余式定理-因式定理

1、余式定理1公式整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)除以(x-a)商為q(x)，余式為r，則f(x)=(x-a)q(x)+r。如果多項(xiàng)式r=0，那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式(x-a)。反過來，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。2概念當(dāng)一個多項(xiàng)式f(x) 除以(x a) 時， 所得的余數(shù)等于 f(a)。例如：當(dāng) f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 時，則余數(shù)=f(1)=12+1+2=4。3推論當(dāng)一個多項(xiàng)式 f(x) 除以 (mx n) 時，所得的余數(shù) 等于 f(n/m)。例如：求當(dāng) 9x2+6x7 除以 (3x + 1) 時所得的余數(shù)。設(shè) f(x) = 9x2 + 6x 7，則余數(shù)f(-1/3

2、)=127=-8。4例題（全國港澳臺華僑聯(lián)合招生考試題型）設(shè)f(x)以(x-1)除之，余式為8，以(x+x+1)除之的余式為(7x+16)，求(x3-1)除之的余式為多少?解：根據(jù)題意，得f(1)=8，f(x)=(x2+x+1)g(x)+7x+16。因?yàn)閤3-1=(x-1)(x2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x2+x+1)g(x)+a(x2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16為余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式為-5x2+2x+11因式定理1定義為余式定理的推論之一：如果多項(xiàng)式f(a)=0，那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式x-

3、a。反過來，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。2例題如圖，此題可以利用完全立方公式解答，但較為繁瑣。仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=y時，原式的值為0。 根據(jù)因式定理可知：原式必有因式x-y同樣的，可以得到原式必有因式y(tǒng)-z和z-x（也可以由原式為對稱多項(xiàng)式直接得到）然后再用待定系數(shù)法（結(jié)合賦值法）求出待定系數(shù)即可3意義熟練掌握因式定理后，可以運(yùn)用試根法（結(jié)合因式定理）找到因式（大多試1，2，3，），再用待定系數(shù)法（結(jié)合賦值法）求出待定系數(shù)，或綜合除法直接求出剩下的因式，這樣就可以較便利的分解因式了。同時，將因式定理與待定系數(shù)法配合使用往往可以更簡便的進(jìn)行因式分解，也可以用來判斷能否進(jìn)行

4、因式分解。4多項(xiàng)式的因式分解因式定理普遍應(yīng)用于找到一個多項(xiàng)式的因式或多項(xiàng)式方程的根的兩類問題。從定理的推論結(jié)果，這些問題基本上是等價的。若多項(xiàng)式已知一個或數(shù)個零點(diǎn)，因式定理也可以移除多項(xiàng)式中已知零點(diǎn)的部份，變成一個階數(shù)較低的多項(xiàng)式，其零點(diǎn)即為原多項(xiàng)式中剩下的零點(diǎn)，以簡化多項(xiàng)式求根的過程。方法如下：先設(shè)法找出多項(xiàng)式的一個零點(diǎn)。利用因式定理確認(rèn)是多項(xiàng)式的因式。利用長除法計算多項(xiàng)式。中，所有滿足條件的根都是方程式的根。因?yàn)榈亩囗?xiàng)式階數(shù)較要小。因此要找出多項(xiàng)式的零點(diǎn)可能會比較簡單。另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,則被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式1推論：（一）若多