立體幾何中的軌跡問題(總結(jié)+講義+練習(xí))

1、.立體幾何中的軌跡問題在立體幾何中，某些點、線、面依一定的規(guī)則運動，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化對于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動點的位置，然后對任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題對每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性立體幾何中的最值問題一般是指有關(guān)距離的最值、角的最值或面積的最值的問題其一般方法有：1、 幾何法：通過證明或幾何作圖，確定圖形中取得最值的特殊位置，再計算它的值；ABCDEFGPOMNS2、 代數(shù)方法：分析給定圖形中的數(shù)量關(guān)系，選取適當?shù)淖宰兞考澳繕撕瘮?shù)，確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、有

2、界性，以及不等式的均值定理等，求出最值軌跡問題【例1】 如圖，在正四棱錐SABCD中，E是BC的中點，P點在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總是保持PEAC則動點P的軌跡與SCD組成的相關(guān)圖形最有可能的是 ( )PPPPSCDSCDSCDSCDABCD解析：如圖，分別取CD、SC的中點F、G，連結(jié)EF、EG、FG、BD設(shè)AC與BD的交點為O，連結(jié)SO，則動點P的軌跡是SCD的中位線FG由正四棱錐可得SBAC，EFAC又EGSBEGACAC平面EFG，PFG，E平面EFG，ACPE另解：本題可用排除法快速求解B中P在D點這個特殊位置，顯然不滿足PEAC；C中P點所在的軌跡與CD平行，它與CF成角

3、，顯然不滿足PEAC；D于中P點所在的軌跡與CD平行，它與CF所成的角為銳角，顯然也不滿足PEAC 評析：動點軌跡問題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點體現(xiàn)了在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設(shè)計圖形不但考查了立體幾何點線面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是表現(xiàn)最為活躍的一種創(chuàng)新題型這類立體幾何中的相關(guān)軌跡問題，如“線線垂直”問題，很在程度上是找與定直線垂直的平面，而平面間的交線往往就是動點軌跡【例2】 (1)如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC1、C1D1、DD1、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足 時

4、，有MN平面B1BDD1(2) 正方體ABCD A1B1C1D1中，P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，且總保持APBD1，則動點P的軌跡是 線段B1C (3) 正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1，BC 上的動點，且A1E=BF，P為EF的中點，則點P的軌跡是 線段MN(M、N分別為前右兩面的中心)(4) 已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點A距離為的點的集合形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是 ，它的長度是 ABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(

5、1)(2)(3)(4)若將“在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點A距離為的點的集合”改為“在正方體表面上與點A距離為的點的集合” 那么這條曲線的形狀又是 ，它的長度又是 ABCDD1C1B1A1P【例3】 (1)(04北京)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是 ( D )A A直線 B圓 C雙曲線 D拋物線lABC變式：若將“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”改為“P到直線BC與直線C1D1的距離之比為1：2(或2：1)”， 則動點P的軌跡所在的曲線是 橢圓 (雙曲線)(2)(06北京)平面的斜線

6、AB交于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交于點C，則動點C的軌跡是 (A )A一條直線B一個圓 C一個橢圓 D雙曲線的一支ABCDD1C1B1A1MP解：設(shè)l與l是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個平面，且斜線AB垂直這個平面，由過平面外一點有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點A與AB垂直所有直線都在這個平面內(nèi)，故動點C都在這個平面與平面的交線上，故選A(3)已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，M在棱AB上，且AM=，點P到直線A1D1的距離與點P到點M的距離的平方差為1，則點P的軌跡為 拋物線 ABCDD1C1B1A1MN3323(4)已知正方體ABCD A1B

7、1C1D1的棱長為3，長為2的線段MN點一個端點M在DD1上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則MN的中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為 【例4】 (04重慶)若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與ABC組成圖形可能是：( D )ABCPABCPABCPABCPABCD【例5】 四棱錐P-ABCD，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是()A圓B不完整的圓C拋物線D拋物線的一部分PABCD分析：AD面PAB，BC平面PABADB

8、C且ADPA，CBPBAPD=CPBtanAPD=tanCPB=PB=2PA在平面APB內(nèi)，以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(-3，0)、B(3，0)，設(shè)P(x，y)(y0)，則(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2(y0)即(x+5)2+y2=16(y0)P的軌跡是(B)立體幾何中的軌跡問題（教師版）1在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為（D） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分 簡析本題主要考查點到直線距離的概念，線面垂直及拋物線的定義因為B1C1面AB1

