高等數(shù)學(xué)第15章第1節(jié)傅里葉級數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)第15章第1節(jié)傅里葉級數(shù) 第十五章 傅里葉級數(shù) 1 傅里葉級數(shù) 傅里葉是法國最偉大的科學(xué)家之一他對數(shù)學(xué)、科學(xué)以及我們當代生活的影響是不可估量的。然而，他并不是一位職業(yè)數(shù)學(xué)家或科學(xué)家，他所做的巨大貢獻都是忙里偷閑完成的。傅里葉于年生于法國，幼年父母就去世了。歲時他開始對數(shù)學(xué)十分著迷，常常一個人爬進教室，點著蠟燭研究數(shù)學(xué)問題到深夜。后來，法國革命暴發(fā)，傅立葉于年參加了革命委員會，年先后兩次被捕。法國革命結(jié)束后，傅立葉到巴黎教書，之后隨拿破侖到埃及并成為埃及研究院的長久負責人，在那里他寫了一本關(guān)于埃及的書。直到今天，仍然有人認為他是一位埃及學(xué)家，并不知道他對數(shù)學(xué)和物理學(xué)的重大貢獻。年，傅立葉

2、回到法國，拿破侖任命他為巴黎警察局長長達年之久，他作為行政官員，工作十分出色，在政界享有崇高威望。年，傅立葉被送入法國科學(xué)院，從此步入較為正規(guī)的學(xué)術(shù)研究階段。 多年的政治生涯及顛簸不定的生活，并沒有使傅里葉放棄研究數(shù)學(xué)的強烈興趣。事實上，早在年他就研究了現(xiàn)在稱之為傅里葉分析的核心內(nèi)容。目前，傅里葉的思想和方法被廣泛用于線性規(guī)劃、大地測量以及電話、收音機、射線等難以計數(shù)的科學(xué)儀器中，是基礎(chǔ)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)研究開發(fā)的系統(tǒng)平臺。所以，有的科學(xué)家稱贊傅里葉分析是一首偉大的數(shù)學(xué)史詩。 傅里葉分析的貢獻在于兩點：（）他用數(shù)學(xué)語言提出任何一個周期函數(shù)都能表示為一組正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和，這一無限和，現(xiàn)稱之為傅

3、里葉級數(shù)。也就是說，任何一條周期曲線，無論多么跳躍或不規(guī)則，都能表示成一組光滑曲線之和。這種表達方式實際上是將信號函數(shù)投影在由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成的正交基上，實施對信號的傅里葉變換。（）他解釋了為什么這一數(shù)學(xué)論斷是有用的。年，傅立葉顯示任何周期函數(shù)是由正弦和余弦函數(shù)疊加而成。傅里葉分析從本質(zhì)上改變了數(shù)學(xué)家對函數(shù)的看法，提供了某些微分方程的直接求解方法，為計算機和等數(shù)字技術(shù)的實現(xiàn)鋪平了道路。傅里葉分析同時也是量子力學(xué)的自然語言。 上述兩點是針對周期函數(shù)即周期信號而言的，對于非周期函數(shù)，通過傅里葉變換或周期延展轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)即可。 從本質(zhì)上講，傅立葉變換就是一個棱鏡，它把一個信號函數(shù)分解為眾多的

4、頻率成分，這些頻率又可以重構(gòu)原來的信號函數(shù)，這種變換是可逆的且保持能量不變。傅里葉棱鏡與自然棱鏡的原理是一樣的，只不過自然棱鏡是將自然光分解為恥、成、黃、綠、青、藍、紫多種顏色的光而已。 下面我們就來討論在數(shù)學(xué)與工程技術(shù)中都有著廣泛應(yīng)用的一類函數(shù)項級數(shù)，即由三角函數(shù)列所產(chǎn)生的三角級數(shù)，也就是傅里葉級數(shù) 一 三角級數(shù)?正交函數(shù)系 在科學(xué)實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中，常會碰到一種周期運動最簡單的周期運動，可用正弦函數(shù) y?asin(?x?) （1） 來描寫由（1）所表達的周期運動也稱為簡諧運動，其中a為振幅，?為初相角，?為角頻率，于是簡諧振動y的周期是t= 2? yn?aksin(k?x?x),k

