常微分方程(第三版)課后答案

1、常微分方程2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對原式進(jìn)行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時 x(0)=0 故

2、c=0 所以x(t)=tgx(0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14

3、兩邊同乘以 令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個解在上有界b) 時，當(dāng)tN時由a)的結(jié)論故時，原命題成立 11、給定方程組 （5.15）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（5.15

4、）的一個基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續(xù)解。反之，（*）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（*）反之，若是（*）的解，則有兩邊對t求導(dǎo)：即（*）的解是（*）的解習(xí)題5.31、 假設(shè)A是nn矩陣，試證：a) 對任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expAexpAb) 對任意整數(shù)k,都有(expA)=expkA (當(dāng)k是負(fù)整數(shù)時，規(guī)定(expA)(expA)證明：a) （A）（A）（A）（A） exp(A+A)= expAexpAb) k0時，(expA)expAe

5、xpAexpA exp（A+A+A） expkA k0 (expA)(expA)=exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) expkA 故k，都有(expA)=expkA2、 試證：如果是=Ax滿足初始條件的解，那么expA(t-t)證明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因?yàn)?t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因?yàn)榫仃?（At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t)3、 試計(jì)算下面矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（E

6、A）=(5)(+1)=0=5, =1對應(yīng)于=5的特征向量u=, ()對應(yīng)于=1的特征向量v=, ()b) det（EA）=(+1)(+2)(2)01，2，2對應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ）對應(yīng)于2的特征向量u2， （ ）對應(yīng)于2的特征向量u3， （ ）c）det（EA）=(+1)2(3)0 1（二重），3對應(yīng)于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）對應(yīng)于3的特征向量v, （ ）d) det（EA）=(+3)(+1)(+2)=0 1，2，3 對應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ） 對應(yīng)于2的特征向量u2， （ ） 對應(yīng)于3的特征向量u3， （ ）4、 試求方程組=Ax的一個基解矩陣，并計(jì)算exp

7、At，其中A為：a） b）c） d）解：a）det（EA）=0得，對應(yīng)于的特征向量為u， （ 0 ）對應(yīng)于的特征向量為v， （ ）u，v是對應(yīng)于，的兩個線性無關(guān)的特征向量(t)=是一個基解矩陣 ExpAt=b) 由det（EA）=0得5，1解得u，v是對應(yīng)于，的兩個線性無關(guān)的特征向量則基解矩陣為(t)(0) 1(0)則expAt(t) 1(0) c） 由det（EA）=0得2，2，1 解得基解矩陣(t)1(0) 則expAt(t) 1(0)d）由det（EA）=0得3，2，2 解得基解矩陣(t)則expAt(t) 1(0)5、試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件 解：a）由第4題（b）

8、知，基解矩陣為 所以 b）由第4題（d）知，基解矩陣為 (t) 所以c) 由3（c）可知，矩陣A的特征值為3，1（二重） 對應(yīng)的特征向量為u1，u2 解得 6、 求方程組=Axf（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩陣為(t)解得(t)， 則1(t)1(0)求得b）由det（EA）=0得1，2，3 設(shè)對應(yīng)的特征向量為v1，則 （EA）v1=0，得v1 取v1，同理可得v2 ，v3 則(t)從而解得c）令=Ax的基解矩陣為(t)由det（EA）=0得1，2解得對應(yīng)的基解矩陣為(t)1(t) 從而1(0)7、 假設(shè)m不是矩陣A的特征值。試證非齊線性方程組 有一解形如 其中c，p是常數(shù)向量。 證：要證是否為解，就是能否確定常數(shù)向量p則p（mEA）c由于m不是A的特征值故mEA存在逆矩陣那么pc（mEA）1 這樣方程就有形如的解8、 給定方程組 a） 試證上面方程組等價于方程組u=Au,其中u，A=b） 試求a）中的方程組的基解矩陣c） 試求原方程組滿足初始條件x1(0)=0, x1(0)=1, x2(0)=0的解。 證：a）令 則方程組化為即uu=Au 反之，設(shè)x1=u1,x1=u2,x2=u3 則方程組化為 b）由det（EA）=0得0，1，2由 得同理可求得u2和u3取則是一個基解矩陣c）令，則化為等價的方程組且初始條件變?yōu)槎鴿M足此初始條件的解為