定,三邊都相

13、等,三角都相等,有一個(gè)角是60的等腰三角形,第二課時(shí),直角三角形的性質(zhì),2.這個(gè)特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之處，它有什么特殊性質(zhì)？,1.等邊三角形是軸對稱圖形，若沿著其中一條對稱軸折疊，能產(chǎn)生什么特殊圖形？,想一想,1.探索含30角的直角三角形的性質(zhì),2.會運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.,如圖，將兩個(gè)相同的含30角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？,分離,拼接,A,C,B,含30角的直角三角形的性質(zhì),問題1：,將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？,問題2：,性質(zhì)：,在直

14、角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,如圖，顯然，ADC與ABC關(guān)于AC成軸對稱圖形，,因此AB=AD, BAD=230=60，,從而ABD是一個(gè)等邊三角形.,再由ACBD,可得BC=CD= AB.,證明：延長BC 到D，使BD =AB，連接AD. 在ABC 中，C =90，A =30, B =60ABD 是等邊三角形 又ACBD,已知：如圖，在RtABC 中，C =90，A =30. 求證：BC = AB,BC = AB,BC = BD,方法一：,方法點(diǎn)撥,倍長法就是延長得到的線段是原線段的正整數(shù)倍，即1倍、2倍,倍長法,證明： 在BA上截取BE=BC，連接E

15、C. B= 60 ，BE=BC. BCE是等邊三角形， BEC= 60，BE=EC. A= 30， ECA=BECA=6030 = 30. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.,BC = AB,方法二：,方法點(diǎn)撥,在證明中，在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段就是截半法.,截半法,含30角的直角三角形的性質(zhì)：,在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,在RtABC 中，C =90，A =30，,應(yīng)用格式：,BC = AB,例1 如圖，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜邊AB上的高，AD3cm，則AB的長度是() A3cm B

16、6cm C9cm D12cm,注意：運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形,D,解析：在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，ADC90， ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm， 在RtABC中，AB2AC12cm.AB的長度是12cm.,利用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段的值,1. ABC中，AB=AC，C=30,DA BA于A，BD=9.6cm，則AD= .,4.8cm,A,2.如圖C=90，D是CA的延長線上的一點(diǎn)，BDC=15，且AD=AB，則BC= AD.,例2 如圖，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，則PD等于()

17、 A3 B2 C.1.5 D1,解析：如圖，過點(diǎn)P作PEOB于E，PCOA， AOPCPO， PCEBOPCPOBOPAOPAOB30. 又PC3， PE1.5. AOPBOP，PDOA， PDPE1.5.,E,C,含30角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30角的直角三角形,3.如圖，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4則BD = .,1,解析：在ABC中， ACB=90，A=30， BC= 1 2 AB=4 1 2 =2. 同理可得：BD= 1 2 BC=2 1 2 =1,4.已知:等腰三角形的底角為15 ,腰長為20.求

18、腰上的高.,解:過C作CDBA,交BA的延長線于點(diǎn)D.,B=ACB=15 (已知), DAC= B+ ACB= 15+15=30，,A,C,B,D,15 ,15 ,20,),),CD= AC= 20=10.,例3 如圖，在ABC中，C90，AD是BAC的平分線，過點(diǎn)D作DEAB.DE恰好是ADB的平分線CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由,解：,理由如下： DEAB，AEDBED90.,DE是ADB的平分線，ADEBDE.,又DEDE，AEDBED(ASA)，,在RtACD中，CAD30，,ADBD，DAEB.,BADCAD BAC，,BADCADB.,BADCADB90，,BBADCAD3

19、0.,CD AD BD，即CD DB.,含30角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì),5.RtABC 中，C =90，B =2A，B 和A 各是多少度？邊AB 與BC 之間有什么關(guān)系？,證明：B+A =180 C=90， B=2A， B=60，A=30. AB=2BC.,例4如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D 是斜梁AB 的中點(diǎn)，立柱BC，DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 有多長？,利用直角三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題,解：DEAC,BC AC, A=30 ，,BC= AB, DE= AD.,B

20、C= AB= 7.4=3.7(m).,又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).,答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.,如圖，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB于C，若EC=1，則OF=,解：作EHOA于H， AOE=BOE=15，ECOB，EHOA， EH=EC=1，AOB=30， EFOB， EFH=AOB=30，F(xiàn)EO=BOE， EF=2EH=2，F(xiàn)EO=FOE， OF=EF=2,2,H,1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30角，這棵樹在折斷前的高度為( ) A6米 B9米 C12米 D15米,2.某市在舊城綠化改造