5、?1,2,?,n, 的疊加 y?.較為復(fù)雜的周期運動，則常是幾個簡諧振動 ?yk?1nk ?aksin(k?x?k). （2） k?1n由于簡諧振動yk的周期為 ?t2?(t?),k?1,2,?,n,所以函數(shù)（2）的周期為t，對無窮k?多個簡諧振動進行疊加就是到函數(shù)項級數(shù) a0?ansin(n?x?n). n?1 （3） 若級數(shù)（3）收斂，則它所描述的是更為一般的周期運動現(xiàn)象對于級數(shù)（3），我們只要討 論?1（如果?1，可用?x代換x）的情形由于 sin(nx?n)?sin?ncosnx?cos?nsinnx, 所以 a0?an?1?nsin(nx?n)?a0?(ansin?ncosnx?an

6、cos?nsinnx). （3） n?1? 記 a0?a0,ansin?n?an,ancos?n?bn,n?1,2,?, 2則級數(shù)（3）可寫成 ?a0 ?(ancosnx?bnsinnx). （4） 2n?1它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系） 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,?,cosnx,sinnx,? （5） 所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù) 容易驗證，若三角級數(shù)（4）收斂，則它的和一定是一個以2?為周期的函數(shù) 關(guān)于三角級數(shù)（4）的收斂有如下定理： 定理15.1 若級數(shù) a02?(an?bn) n?1?收斂，則級數(shù)(4)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂 證 對任何實數(shù)x,由于 a

7、ncosnx?bnsinnx?an?bn, 應(yīng)用魏爾斯拉斯m判別法(定理13.5)就能推得本定理的結(jié)論 為進一步研究三角級數(shù)(4)的收斂性,我們先探討三角函數(shù)系(5)具有哪些特性 首先容易看出,三角函數(shù)系(5)中所有函數(shù)具有共同的周期2? 其次,在三角函數(shù)系(5)中,任何兩個不相同的函數(shù)的乘積在?,?上的積分都等于零,即 ?cosnxdx?sinnxdx?0, (6) ?sinmxsinnxdx?0(m?n), ? (7) ?cosmxsinnxdx?0.?而(5)中任何一個函數(shù)的平方在?,?上的積分都不等于零，即 ?cosmxcosnxdx?0(m?n),?nxdx?sin2xdx?,? ?

8、 (8) 2?1dx?2?.? 通常把兩個函數(shù)?與?在a,b上可積,且 ?cos?2? ?(x)?(x)dx?0ab 的函數(shù)?與?稱為在a,b上是正交的.由此,我們說三角函數(shù)系(5)在?,?上具有正交性,或說(5)是正交函數(shù)系 二 以2?為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性,我們討論三角級數(shù)(4)的和函數(shù)f與級數(shù)(4)的系數(shù) a0,an,bn之間的關(guān)系 定理15.2 若在整個數(shù)軸上 ?a0 f(x)?(ancosnx?bnsinnx) (9) 2n?1且等式右邊級數(shù)一致收斂,則有如下關(guān)系式： an? bn?1?f(x)cosnxdx,n?0,1,2,?, (10a) f(x)

9、sinnxdx,n?1,2,?. (10b) ?1? 證 由定理條件,函數(shù)f 在?,?上連續(xù)且可積.對(9)式逐項積分得 ?f(x)dx ?a?02 即得 ?dx?(an?cosnxdx?bn?sinnxdx). n?1?有關(guān)系式(6)知,上式右邊的括號內(nèi)的積分都等于零所以 ?f(x)dx?a0?2?a0?, 2 a0?1?f(x)dx, 現(xiàn)以coskx乘（9）式兩邊（k為正整數(shù)）,得 ?a0 f(x)coskx?coskx?(ancosnxcoskx?bnsinnxcoskx). (11) 2n?1從第十三章1習(xí)題4知道,由級數(shù)(9)一致收斂,可推出級數(shù)(11)也一致收斂.于是對級數(shù)(11)

