非線性動(dòng)力學(xué)

1、.,非線性動(dòng)力學(xué),姚寶恒 上海交通大學(xué) 船舶海洋與建工學(xué)院,.,Beyond Perturbation,Introduction to Homotopy Analysis Method,.,Outline,Concept of Homotopy in Topology Basic ideas of Homotopy Analysis method Examples Applications of the theory in solving nonlinear equations Conclusions References,.,“攝動(dòng)方法”的本質(zhì)： 應(yīng)用方程中的?。ù螅┪锢韰?shù)，將一個(gè)非線性問(wèn)

2、題轉(zhuǎn)化為無(wú)窮多個(gè)線性子問(wèn)題。 優(yōu)點(diǎn)：物理意義明確；簡(jiǎn)單、易懂； 缺點(diǎn):(1)依賴小參數(shù),當(dāng)所研究問(wèn)題不含小參 數(shù)時(shí)使得攝動(dòng)展開(kāi)法面臨困難 (2)攝動(dòng)展開(kāi)解只在參數(shù)比較小的情況下能夠給出較好的近似,隨著“小參數(shù)”的增大,近似解精度下降,以致失效。 (3)無(wú)法確保解的收斂,.,怎樣的近似解析方法才是最理想的？ 不依賴小參數(shù) 確保解的收斂性，適用于強(qiáng)非線性問(wèn)題,.,拓?fù)鋵W(xué)中的幾個(gè)基本概念,拓?fù)浜屯負(fù)淇臻g 如果對(duì)一個(gè)非空集合X給予適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，使之能引入微積分中的極限和連續(xù)的概念，這樣的結(jié)構(gòu)就稱為拓?fù)洹?具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間稱為拓?fù)淇臻g。 引入拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法有多種，如鄰域系、開(kāi)集系、閉集系、閉包系、內(nèi)部系

3、等不同方法。,.,同倫的基本概念,兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果可以通過(guò)一系列連續(xù)的形變從一個(gè)變到另一個(gè)，那么就稱這兩個(gè)拓?fù)淇臻g同倫。,.,同倫的定義 設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，f和g是X到Y(jié)的連續(xù)映 射，即 f：XY， g： XY ， 如果存在連續(xù)映射H：XY（這里=0,1），使得對(duì)任何xX，滿足： 則稱f和g 是同倫的,稱H是由f到 g的一個(gè)同倫或倫移,即,H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，,同倫是關(guān)于映射的等價(jià)關(guān)系,f（x） = H（x,0）,g（x） =H（x,1）,H（x,q）,示意圖,.,二、“同倫分析方法”簡(jiǎn)述,拓?fù)淅碚搨鹘y(tǒng)的同倫概念： 其中，q為嵌入變量. 易知，q=0時(shí)，H(x;

4、0)=f(x); q=1時(shí)，H(x;1)=g(x). 因此，當(dāng)嵌入變量q從0增加到1時(shí)，函數(shù)H(x,q)從f(x)連續(xù)變化到g(x). 這樣，H(x,t) 建立起從f(x) 到和g(x)之間的聯(lián)系.在拓?fù)?topology)理論中，這種連續(xù)的變化稱為同倫(homotopy)，表示為,.,Liao提出“廣義同倫”之概念：,.,.,Basic ideas of HAM,E1.非線性代數(shù)方程 f(x)=0.(構(gòu)造同倫) 設(shè) 為已知的初始猜測(cè)解,嵌入變量 為一未知的嵌入變量 的函數(shù),我們構(gòu)造如下的一個(gè)單參數(shù)的非線性代數(shù)方程: (1) 當(dāng) 時(shí),上述方程為線性方程 即,.,當(dāng) 時(shí),方程(1)變?yōu)?則 ,