9、，所以PB1就是P到直線B1C1的距離，故由拋物線的定義知：動點的軌跡為拋物線的一段，從而選D2在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為2：1，則動點P所在曲線的形狀為（B） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分3在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為1：2，則動點P所在曲線的形狀為（C） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點，點P在其對角面BB1D1D內(nèi)運動，若EP總與直線AC

10、成等角，則點P的軌跡有可能是（A） A圓或圓的一部分 B拋物線或其一部分 C雙曲線或其一部分 D橢圓或其一部分 簡析由條件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP與直線AC成等角，得到EP與平面BB1D1D所成的角都相等，故點P的軌跡有可能是圓或圓的一部分5已知正方體的棱長為a，定點M在棱AB上（但不在端點A，B上），點P是平面ABCD內(nèi)的動點，且點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為a2，則點P的軌跡所在曲線為（A） A拋物線B雙曲線 C直線D圓 簡析在正方體中，過P作PFAD，過F作FEA1D1，垂足分別為F、E，連結(jié)PE則PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM

11、2=PF2，從而PMPF，故點P到直線AD與到點M的距離相等，故點P的軌跡是以M為焦點，AD為準線的拋物線6在正方體中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，總有APBD1，則動點P的軌跡為_ 簡析在解題中，我們要找到運動變化中的不變因素，通常將動點聚焦到某一個平面易證BD1面ACB1，所以滿足BD1AP的所有點P都在一個平面ACB1上而已知條件中的點P是在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，因此，符合條件的點P在平面ACB1與平面BCC1B1交線上，故所求的軌跡為線段B1C本題的解題基本思路是：利用升維，化“動”為“靜”，即先找出所有點的軌跡，然后縮小到符合條件的點的軌跡7在正四棱錐S-ABCD

12、中，E是BC的中點，點P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運動，總有PEAC，則動點P的軌跡為_ 答案線段MN（M、N分別為SC、CD的中點）8若A、B為平面的兩個定點，點P在外，PB，動點C（不同于A、B）在內(nèi)，且PCAC，則動點C在平面內(nèi)的軌跡是_（除去兩點的圓）9若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與ABC組成的圖形可能是：（D） 簡析動點P在側(cè)面ABC內(nèi)，若點P到AB的距離等于到棱BC的距離，則點P在的內(nèi)角平分線上現(xiàn)在P到平面BCD的距離等于到棱AB的距離，而P到棱BC的距離大于P到底面BCD的距離，于是，P到棱AB的距離小于P到棱BC的距

13、離，故動點P只能在的內(nèi)角平分線與AB之間的區(qū)域內(nèi)只能選D10已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點，P到面ABC的距離與到點S的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（B） A圓B橢圓 C雙曲線D拋物線 解題的要領(lǐng)就是化空間問題為平面問題，把一些重要元素集中在某一個平面內(nèi)，利用相關(guān)的知識去解答，象平面幾何知識、解析幾何知識等11已知正方體的棱長為1，在正方體的側(cè)面上到點A距離為的點的軌跡形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是_，它的長度為_ 簡析以B為圓心，半徑為且圓心角為的圓弧，長度為12已知長方體中，在線段BD、上各有一點P、Q，PQ上有一點M，且，則M點軌跡圖形的面積是 提示軌跡的圖形是一

14、個平行四邊形13已知棱長為3的正方體中，長為2的線段MN的一個端點在上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，求MN中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積 簡析由于M、N都是運動的，所以求的軌跡必須化“動”為“靜”，結(jié)合動點P的幾何性質(zhì)，連結(jié)DP，因為MN=2，所以PD=1，因此點P的軌跡是一個以D為球心，1為半徑的球面在正方體內(nèi)的部分，所以點P的軌跡與正方體的表面所圍成的幾何體的體積為球的體積的，即14已知平面平面，直線，點，平面、間的距離為4，則在內(nèi)到點P的距離為5且到直線的距離為的點的軌跡是（ ）A一個圓B兩條平行直線C四個點D兩個點簡析：如圖，設(shè)點P在平面內(nèi)的射影是O，則OP是、

15、的公垂線，OP=4在內(nèi)到點P的距離等于5的點到O的距離等于3，可知所求點的軌跡是內(nèi)在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上又在內(nèi)到直線的距離等于的點的集合是兩條平行直線m、n，它們到點O的距離都等于，所以直線m、n與這個圓均相交，共有四個交點因此所求點的軌跡是四個點，故選C16在四棱錐中，面PAB，面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（ ）A圓B不完整的圓C拋物線D拋物線的一部分簡析：因為面PAB，面PAB，所以AD/BC，且又，可得，即得在平面PAB內(nèi)，以AB所在直線為x軸，AB中點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A（-3，0）、B（3，0