10、 逐項求積,有 ?af(x)coskxdx?02?coskxdx?(a?cosnxcoskxdx?b?sinnxcoskxdx). ?nn?1?n?由三角函數(shù)的正交性,右邊除了以ak為系數(shù)的那一項積分 ?cos2kxdx? 外,其他各項積分都等于0,于是得出: 即 ak?f(x)coskxdx?a?(k?1,2,?), ?k1?1?f(x)coskxdx(k?1,2,?). 同理,(9)式兩邊乘以sinkx,并逐項求積,可得 bk?f(x)sinkxdx(k?1,2,?). ? 一般地說,若f是以2?為周期且在?,?上可積的函數(shù),則可按公式(10)計算出an和 bn,它們稱為函數(shù)f(關(guān)于三角函

11、數(shù)系)的傅里葉系數(shù),以f的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)(9)稱為f(關(guān)于三角函數(shù)系)的傅里葉級數(shù),記作 ?a0 f(x)?(ancosnx?bnsinnx). (12) 2n?1 這里記號”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)由定理15.2知道:若(9)式右邊的三角級數(shù)在整個數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)f，則此三角函數(shù)就是f的傅里葉級數(shù)，即此時(12)式中的記號”可換為等號.然而，若從以2?為周期且在?,?上可積的函數(shù)f出發(fā)，按公式(10)求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級數(shù)(12)，這時還需討論此級數(shù)是否收斂.如果收斂，是否收斂于f本身.這就是下一段所要敘述的內(nèi)容 三 收斂定理 下面的定理稱為傅里葉級數(shù)

12、收斂定理 定理15.3 若以2?為周期的函數(shù)f在?,?上按段光滑，則在每一點x?,?,f的傅里葉級數(shù)(12)收斂于f在點x的左、右極限的算術(shù)平均值，即 f(x?0)?f(x?0)a0? ?(ancosnx?bnsinnx), 22n?1其中an,bn 為f的傅里葉級數(shù) 下面先對定理中的某些概念作解釋，然后舉例說明如何運用這個定理把函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).關(guān)于收斂定理的證明將在3中進行 我們知道,若f的導(dǎo)函數(shù)在a,b上連續(xù)，則稱f在a,b上光滑但若定義在a,b上除了至多有有限個第一間斷點的函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)在a,b上除了至多有限個點外都存在且連續(xù)，在這有限個點上導(dǎo)函數(shù)f的左右極限存在,則稱f在a,b上

13、按段光滑 根據(jù)上述定義，若函數(shù)f在a,b上按段光滑,則有如下重要性質(zhì)： 1?f在a,b上可積 2在a,b上每一點都存在f(x?0)，且有： ?f(x?t)?f(x?0)?f(x?0),t?0t (13) f(x?t)?f(x?0)lim?f(x?0).t?0?t?3在補充定義f在a,b上那些至多有限個不存在點上的值后(仍記為f),f在a,blim?上可積 從幾何圖形上講,在區(qū)間a,b上按段光滑函數(shù),是由有限個光滑弧段所組成,它至多有有限個第一類間斷點與 角點(圖15-1) 收斂定理指出, f的傅里葉級數(shù)在 點x處收斂于這一點上f的左、右極限 f(x?0)?f(x?0)；而 2f(x?0)?f(

14、x?0)?f(x),當f在點x連續(xù)時,則有 2即此時f的傅里葉級數(shù)收斂于f(x) 于是有如下推論 推論 若f是以2?為周期的連續(xù)函數(shù),且在?,?上按段光滑,則f的傅里葉級數(shù)在(?,?)上收斂于f 的算術(shù)平均值 根據(jù)收斂定理的假設(shè), f是以2?為周期的函數(shù),所以系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間 ?,?可以改為長度為2?的任何區(qū)間,而不影響an,bn的值： 1c?2?an?f(x)cosnxdx,n?0,1,2,?, ?1cbn?c?2? (10) cf(x)sinnxdx,n?1,2,?,其中c為任何實數(shù) 注意：在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時,常只給出函數(shù)f在(?,?(或?,?)上的解析表達式,但讀者應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以2?為周期的函數(shù).即在(?,?以外的部分按函數(shù)在(?,?上的對應(yīng)關(guān)系作周期延拓.如f為(?,?上的解析表達式，那么周期延拓后的函數(shù)為 ?f(x