非壽險(xiǎn)精算答案整理

1、非壽險(xiǎn)精算答案整理 一：假設(shè)某保單的損失服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為f(x;?)?e?x(x?0)其中，?為未知參數(shù)，如果該保單過去各年的損失觀測(cè)值為(x1,x2?xn)，求參數(shù)?的極大似然估 ?解：利用極大似然估計(jì)的方法，可以得到?n?xi?1n?1 xi二：假設(shè)某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的累積損失s服從復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)為xxxx年發(fā)生交通事故的次數(shù)都服從泊松分布，而不同汽車的泊松分布參數(shù)不同，假設(shè)只取兩個(gè)值（1或2），進(jìn)一步假設(shè)?的先驗(yàn)分布為p(?1)?0.6,p(?2)?0.4，如果汽車一年內(nèi)發(fā)生4次事故，求該汽車索賠頻率?的后驗(yàn)分布。 解：p(x?4?)?44!e? p(x?4?1)?1?116

2、?2e p(x?4?2)?e 2424e?1?0.624p(?1x?4)?1?0.xxxx年內(nèi)是均勻分布，保險(xiǎn)期限為1年，各日歷年的已賺保費(fèi)如下，xxxx年為xxxx年為250千元，xxxx年為300千元，最近幾次的費(fèi)率調(diào)整如下表， 費(fèi)率調(diào)整日期 調(diào)整幅度 10% 1998年7月1日 8% 1999年7月1日 10% xxxx年7月1日 請(qǐng)計(jì)算以該表最新的費(fèi)率水平表示的xxxx年的已賺保費(fèi)。 解：如果把1998年生效的相對(duì)費(fèi)率看做是1，則1999年生效的相對(duì)費(fèi)率為1.08,xxxx年生效的相對(duì)費(fèi)率為1.08*1.09?1.1772，xxxx年的相對(duì)費(fèi)率為1*12.5%?1.08*87.5%?1

3、.07，xxxx年的相對(duì)費(fèi)率為1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,xxxx年的相對(duì)費(fèi)率為1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，將所有年費(fèi)的已賺保費(fèi)調(diào)整到xxxx年的水平，可得等水平已賺保費(fèi)為3100*1.1772/1.07+3xxxx年的相對(duì)費(fèi)率和保費(fèi)收入、過去三年的等水平已賺保費(fèi)和經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)如下表所示，假設(shè)a為基礎(chǔ)類別，經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度為40%，如果整體保費(fèi)需要上調(diào)15%，請(qǐng)計(jì)算調(diào)整后的相對(duì)費(fèi)率。 經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù) 風(fēng)險(xiǎn)類別 當(dāng)年的相對(duì)費(fèi)率 當(dāng)年的保費(fèi)收入 過去三年的等水過去三年的經(jīng)驗(yàn)平已賺保費(fèi) 損失 a 1 6000 16000 4800

4、 b 1.2 6500 15000 3500 c 1.3 5500 15000 3xxxx年，新費(fèi)率的生效日期是xxxx年7月1日，目標(biāo)賠付率為60%，如果每年按5%的速度增長(zhǎng)，請(qǐng)根據(jù)下表計(jì)算費(fèi)率的調(diào)整幅度。 經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率 保單年度 根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率計(jì)算的保費(fèi) 最終賠款 權(quán)重 xxxx年簽發(fā)的保單，其賠款平均在xxxx年1月1日支出。 xxxx年7月1日簽發(fā)的保單，其賠款平均在xxxx年7月1日支出。 因此把xxxx年的保單年度的最終賠款調(diào)整到xxxx年7月1日得水平即為 1000?1.052.5?1129.73，同樣把xxxx年保單年度的最終賠款調(diào)整到xxxx年7月1日的 1.5.86 水平即為xx

5、xx年度 根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率計(jì)算的保費(fèi) 最終賠款 權(quán)重 經(jīng)趨勢(shì)調(diào)整后的最終賠款 1129.73 2151.86 經(jīng)驗(yàn)賠付率 2003 2000 1000 0.3 0.5649 2004 3000 2000 0.7 0.7173 平均經(jīng)驗(yàn)賠付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716 費(fèi)率上調(diào)幅度=0.6716/0.6=12% 十一：已知兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)a和b的損失金額服從下述分布，其中風(fēng)險(xiǎn)a發(fā)生損失的概率是風(fēng)險(xiǎn)b的兩倍，如果已知某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)在某次事故的損失額為300元，求該風(fēng)險(xiǎn)下次損失額的bl估計(jì)。 損失額 風(fēng)險(xiǎn)a的概率分布 風(fēng)險(xiǎn)b的概率分布 300 0.5 0.6 3000 0.3 0.3

6、70000 0.2 0.1 解： 1e(x)?(2)?e(x?1)?(e(x?2)?12726.73321a?(15050?12726.7)2?(8080?12726.7)2?10795755.56 33var(x?1)?0.5?(300?15050)2?0.3(3000?15050)2?0.2(70000?15050)2?756242500 var(x?2)?0.6?(300?8080)2?0.3(3000?8080)2?0.1(70000?8080)2?427467600?21?756242500?427467600?646650866.7 33?nk?59.899 z?0.0164 2a

