2.1.1橢圓及其標準方程

1、2.1.1橢圓及其標準方程,如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？,生活中的橢圓,仙女座星系,星系中的橢圓,“傳說中的”飛碟, 動畫演示：太陽系行星的運動,思考,數(shù)學實驗,(1)取一條細繩， (2)把它的兩端固定在板上的兩個定點F1、F2 (3)用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的 圖形,1.在橢圓形成的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？ 2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？ 3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？,請你歸納出橢圓的定義,它應該包含幾個要素?,(1)由于繩長固定，所以點M到兩個定點的距離和是個定

2、值,（2）點M到兩個定點的距離和要大 于兩個定點之間的距離,（一）橢圓的定義,平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù) （2a） （大于|F1F2 |）的點的軌跡叫橢圓。 定點F1、F2叫做橢圓的焦點。 兩焦點之間的距離叫做焦距（2C）。,橢圓定義的文字表述：,橢圓定義的符號表述：,(2a2c),M,F2,F1,小結(jié)：橢圓的定義需要注意以下幾點,1.平面上-這是大前提 2.動點M到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和是常數(shù)2a 3.常數(shù)2a要大于焦距2C,思考：,1.當2a2c時,軌跡是（ ）,橢圓,2.當2a=2c時,軌跡是一條線段, 是以F1、F2為端 點的線段 3.當2a2c時,無軌跡,圖形不

3、存在. 4.當c=0時,軌跡為圓,O,r,設圓上任意一點P(x，y),以圓心O為原點，建立直角坐標系,兩邊平方，得, 回憶在必修2中是如何求圓的方程的？,求曲線方程的方法步驟是什么？,建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?設M（x,y）是曲線上任意一點；,由限制條件，列出幾何 等 式，寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M),用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化簡方程f(x,y)=0., 探討建立平面直角坐標系的方案,建立平面直角坐標系通常遵循的原則：對稱、“簡潔”,方案一,解：取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).,設M(x, y)

4、是橢圓上任意一 點，橢圓的焦距2c(c0)，M 與F1和F2的距離的和等于正 常數(shù)2a (2a2c) ，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0) .,（問題：下面怎樣化簡？）,由橢圓的定義得，限制條件：,代入坐標,2.橢圓的標準方程的推導,兩邊除以 得,由橢圓定義可知,總體印象：對稱、簡潔，“像”直線方程的截距式,焦點在y軸：,焦點在x軸：,橢圓的標準方程,圖 形,方 程,焦 點,F(c，0),F(0，c),a,b,c之間的關系,c2=a2-b2,MF1+MF2=2a (2a2c0),定 義,兩類標準方程的對照表,注:,共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢

5、圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.,不同點：焦點在x軸的橢圓 項分母較大. 焦點在y軸的橢圓 項分母較大.,練習1：判定下列橢圓的焦點在哪個軸，并指 明a2、b2，寫出焦點坐標,答：在 X 軸（-3，0）和（3，0）,答：在 y 軸（0，-5）和（0，5）,答：在y 軸。（0，-1）和（0，1）,判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則： 焦點在分母大的那個軸上。,1.口答：下列方程哪些表示橢圓？,若是,則判定其焦點在何軸？ 并指明 ，寫出焦點坐標.,?,練習：,0b9,練習：,a3,練習： 1.方程4x2+ky2=1的曲線是焦點在y軸上的橢圓，則k的范圍是 . 2.橢圓mx2+ny2=-mn(

6、mn0)的焦點是 .,(0,4),3.已知方程 表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是 .,變式：已知方程 表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 .,(0,4),(1,2),2、 已知橢圓的方程為： ，請?zhí)羁眨?(1) a=_，b=_，c=_，焦點坐標為_，焦距等于_. (2)若C為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點， 并且CF1=2,則CF2=_.,變題： 若橢圓的方程為 ,試口答完成（1）.,若方程表示橢圓呢?,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例1、填空： (1)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標為：_焦距等于_;若CD為過左焦點F1的弦

7、，則F2CD的周長為_,例題,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則： 焦點在分母大的那個軸上。,|CF1|+|CF2|=2a,練習,1 橢圓上一點P到一個焦點的距離為5， 則P到另一個焦點的距離為（ ） A.5 B.6 C.4 D.10,A,2.已知橢圓的方程為 ，焦點在X軸上， 則其焦距為（ ） A 2 B 2 C 2 D 2,A,例2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程,1,2,小結(jié):先定位(焦點)再定量(a,b,c) 橢圓的焦點位置不能確定時,橢圓的標準方程一般有兩種情形,必須分類求出,例1：平面內(nèi)兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點距離之和

8、是10的點的軌跡方程。,解：這個軌跡是一個橢圓。兩個定點是焦點，用F1、F2表示，取過點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y 軸建立直角坐標系。 2a=10 2c=8 a=5 c=4 b2=a2c2=9, b=3,因此這個橢圓的標準方程是：,定義法求軌跡方程。,變題1:已知ABC的一邊BC固定，長為8，周長為18，求頂點A的軌跡方程。,.,解：以BC的中點為原點，BC所在的直線為x軸建立直角坐標系。 根據(jù)橢圓的定義知所求軌跡方程是橢圓，且焦點在軸上，所以可設橢圓的標準方程為 ：,y,o,B,C,A,x, 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所

9、求橢圓的標準方程為:,例2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程,(1) a =4，b=1，焦點在 x 軸上； (2) a =4，b=1，焦點在坐標軸上； (3) 兩個焦點的坐標是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且經(jīng) 過點P（ -1.5 ，2.5）.,解： 因為橢圓的焦點在y軸上， 設它的標準方程為, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又橢圓經(jīng)過點, ,聯(lián)立可求得：,橢圓的標準方程為,(法一),或,(法二) 因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的 標準方程為,由橢圓的定義知，,所以所求橢圓的標準方程為,練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：,(2)焦點為F1(0,3),

10、F2(0,3),且a=5.,答案：,(1)a= ,b=1,焦點在x軸上;,(3)兩個焦點分別是F1(2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點；,(4)經(jīng)過點P(2,0)和Q(0,3).,小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：,定位：確定焦點所在的坐標軸；,定量：求a, b的值.,例1 ： 已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一 個橢圓， 它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為 3m，求這個橢圓的標準方程,解：,以兩焦點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則這個橢圓的標準 方程可設為,根據(jù)題意有,即,因此，這個橢圓的標準方

11、程為,3. 例題,回顧小結(jié),求橢圓標準方程的方法,解：,例1 ：將圓x2+y2 = 4上的點的橫坐標保持不變， 縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏那€的方程， 并說明它是什么曲線？,設所的曲線上任一點的坐標為（x，y）,圓 上的對應點的坐標為（x，y），由題意可得：,因為,所以,即,1）將圓按照某個方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓。 2）利用中間變量求點的軌跡方程 的方法是解析幾何中常用的方法；,練習,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡。,(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距離之和為3的點的軌跡。,解 (1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故點M的軌跡為橢圓。,(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2)。,練習,例2 已知圓A：(x3)2y2100，圓A內(nèi)一 定點B(3，0)，圓P過B點且與圓A內(nèi)切，求圓心 P的軌跡方程,解：設PBr 圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10 兩圓的圓心距PA10r， 即PAPB10(大于AB) 點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓 2a10， 2cAB6， a5，c3 b2