球面距離（教師版）

1、第15章 簡(jiǎn)單幾何體(教師版)三 幾何體的表面積、體積和球面距離15.6球面距離一要點(diǎn)呈現(xiàn)1、在平面上，通過(guò) 兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng) 來(lái)定義的兩點(diǎn)間的距離的，因?yàn)槠矫嫔?兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng) 最短,我們?cè)谡劦骄嚯x時(shí)，一定要滿足最 小 性的原則.2、在球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的 大 圓在這兩點(diǎn)間的一段 劣 弧長(zhǎng)度，這個(gè)弧長(zhǎng)叫兩點(diǎn)間的 球面距離 3、經(jīng)線和緯線的規(guī)定：過(guò)南北極的半個(gè)大圓是 經(jīng) 線，赤道和平行于赤道的小圓是 緯 線.4、地的緯度是指：經(jīng)過(guò)點(diǎn)的 球半徑和赤道平面 所成的角度.5、地的經(jīng)度的規(guī)定：經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面和0度經(jīng)線與地軸確定的半平面所成的 二面角 的度數(shù)

2、.6、求球面上兩點(diǎn)間的球面距離，關(guān)鍵在于求這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 球心 角的大小，最后用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解,但是求出的 球心 角必須要求用弧度制表示.二范例導(dǎo)析【例1】地球儀的北緯60度圈上有兩點(diǎn)，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)等于（為地球儀半徑）.（1）求兩點(diǎn)間的距離；（2）求兩點(diǎn)的球面的距離.分析：注意兩點(diǎn)間的距離與兩點(diǎn)的球面的距離的差別.解答：（1） （2）【例2】球面上有三點(diǎn)A、B、C，A和B及A和C之間的球面距離是大圓周長(zhǎng)的，B和C之間的球面距離是大圓周長(zhǎng)的，且球心到截面ABC的距離是，求球的體積.分析：設(shè)球心為點(diǎn)，由球面距離得到、及的大小，從而知的形狀，找到球心在截面ABC的射影，解三角形求出球的半徑

3、即可得球的體積.解答：【例3】如圖，四棱錐ABCDE中，且ACBC，AEBE若，；（1）求證：A、B、C、D、E五點(diǎn)都在以AB為直徑的同一球面上；（2）求B、D兩點(diǎn)間的球面距離分析： 證明AB的中點(diǎn)到A、B、C、D、E五點(diǎn)距離都相等；求B、D兩點(diǎn)對(duì)球心所張得角解答：（1）略 （2）三隨堂訓(xùn)練一填空題1. 地球上的A點(diǎn)在東經(jīng)400，北緯150，B點(diǎn)在東經(jīng)400，北緯600，若地球半徑為R，則A、B兩點(diǎn)的球面距離為.2. 把地球看作半徑為R的球，A、B是北緯30圈上的兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為60，A、B兩點(diǎn)間的球面距離為3. 已知點(diǎn)A，B，C，D在同一球面上，AB平面BCD，BCCD.若AB=6，AC

4、=2，AD=8，則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是.4. 在體積為的球的表面上有A、B、C三點(diǎn)，AB=1,BC=，A、C兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為5.在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，=90，球心O到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是6. 如圖，是半徑為1的球的球心，點(diǎn)在球面上，、兩兩垂直，E、F分別是大圓弧與 的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離是.二選擇題7. 下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ C ）經(jīng)過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)球的大圓 球面積是它大圓面積的四倍 球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)A.0 B.1 C.2 D.38. 球面上有3個(gè)點(diǎn)，

5、其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4，那么這個(gè)球的半徑為（ B ）A.4B.2C.2 D. 9. 球的半徑為，是球面上兩點(diǎn)，且球面距離為，則球心到過(guò)的所有平面的距離中，最大距離為（ B ）A. B. C. D.不存在 三解答題10. 把地球當(dāng)作半徑為的球，地球上兩點(diǎn)都在北緯的緯線上, 兩點(diǎn)的球面距離是，在東經(jīng)，求點(diǎn)的位置。答案：東經(jīng)或西經(jīng)11. 已知地球半徑約為6371千米。上海的位置約為東經(jīng)121、北緯31，大連的位置約為東經(jīng)121、北緯39，里斯本的位置約為西經(jīng)10、北緯39。（1）若飛機(jī)以平均速度720千米/小時(shí)，飛行，則從上海到大連的最短飛行時(shí)間約為多少

6、小時(shí)（飛機(jī)飛行高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1小時(shí)）？（2）求大連與里斯本之間的球面距離（結(jié)果精確到1千米）答案：（1）上海到大連的最短飛行時(shí)間約為小時(shí)； （2）大連與里斯本之間的球面距離約為10009千米12. 如圖，、是表面積為的球面上三點(diǎn),，為球心，求：（1）兩點(diǎn)的球面距離；（2）直線與截面所成的角 答案：（1） （2）四提高拓展13飛機(jī)從A處(北緯，東經(jīng))，向西飛到C處(北緯，東經(jīng))然折后向南飛至B處(南緯，東經(jīng))，求飛機(jī)的航程 答案：14. 四面體中，,求該四面體的外接球的表面積及兩點(diǎn)的球面距離答案：四面體的外接球的表面積： 兩點(diǎn)的球面距離：四反饋跟進(jìn)五學(xué)能導(dǎo)航【要點(diǎn)剖析】球面距離問(wèn)題

7、是立體幾何教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，課本內(nèi)容很少，而可以聯(lián)系的內(nèi)容卻很多。學(xué)習(xí)本主題要求達(dá)到理解球面距離的合理性，掌握球面距離的求法,改進(jìn)有關(guān)“距離”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)本堂課主要探究了如何求球面上兩點(diǎn)間的球面距離，關(guān)鍵在于求這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的球心角的大小，最后用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解。但是求出的球心角必須要求用弧度制表示本主題的重點(diǎn)是：球面距離發(fā)現(xiàn)過(guò)程及激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、相互協(xié)作、探索研究的精神，并能夠解決實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化（建模）以及球面距離求法的運(yùn)用【方法點(diǎn)評(píng)】 滲透類比、猜想及“數(shù)學(xué)化”的思想，提高動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、合情推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力，體驗(yàn)基本的“科研”方法通過(guò)“做數(shù)學(xué)”，親歷“球面距離”的形成過(guò)程，并體驗(yàn)研究與成功的快樂(lè)。結(jié)合現(xiàn)實(shí)模型，將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用