高一必修三角函數(shù)基本概念

1、規(guī)律方法指導(dǎo)1.象限角問題角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負(fù)半軸y軸負(fù)半軸x軸y軸坐標(biāo)軸是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以2.角度制與弧度制(1)可利用比例關(guān)系進(jìn)行角度制與弧度制的互化；(2)弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：3.三角函數(shù)定義及其應(yīng)用(1)三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).、 我們只需計算點到原點的距離, 那么,(2)三角函數(shù)在各象限的符號：(一全二正弦，三切四余弦)能迅速準(zhǔn)確地判斷三角函數(shù)值的符號是今后化簡求值的關(guān)鍵.要注意在三角函數(shù)中，角和三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是多值對應(yīng)關(guān)系，即給定一個角，

2、它的三角函數(shù)值是唯一確定的(除不存在的情況)；反之，給定一個三角函數(shù)值，有無窮多個角和它對應(yīng).經(jīng)典例題透析類型一：象限角1已知角；(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；(2)集合，,那么兩集合的關(guān)系是什么？解析：(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：， 則令 ， 得 解得 ，從而或 代回或.(2)因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合; 而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個象限平分線上的角的集 合，從而：.總結(jié)升華：(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；(2)可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論.2已

3、知“是第三象限角，則是第幾象限角?解法一：因為是第三象限角，所以，當(dāng)k=3m(mZ)時，為第一象限角；當(dāng)k=3m1(mZ)時，為第三象限角，當(dāng)k=3m2(mZ)時，為第四象限角，故為第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再從x軸的正向的上方起依 次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并依次循環(huán)一周，則原來是第象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域.由圖可知，是第一、三、四象限角.思路點撥：已知角的范圍或所在的象限，求所在的象限是?？碱}之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并循環(huán)一周，則原來是第幾象限的符號所表示的區(qū)

4、域即為 (nN*)的終邊所在的區(qū)域.總結(jié)升華：(1)要分清弧度制與角度制象限角和終邊在坐標(biāo)軸上的角；(2)討論角的終邊所在象限，一定要注意分類討論，做到不重不落，尤其對象限界角應(yīng)引起注意.舉一反三：【變式1】集合，則( )A、 B、 C、 D、【答案】C 思路點撥：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 (法二)在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合 (法三)集合M變形， 集合N變形， 是的奇數(shù)倍，是的整數(shù)倍，因此.【變式2】設(shè)為第三象限角，試判斷的符號.解析：為第三象限角，當(dāng)時，此時在第二象限.當(dāng)時，此時在第四象限.綜上可知：類型二：扇形的弧長、面積與圓心角問題1已知一半徑為R

5、的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角是，因為扇形的弧長是，所以扇形的周長是依題意，得總結(jié)升華：弧長和扇形面積的核心公式是圓周長公式和圓面積公式，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替時，即得到一般的弧長公式和扇形面積公式：舉一反三：【變式1】一個扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求出這個扇形的最大面積.思路點撥：運(yùn)用扇形的面積公式和弧長公式建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來解決最值問題.解：設(shè)扇形的半徑為，則弧長為，于是扇形的面積當(dāng)時，(弧度)，取到最大值，此時最大值為.故當(dāng)扇形的圓心角等于2弧度時，這個扇形的

6、面積最大，最大面積是.總結(jié)升華：求扇形最值的一般方法是根據(jù)扇形的面積公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑(或圓心角)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解.類型三：利用三角函數(shù)的定義解題1已知角的終邊過點，求的三個三角函數(shù)值.解析：因為過點，所以，.當(dāng)；，.當(dāng)，；.總結(jié)升華：(1)當(dāng)角的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論；(2)若角已經(jīng)給定，不論點選在的終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的；另一方面，如果角終邊上點坐標(biāo)已經(jīng)確定，那么根據(jù)三角函數(shù)定義，角的三角函數(shù)值也是確定的.舉一反三：【變式1】已知角的終邊上一點，且，求的值.解析：由題設(shè)知，所以，得，從而，解得或.當(dāng)時，

7、 ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， .學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.若是第二象限角，則是第_象限角，2的范圍是_，是第_象限角.2.已知角的終邊經(jīng)過點P(5，-12)，則的值為_.3.在半徑為R的圓中，的中心角所對的弧長為_，面積為的扇形的中心角等于_弧度.4.與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是_，合_弧度.5.已知一半徑為R的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？能力提升：1.設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.給出下列各函數(shù)值：；.其中符號為負(fù)的有( )A. B. C. D.3.等于( )A.

8、B. C. D.4.是第四象限的角，則是( )A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角5.的值( )A.小于 B.大于 C.等于 D.不存在6.設(shè)分別是第二、三、四象限角，則點分別在第_、_、_象限.7.設(shè)和分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：； ；，其中正確的是_.8.若角與角的終邊關(guān)于軸對稱，則與的關(guān)系是_.9.設(shè)扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是_.10.已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊為射線.(1)求的值；(2)若角的終邊在直線上，求的值.綜合探究：1.若角的終邊上有一點，則的值是( )A. B. C. D.2.函數(shù)的

9、值域是( )A. B. C. D. 3.若為第二象限角，那么，中，其值必為正的有( )A.個 B.個 C.個 D.個4.已知，那么( ).A.B.C. D. 5.若角的終邊落在直線上，則的值等于( ).A. B. C.或 D.6.若，且的終邊過點，則是第_象限角，=_.7.設(shè)，則分別是第_象限的角.8.已知求的范圍.答案與解析：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.第一或第三；第四【思路分析】把各象限均分2等份，再從x軸的正向的上方起依 次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并依次循環(huán)一周，則原來是第象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域.2. 【思路分析】利用公式先求出點到原點的距離,再代入,3.；4【思路分析】先將角度制轉(zhuǎn)化為

10、弧度制，再代入弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))4.；-5.弧度；度；能力提升：1.C 【思路分析】考察象限角解：當(dāng)時，在第一象限；當(dāng)時，在第三象限；而，在第三象限；2.C 【思路分析】考察終邊相同角，以及象限角的符號解：；3.B【思路分析】4.C【思路分析】，若是第四象限的角，則是第一象限的角，再逆時針旋轉(zhuǎn)5.A 【思路分析】6.四、三、二 【思路分析】當(dāng)是第二象限角時，；當(dāng)是第三象限角時，；當(dāng)是第四象限角時，；7.【思路分析】 8. 【思路分析】與關(guān)于軸對稱9. 【思路分析】10.(1)；(2)【思路分析】終邊為射線，可設(shè)任一點，再利用定義計算點到原點的距離,代入,綜合探究：1.B 【思路分析】2.C 【思路分析】當(dāng)是第一象限角時，；當(dāng)是第二象限角時，