16、）設(shè)點P（x，y），則有，整理得由于點P不在直線AB上，故此軌跡為一個不完整的圓，選B17如圖，定點A和B都在平面內(nèi)，定點PC是內(nèi)異于A和B的動點且，那么動點C在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A一條線段，但要去掉兩個點B一個圓，但要去掉兩個點C一個橢圓，但要去掉兩個點D半圓，但要去掉兩個點簡析：因為，且PC在內(nèi)的射影為BC，所以，即所以點C的軌跡是以AB為直徑的圓且去掉A、B兩點，故選B18如圖，在正方體中，P是側(cè)面內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）A直線B圓C雙曲線D拋物線簡析：因為P到的距離即為P到的距離，所以在面內(nèi)，P到定點的距離與P到定直線BC的距離相等由

17、圓錐曲線的定義知動點P的軌跡為拋物線，故選D19已知正方體的棱長為1，點P是平面AC內(nèi)的動點，若點P到直線的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）A拋物線B雙曲線C橢圓D直線簡析：如圖4，以A為原點，AB為x軸、AD為y軸，建立平面直角坐標系設(shè)P（x，y），作于E、于F，連結(jié)EF，易知又作于N，則依題意，即，化簡得故動點P的軌跡為雙曲線，選B20如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內(nèi)運動，使得ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）（A）圓 （B）橢圓 （C）一條直線 （D）兩條平行直線分析：由于線段AB是定長線段，而ABP的面積為定值，所以動點P到線段A

18、B的距離也是定值由此可知空間點P在以AB為軸的圓柱側(cè)面上又P在平面內(nèi)運動，所以這個問題相當于一個平面去斜切一個圓柱(AB是平面的斜線段)，得到的切痕是橢圓P的軌跡就是圓柱側(cè)面與平面的交線 21如圖，動點在正方體的對角線上過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO分析：將線段MN投影到平面ABCD內(nèi)，易得y為x一次函數(shù)22已知異面直線a，b成角，公垂線段MN的長等于2，線段AB兩個端點A、B分別在a，b上移動，且線段AB長等于4，求線段AB中點的軌跡方程圖5簡析：如圖5，易知線段AB的中點P在公垂線段MN的

19、中垂面上，直線、為平面內(nèi)過MN的中點O分別平行于a、b的直線，于，于，則，且P也為的中點由已知MN=2，AB=4，易知得則問題轉(zhuǎn)化為求長等于的線段的兩個端點、分別在、上移動時其中點P的軌跡現(xiàn)以的角平分線為x軸，O為原點建立如圖6所示的平面直角坐標系圖6設(shè)，則消去m、n，得線段AB的中點P的軌跡為橢圓，其方程為點評：例5和例6分別將立體幾何與解析幾何中的雙曲線與橢圓巧妙地整合在一起，相互交匯和滲透，有利于培養(yǎng)運用多學(xué)科知識解決問題的能力立體幾何中的軌跡問題1在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為 （ ） A線段 B一

20、段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分2在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為2：1，則動點P所在曲線的形狀為（ ） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分3在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為1：2，則動點P所在曲線的形狀為（ ） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點，點P在其對角面BB1D1D內(nèi)運動，若EP總與直線AC成等角，則點P的軌跡有可能是（ ） A圓或圓的一部

21、分 B拋物線或其一部分 C雙曲線或其一部分 D橢圓或其一部分5已知正方體的棱長為a，定點M在棱AB上（但不在端點A，B上），點P是平面ABCD內(nèi)的動點，且點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為a2，則點P的軌跡所在曲線為（ ） A拋物線B雙曲線 C直線D圓6若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與ABC組成的圖形可能是 （ ）A B C D7已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點，P到面ABC的距離與到點S的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ） A圓B橢圓 C雙曲線D拋物線8已知平面平面，直線，點，平面、間的距離為4，則在內(nèi)到點P的距離為5且到直線的距離為的點的軌跡是（ ）A一個圓B兩條平行直線C四個點D兩個點9在四棱錐中，面PAB，面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（ ）A圓B不完整的圓C拋物線D拋物線的一部分10如圖，定點A和B都在平面內(nèi)，定點