常微分方程(第三版)課后答案

1、常微分方程2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故

2、c=0 所以x(t)=tgx(0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14

3、兩邊同乘以 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對(duì)于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個(gè)解在上有界b) 時(shí)，當(dāng)tN時(shí)由a)的結(jié)論故時(shí)，原命題成立 11、給定方程組 （5.15）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（5.15

4、）的一個(gè)基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續(xù)解。反之，（*）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（*）反之，若是（*）的解，則有兩邊對(duì)t求導(dǎo)：即（*）的解是（*）的解習(xí)題5.31、 假設(shè)A是nn矩陣，試證：a) 對(duì)任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expAexpAb) 對(duì)任意整數(shù)k,都有(expA)=expkA (當(dāng)k是負(fù)整數(shù)時(shí)，規(guī)定(expA)(expA)證明：a) （A）（A）（A）（A） exp(A+A)= expAexpAb) k0時(shí)，(expA)expAe

5、xpAexpA exp（A+A+A） expkA k0 (expA)(expA)=exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) expkA 故k，都有(expA)=expkA2、 試證：如果是=Ax滿足初始條件的解，那么expA(t-t)證明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因?yàn)?t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因?yàn)榫仃?（At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t)3、 試計(jì)算下面矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（E

6、A）=(5)(+1)=0=5, =1對(duì)應(yīng)于=5的特征向量u=, ()對(duì)應(yīng)于=1的特征向量v=, ()b) det（EA）=(+1)(+2)(2)01，2，2對(duì)應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于2的特征向量u2， （ ）對(duì)應(yīng)于2的特征向量u3， （ ）c）det（EA）=(+1)2(3)0 1（二重），3對(duì)應(yīng)于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于3的特征向量v, （ ）d) det（EA）=(+3)(+1)(+2)=0 1，2，3 對(duì)應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ） 對(duì)應(yīng)于2的特征向量u2， （ ） 對(duì)應(yīng)于3的特征向量u3， （ ）4、 試求方程組=Ax的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算exp

7、At，其中A為：a） b）c） d）解：a）det（EA）=0得，對(duì)應(yīng)于的特征向量為u， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于的特征向量為v， （ ）u，v是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量(t)=是一個(gè)基解矩陣 ExpAt=b) 由det（EA）=0得5，1解得u，v是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量則基解矩陣為(t)(0) 1(0)則expAt(t) 1(0) c） 由det（EA）=0得2，2，1 解得基解矩陣(t)1(0) 則expAt(t) 1(0)d）由det（EA）=0得3，2，2 解得基解矩陣(t)則expAt(t) 1(0)5、試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件 解：a）由第4題（b）

8、知，基解矩陣為 所以 b）由第4題（d）知，基解矩陣為 (t) 所以c) 由3（c）可知，矩陣A的特征值為3，1（二重） 對(duì)應(yīng)的特征向量為u1，u2 解得 6、 求方程組=Axf（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩陣為(t)解得(t)， 則1(t)1(0)求得b）由det（EA）=0得1，2，3 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為v1，則 （EA）v1=0，得v1 取v1，同理可得v2 ，v3 則(t)從而解得c）令=Ax的基解矩陣為(t)由det（EA）=0得1，2解得對(duì)應(yīng)的基解矩陣為(t)1(t) 從而1(0)7、 假設(shè)m不是矩陣A的特征值。試證非齊線性方程組 有一解形如 其中c，p是常數(shù)向量。 證：要證是否為解，就是能否確定常數(shù)向量p則p（mEA）c由于m不是A的特征值故mEA存在逆矩陣那么pc（mEA）1 這樣方程就有形如的解8、 給定方程組 a） 試證上面方程組等價(jià)于方程組u=Au,其中u，A=b） 試求a）中的方程組的基解矩陣c） 試求原方程組滿足初始條件x1(0)=0, x1(0)=1, x2(0)=0的解。 證：a）令 則方程組化為即uu=Au 反之，設(shè)x1=u1,x1=u2,x2=u3 則方程組化為 b）由det（EA）=0得0，1，2由 得同理可求得u2和u3取則是一個(gè)基解矩陣c）令，則化為等價(jià)的方程組且初始條件變?yōu)槎鴿M足此初始條件的解為