5、就是原非線性方程f(x)=0的解.,因此,當(dāng)嵌入變量 從0變化到1時(shí), 從初始猜測(cè)解 變化到非線性代數(shù)方程解 ,因此方程(1)構(gòu)造了一個(gè) 的同倫.,設(shè) 存在無(wú)窮階導(dǎo)數(shù),.,根據(jù)Taylor定理,有,則,如何求 ?,(2),將(1)式對(duì)p求一階導(dǎo)數(shù),(3),.,令 得,則,將(3)式對(duì)p再求一次導(dǎo)數(shù),(4),(5),令 得,(6),.,類似地，可以求得k階變形導(dǎo)數(shù) ，則,一階近似公式為,（ 時(shí)為牛頓迭代公式）,.,E2.非線性微分方程,where is a nonlinear operator, denotes independent variable, is an unknown functi

6、on, respectively.,(1) Construct zero-order deformation equation,Where 0, 1 is the embedding parameter, is a nonzero auxiliary parameter, is an auxiliary function, is an auxiliary linear operator, is an initial guess of , is a unknown function, respectively.,(7),.,Obviously, when p = 0 and p =1, it h

7、olds,Thus as increases from 0 to 1, the solution varies from the initial guess to the solution .,Expanding in Taylor series with respect to , one has,where,(8),.,If the auxiliary linear operator , the initial guess , the auxiliary parameter , and the auxiliary function are so properly chosen,the ser

8、ies (8) converges at , one has,which must be one of solutions of original nonlinear equation.,As and ,Eq(7) becomes,(9),which is used mostly in the homotopy analysis method.,(2) Construct mth-order deformation equation,.,Differentiating Eq. (7) m times with respect to the embedding parameter p and t

9、hen setting p = 0 and finally dividing them by m!, we have the so-called m th-order deformation equation,Define the vector,線性方程,(10),？,？,.,It should be emphasized that for m 1 is governed by the linear equation (10) with the linear boundary conditions that come from original problem, which can be ea

10、sily solved by symbolic computation software such as Maple and Mathematica.,.,E3.非線性微分方程求解,According to the governing equation and the initial condition (11), the solution can be expressed by a set of base functions,(11),in the form,where is a coefficient to be determined，This provides us with the s

11、o-called rule of solution expression, i.e., the solution of (11) must be expressed in the same form as (12) and the other expressions such as must be avoided.,(12),.,According to (11) and (12), we choose the linear operator,with the property,Where is constant.,From (11), we define a nonlinear operat

12、or,.,According to (11) and the rule of solution expression (12), it is straightforward that the initial approximation should be in the form,(1) Construct zero-order deformation equation,Thus as increases from 0 to 1, the solution varies from the initial guess to the solution .,(2) Construct mth-orde

13、r deformation equation,.,.,最后得到,rule of coefficient ergodicity，H（）=1,.,得到一族解，通過(guò) 調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)收斂,.,二、“同倫分析方法”簡(jiǎn)述,“同倫分析方法”特點(diǎn) 毋須任何小參數(shù)，可將一個(gè)非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)窮多個(gè)線性問(wèn)題！ 可自由選取輔助線性算子、初始近似: 線性子問(wèn)題中的線性算子毋須與原始非線性方程中的線性算子相同或密切相關(guān)！,.,二、“同倫分析方法”簡(jiǎn)述,初步形成一個(gè)較為完整的理論體系 （1）提出三個(gè)原則: 解表達(dá)原則（Rule of solution expression） 解存在原則（Rule of solution exi

14、stence） 完備性原則（Rule of coefficient ergodicity） 指導(dǎo)輔助線性算子、初始近似、輔助函數(shù)之選取 （2）證明了“收斂性定理”,.,同倫分析方法之優(yōu)點(diǎn),不同于攝動(dòng)方法，“同倫分析方法”不依賴于小參數(shù)的存在，因而適用范圍更廣； 不同于所有其它分析方法，“同倫分析方法”本身提供了一種簡(jiǎn)單的方法調(diào)節(jié)或控制解析解級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域； “同倫分析方法”提供選擇不同基函數(shù)之自由，從而能更有效地表達(dá)非線性問(wèn)題的解。,.,二、“同倫分析方法”簡(jiǎn)述,廣泛應(yīng)用（1992年-2002年） 非線性波浪問(wèn)題 邊界層流動(dòng)和熱傳導(dǎo)問(wèn)題 非線性振動(dòng)問(wèn)題 極限環(huán)問(wèn)題 圓球黏性阻力（Navier-

