統(tǒng)計(jì)學(xué)常用公式

1、公式一1. 眾數(shù)【MODE】（1） 未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。（2） 組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算對(duì)于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再根據(jù)下面的公式計(jì)算計(jì)算眾數(shù)的近似值。 下限公式： 式中：表示眾數(shù)；L表示眾數(shù)的下線；表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；表示眾數(shù)組的組距。 上限公式： 式中：U表示眾數(shù)組的上限。2中位數(shù)【MEDIAN】（1）未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計(jì)算 根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置。設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為，中位

2、數(shù)，為則有： 當(dāng)N為奇數(shù) 當(dāng)N為偶數(shù)（2）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算時(shí)，要先根據(jù)公式N / 2 確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組，然后采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值： 式中：表示中位數(shù)；L表示中位數(shù)所在組的下限；表示中位數(shù)所在組以下各組的累計(jì)次數(shù)；表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；表示中位數(shù)所在組的組距。3均值的計(jì)算【AVERAGE】（1）未經(jīng)分組均值的計(jì)算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為： （2）分組數(shù)據(jù)均值計(jì)算分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為： 4幾何平均數(shù)【GEOMEAN】幾何平均數(shù)是N個(gè)變量值乘積的N次方根，計(jì)算公式為：式中：G表示幾何平均數(shù)；表示連乘符號(hào)。5調(diào)和平均數(shù)【HARMEAN

3、】調(diào)和平均數(shù)是對(duì)變量的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，它有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計(jì)算形式。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)： 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)： 式中：H表示調(diào)和平均數(shù)。6極差【Range】極差也稱(chēng)全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即 式中：R表示極差；和分別表示一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值。7平均差【Mean Deviation】平均差是各標(biāo)志值與其平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均。（1） 根據(jù)未分組資料的計(jì)算公式： （2） 根據(jù)分組資料的計(jì)算公式： 式中：AD表示平均差8方差【Variance】和標(biāo)準(zhǔn)差【Standard Deviation】方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和

4、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為： 分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為： 式中：表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)： 分組數(shù)據(jù)： 式中：表示標(biāo)準(zhǔn)差。9離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。 其計(jì)算公式為： 式中：表示離散系數(shù)。10偏態(tài)【SKEW】 偏態(tài)是對(duì)分布偏斜方向及程度的測(cè)度。利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以判斷分布是左偏還是右偏。顯然，判別偏態(tài)的方向并不困難，但要測(cè)度偏斜的程度就需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)了。EXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為： 11峰值【KURT】E

5、XCEL中峰值系數(shù)的計(jì)算公式為：式中：s 表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式二1 均值估計(jì)（1）樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，又稱(chēng)為樣本均值的抽樣平均誤差,它反映的是所有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度，反映了所有可能樣本的實(shí)際抽樣誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計(jì)算公式為：重復(fù)抽樣方式： 不重復(fù)抽樣方式： 通常情況下，當(dāng)N很大時(shí)，（N-1）幾乎等于N，樣本均值的抽樣平均誤差的計(jì)算公式也可簡(jiǎn)化為：在公式中，是總體標(biāo)準(zhǔn)差。但實(shí)際計(jì)算時(shí)，所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，在大樣本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替。（2）大樣本均值的極限誤差 （3）大樣本下總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值

6、的置信度為（）的置信區(qū)間： 即（4）總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為（）的置信區(qū)間：即 2比例估計(jì)（1）樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為：重復(fù)抽樣下： 上式中，p應(yīng)為總體比例，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常用樣本比例p代替。不重復(fù)抽樣下： （2）樣本比例的抽樣極限誤差（3）總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比例P的置信度為（）的置信區(qū)間為：即 3 總體均值檢驗(yàn)（1） 單一總體均值檢驗(yàn)正態(tài)總體（總體方差已知）或大樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為： 正態(tài)總體（總體方差未知）小樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t為： （2） 兩個(gè)總體的均值檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)兩個(gè)總體方差已知或大樣本Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

7、大樣本下對(duì)兩個(gè)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不變。 兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)（小樣本）兩個(gè)總體方差未知但相等T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： 其中： ； 4 總體比例檢驗(yàn)（1） 單一總體的比例檢驗(yàn)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： （2） 兩個(gè)總體比例的檢驗(yàn)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為： 其中：，為當(dāng)時(shí)和的聯(lián)合估計(jì)值。5 總體方差假設(shè)檢驗(yàn)（1） 單一正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： 其中：為的估計(jì)量。（2） 兩個(gè)正態(tài)總體的方差假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： 其中： ； 。公式三1.單因素方差分析設(shè)總體共分為k種處理進(jìn)行觀察，第j種處理試驗(yàn)了容量為的樣本。（1） 計(jì)算各項(xiàng)離差平方和 在單因

8、素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有3個(gè)，它們分別是總離差平方和，誤差項(xiàng)離差平方和以及水平項(xiàng)離差平方和。 總離差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表： 式中：表示全部樣本觀測(cè)值的總均值。其計(jì)算公式為： 誤差離差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表： 式中：表示第j種水平的樣本均值，水平項(xiàng)離差平方和。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱(chēng)為A。于是水平項(xiàng)離差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。SSA的計(jì)算公式為： （2） 計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均

9、平方和（Mean Square）。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-1）；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（r-1），這里r表示水平的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-r）。與離差平方和一樣，SST、SSA、SSE之間的自由度也存在著如下的關(guān)系：n-1=（r-1）+（n-r）對(duì)于SSA，其平均平方MSA（組間均方差）為： 對(duì)于SSE，其平均平方MSE（組內(nèi)均方差）為： （3） 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F 2兩因素方差分析設(shè)兩個(gè)因素A、B分別有k個(gè)水平和n個(gè)水平，共進(jìn)行nk次試驗(yàn)。（1） 計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在兩因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有4個(gè)，它們分別是總離差平方和，誤差項(xiàng)離差平方和以及水平A、B項(xiàng)離差平方和

10、?？傠x差平方和，用SST（Sum of Squares for Total）代表： 式中：表示全部樣本觀察值的總均值，其計(jì)算公式為： 水平項(xiàng)離差平方和可以分別用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。SSA的計(jì)算公式為： 式中： SSB的計(jì)算公式為： 式中： 誤差離差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表： （2） 計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為（nk-1）；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（k-1），這里k表示水平A的個(gè)數(shù)；對(duì)SSB來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-1），這里n表示水平B的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō)，其自由