7、n?k信度估計(jì)值為zx?(1?z)?12522.65 十二、已知有四個(gè)風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的被保險(xiǎn)人，每人可能發(fā)生的損失為2或者4，其分布如下表所示，隨機(jī)選定某一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，并且從中選取四個(gè)被保險(xiǎn)人，總的損失為4，如果從同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)中再抽取一個(gè)被保險(xiǎn)人，請(qǐng)用bl-s信度模型估計(jì)這5個(gè)被保險(xiǎn)人的總損失。 解： 類別 概率 均值 方差 2.2 0.36 一類 14 2.6 0.84 二類 14 三類 四類 14 14 143 3.6 1 0.64 ?2.85，?0.71，a?(2.22?2.62?32?3.62)?2.852?0.2675 4?0.6011 0.714?0.2675?zx?(1?z)?1.738

8、 x?8.69 5xz?n?n?k十三、假設(shè)不同被保險(xiǎn)人的索賠頻率相互獨(dú)立，每個(gè)被保險(xiǎn)人在每月的索賠次數(shù)服從泊松分布，不同被保險(xiǎn)人的泊松參數(shù)互不相同，泊松參數(shù)服從伽馬分布，其密度函數(shù)為 (100?)6e?100?f(?)?，假設(shè)保險(xiǎn)人在過去4個(gè)月份的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示，請(qǐng)應(yīng)用bl-s 120?模型估計(jì)保險(xiǎn)人在下個(gè)月的索賠次數(shù)。 十四 十六：已知 100個(gè)人投保，這些投保的個(gè)體有相互獨(dú)立的索賠，索賠的均值和方差按照性別分別如下表： 均值 方差 2 4 男性 2 10 女性 設(shè)s為總的索賠量，總的保險(xiǎn)費(fèi)按照e(s)?2d(s)收取，這100個(gè)成員中，男女性別個(gè)數(shù)未知，設(shè)男性有n個(gè)人，n服從二項(xiàng)分布

9、，b(100,0.4)。求總保費(fèi)為多少？ ,0.4)，則總索賠解：設(shè)x表示男性索賠，y表示女性索賠，n表示男性個(gè)數(shù)，nb(100為男、女之和，即 s?x1?x2?xn?yn?1?yn?2?y100 e(x)?2，d(x)?4 e(y)?4，d(y)?10 則e(s)?e(e(sn) ?e(ne(x)?(100?n)e(y) ?400?2e(n) =320 d(s)=e(d(sn)?d(e(sn) ?e(nd(x)?(100?n)d(y)?d(ne(x)?(100?n)e(y) ?760?96?856 所以總保費(fèi)為e(s)?2d(s)=378.5 十七、設(shè)?2，p(x)?0.1x,x?1,2,3

10、,4，計(jì)算總索賠s的分布f(s?x),x?0,1,2,3,4的概率。 一：一般解法： f(x)?p(s?x)?p(s?xn?n)p(n?n) n?0? ?經(jīng)計(jì)算為 x 0 1 2 3 4 n ?pn?0?*n(x)p(n?n) p*0(x) 1 0 0.1353 p*1(x) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 1 0.2707 p*2(x) 0 0 0.01 0.04 0.1 2 0.2707 p*3(x) 0 0 0 0.01 0.06 3 0.1804 p*4(x) 0 0 0 0 0.001 4 0.451 f(x) 0.1353 0.02707 0.05683 0.09222 0.1

11、3688 ?nn!e? 方法二：s?x1n1?x2n2?x3n3?x4n4 其中，ni服從參數(shù)為?pi的泊松分布，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4 列成下表進(jìn)行計(jì)算 x 1n1 0 1 2 3 4 0.8187 0.16375 0.016375 0.00109 0.000055 0.2 2n2 0.6703 0 0.2681 0 0.0536 0.4 3n3 0.5488 0 0 0.3293 0 0.6 4n4 0.4493 0 0 0 0.3593 0.8 p（s?x） 0.1353 0.02707 0.05683 0.09222 0.13688 ?i p(ni?x) (0.2)xe

12、?0.2(0.4)xe?0.4(0.6)xe?0.6(0.8)xe?0.8 x!x!x!x!十八：由100000張同類醫(yī)療保單的組合，設(shè)被保險(xiǎn)人的損失是相互獨(dú)立的，保單規(guī)定保險(xiǎn)人只賠付被保險(xiǎn)人所發(fā)生損失的80%，設(shè)在保險(xiǎn)期間內(nèi)可能發(fā)生的損失都服從分布 x 0 50 200 500 1000 10000 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 p(x?x) 0.3 若要求所收取的保費(fèi)總額低于理賠總額的概率不超過5%，試確定安全附加保費(fèi) 100000解：設(shè)損失變量為l?100000?xi?1i，則理賠變量為 s?0.8l?0.8?xi?1i，又設(shè)安全附加費(fèi)為?，則保費(fèi)總額為g?(1?)e(s)則根據(jù)題意 e(s)?1060*100000 d(s)?5439120?100000?e(s)?s?e(s)?e(s)?() 有p?d(s)?d(s)?d(s)?所以安全附加保費(fèi)為1.645*543