15、Stokes方程） 物理、生物及宇宙學(xué)方面的非線性問(wèn)題 證明“同倫分析方法”之有效性和潛力,( 1 )不依賴小參數(shù) 二階近似在整個(gè)區(qū)間 內(nèi)的最大誤差僅為 0.48%,求解范例,.,同倫分析方法之優(yōu)點(diǎn),圓球繞流問(wèn)題 應(yīng)用 “同倫分析方法”, 得到150年來(lái)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得最好的圓球阻力理論公式（2002年）。 應(yīng)用“同倫分析方法”求解一些經(jīng)典非線性難題,.,同倫分析方法之優(yōu)點(diǎn),( 2 ) 確保解的收斂性 解的收斂區(qū)域可以 調(diào)節(jié)和控制,.,( 3 ) 有選擇基函數(shù)之自由 對(duì)任何參數(shù) 我們都得到如下形式的周期解,.,同倫分析方法之優(yōu)點(diǎn),Liao, S. and Tan, Y., “A general

16、 approach to obtain series solutions of nonlinear differential equations ”, Studies in Applied Mathematics, 119:1-58,2007.,.,非牛頓流體邊界層流動(dòng),.,非牛頓流體邊界層流動(dòng),.,三維非定常旋轉(zhuǎn)黏性流動(dòng),.,三維非定常旋轉(zhuǎn)黏性流動(dòng),Tan.Y and Liao, S. , ASME J. Applied Mech. 74:1011-1018,2007,.,（B）發(fā)現(xiàn)新解,( 1 ) 可滲透拉伸變形平板邊界層流動(dòng)：,.,（B） 發(fā)現(xiàn)新解,應(yīng)用 “同倫分析方法”, 找到被數(shù)值方

17、法遺漏的一個(gè)新解!,.,（B）發(fā)現(xiàn)新解,( 2) Cheng-Minkowycz 流動(dòng):,.,呈代數(shù)衰減的無(wú)窮多個(gè)解,應(yīng)用 “同倫分析方法”, Liao and Magyari (2006)找到被數(shù)值方法遺漏的、呈代數(shù)衰減的無(wú)窮多個(gè)新解！,.,（C） 突破傳統(tǒng)思想,.,（C） 突破傳統(tǒng)思想,求解非線性問(wèn)題時(shí)，我們所擁有的自由，遠(yuǎn)比我們過(guò)去想象的要大得多！ 正面意義：提出更好的、求解非線性 問(wèn)題的解析方法和數(shù)值方法 許多全新的、有趣的問(wèn)題有待研究和探索 ( 請(qǐng)見(jiàn)力學(xué)進(jìn)展有關(guān)綜述論文 ),.,（D）海洋工程中的應(yīng)用,“同倫分析方法”被成功應(yīng)用于研究海洋工程中的一些基礎(chǔ)理論問(wèn)題，如： 非線性波浪；

18、梁的大擾度彎曲； 非線性波與非均勻流相互作用；,.,（D）海洋工程中的應(yīng)用,（A）非線性 深水行進(jìn)波,.,（D）海洋工程中的應(yīng)用,（B）具有間斷性 的孤立波,.,（D）海洋工程中的應(yīng)用,（C）梁的大擾度彎曲,.,（D）海洋工程中的應(yīng)用,（D）非線性波浪與非均勻流相互作用,.,（D）海洋工程中的應(yīng)用,非線性波浪與非均勻流相互作用,.,眾多成功的應(yīng)用實(shí)例,證實(shí)了“同倫分析方法”求解強(qiáng)非線性問(wèn)題的有效性; “同倫分析方法”能找到新的、甚至被數(shù)值方法忽略的解，說(shuō)明了“同倫分析方法” 的巨大潛力；,.,意義,眾所周知，流體力學(xué)和海洋工程中的非線性問(wèn)題特別多?！巴瑐惙治龇椒ā钡奶岢龊屯晟?，為流體力學(xué)和海洋工程中強(qiáng)非線性問(wèn)題的求解提供了一個(gè)全新的、強(qiáng)有力的理論分析工具。,.,.,同倫分