21、中，計(jì)劃在一塊如圖所示的ABC空地上種植草皮優(yōu)化環(huán)境，已知A150，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要( ) A300a元 B150a元 C450a元 D225a元,B,B,3.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,則BC = .,5,4.如圖，RtABC中，A= 30， AB+BC=12cm，則AB=_cm.,8,1.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長,解：連接AE， DE是AB的垂直平分線， BE=AE，EAB=B=15， AEC=EAB+B=30 C=90，,AC= AE= BE=2.5,2.在 ABC中 ，AB=

22、AC，BAC=120 ，D是BC的中點(diǎn)，DEAB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA.,證明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中點(diǎn)，ADBC ADC=90，BAD=DAC=60. AB=2AD. DEAB，AED=90， ADE=30，AD=2AE. AB=4AE，BE=3AE.,如圖，已知ABC是等邊三角形，D,E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQAD于點(diǎn)Q, 求證:BP=2PQ.,ADCBEA.,證明：ABC為等邊三角形，, AC=BC=AB ,C=BAC=60，,CD=AE，,CAD=ABE. BAP+CAD=60，ABE+BAP=60. BP

23、Q=60. 又 BQAD，,BP=2PQ.,PBQ=30，,BQP=90，,內(nèi)容,在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,使用要點(diǎn),含30角的直角三角形的性質(zhì),分清30 的角所在的直角邊. 作輔助線，構(gòu)造直角三角形.,注意,前提條件：直角三角形中,證題方法,倍長法,截半法,作業(yè) 內(nèi)容,教材作業(yè),從課后習(xí)題中選取,自主安排,配套練習(xí)冊練習(xí),同樣的老師，同樣的復(fù)習(xí)，平時(shí)大家成績都差不多，為什么一到考試就比別人差幾分呢?其實(shí)是有原因的，根據(jù)大家給小編的反映，幾分的差距大部分都落在了考試技巧上。那么有哪些技巧可以讓我們在考場上超越別人呢?給大家整理了一些考試常用的小技

24、巧，希望對大家即將到來的期末考試有幫助。 抓基礎(chǔ) 基礎(chǔ)知識，是整個(gè)數(shù)學(xué)知識體系中最根本的基石。 夯實(shí)基礎(chǔ)主要應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：歸納和梳理教材知識結(jié)構(gòu)，記清概念和考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)，基礎(chǔ)夯實(shí)。數(shù)學(xué)=一定量的做題+規(guī)律總結(jié)，所有最基本的概念、公理、定理和公式的記憶是清晰的、明確的，不是好像、大概。特別是選擇題和判斷題，要靠清晰的概念來明辨對錯(cuò)，如果概念不清就會感覺模棱兩可，最終造成誤判斷誤選擇。因此，市面上有很多好書總結(jié)的知識點(diǎn)非常全面，可以買來，要好好記憶，在做題時(shí)候這些知識點(diǎn)會指導(dǎo)你。 精做精練 多做精選模擬試題，做幾套精選的模擬題，或者做幾套往年真題，因?yàn)檫@些試卷的知識點(diǎn)的分布比較合理到位，這樣能夠使

25、得整個(gè)知識體系得到優(yōu)化與完善，基礎(chǔ)與能力得到升華，速度得到提高，對知識的把握更為靈活。通過模擬套題訓(xùn)練，掌握好答題方法和答題時(shí)間，在做模擬試卷時(shí)就應(yīng)該學(xué)會統(tǒng)籌安排時(shí)間，先易后難，不要在一道題上花費(fèi)太多的時(shí)間。在平時(shí)就養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，和良好的心態(tài)，這樣可以在實(shí)戰(zhàn)中得以發(fā)揮自己的最佳水平。 審題后快做 同時(shí)平時(shí)訓(xùn)練別用計(jì)算器，解題時(shí)審題要慢，題意分析清楚，再動(dòng)手快做。提高速度也是復(fù)習(xí)要強(qiáng)化的訓(xùn)練，考試競爭是知識與能力的競爭，也是速度的較量。會的一定答對、答全，切忌平時(shí)訓(xùn)練使用計(jì)算器。還有，要重視課本中的典型例題與習(xí)題，不少試題源于課本。大題重要步驟不能丟步、跳步，丟步驟等于丟分。 查漏補(bǔ)缺 在做題的同時(shí)，會有許多錯(cuò)題產(chǎn)生。此時(shí)整理、歸納、訂正錯(cuò)題是必不可少，甚至訂正比做題更加重要，因此不僅要寫出錯(cuò)解的過程和訂正后的正確過程，更希望能注明一下錯(cuò)誤的原因。比如，哪些是知識點(diǎn)掌握不夠，哪些是方法運(yùn)用不當(dāng)?shù)取Ｍ瑫r(shí)進(jìn)行診斷性練習(xí)，以尋找問題為目的。你可將各種測試卷中解錯(cuò)的題目按選擇題、填空題和解答題放在一起比較，診斷一下哪類題容易