線性空間習(xí)題解答.doc

1、第六章 線性空間習(xí)題解答P267.1設(shè) 證明: 一方面 另一方面, 由于, 得2 證明: (1).(2)證明: (1) 即 . 于是有.另一方面,因?yàn)?,所以.(2) 一方面, ,所以.另一方面, 若 若 總之有.3. 檢查以下的集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.(1) 次數(shù)等于n(n1)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體,對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法.(2) 設(shè)A是nn實(shí)矩陣, A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(A)的全體, 對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法.(3) 全體n級(jí)實(shí)對(duì)稱(反對(duì)稱,上三角)矩陣, 對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全體向量所成的集合,對(duì)于向量的加法和數(shù)量乘法.(5

2、) 全體實(shí)數(shù)的二元數(shù)列,對(duì)于下面定義的運(yùn)算:,.(6) 平面上全體向量,對(duì)于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法: ka=0.(7) 集合與加法同(6), 數(shù)量乘法為 ka=a.(8) 全體正實(shí)數(shù)R+,加法和數(shù)量乘法定義為: ab=ab, ka=ak.(1) 否. ,因?yàn)?個(gè)n次多項(xiàng)式相加不一定是n次多項(xiàng)式. 取f(x)=xn, g(x)=xn-1. 則f(x)+g(x)=-1不再是n次多項(xiàng)式.(2) 是. 因?yàn)榧献鳛閚級(jí)實(shí)矩陣全體的子集, 關(guān)于矩陣的加法和數(shù)量乘法封閉.(3) 是. 因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(反對(duì)稱,上三角)矩陣之和或之倍數(shù)仍是實(shí)對(duì)稱(反對(duì)稱,上三角)矩陣.(4) 否. 設(shè), b=(a,b)0

3、. 取a=(a+1,b), g=(a-1, b), 則a, gV, 但是, a+ g V.(5) 證明: 1顯然V非空. 2個(gè)代數(shù)運(yùn)算封閉. 先設(shè) =（kla1,klb1+=kl(7)(k+l) =（k+1）a1,(k+l)b1+ =(k+1)a1,(k+l)b1+ (8) 滿足3,故V是一個(gè)線性空間(6) 否. 不滿足定義3之(5): (7)(8) 可以驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間. (V=R+ P=R ab=ab )證明: 1. V非空且關(guān)于,封閉. 2. 任取a,b,c(1) ab=ba=ba(2) (ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc)(3) 零元0=1, a0=a1=a(4

4、) 負(fù)元-a=,a(-a)=a=1=0.(5) 1a=a1=a(6) k(la)=k(a1)=(a1)k=alk=(lk)a(7) (k+l)a=a(k+l)=akal=akal=kala(8) k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk = akbk= kakb故R+關(guān)于做成R上的向量空間.4. 在線性空間中, 證明: (1) k0=0. (2) .證明: (1) 設(shè)a是線性空間的任一個(gè)向量,由零向量的性質(zhì)a+0=a,再由分配律: k(a+0)=ka= ka+k0, 所以k0=0.(2) 由(1)得k(b+(-b)=k0=0=kb+k(-b), 得k(-b)=-kb. 所以k(a-b)=k

5、(a+(-b)=ka+ k(-b)=ka- kb.5. 證明: 在實(shí)函數(shù)空間中, 0, cos2t, cos2t是線性相關(guān)的.證明: cos2t=2cos2t-1, 所以1- 2cos2t -cos2t=0. 線性相關(guān)6. 如果是f1,f2,f3線性空間Px中的三個(gè)互素的多項(xiàng)式, 但是其中任意兩個(gè)都不互素, 證明它們線性無(wú)關(guān).證:設(shè)設(shè), 則.由于()=d(x)1, 那么d(x)整除的組合,故于是有 , 與矛盾!7. 在P4中, 求x在下的坐標(biāo).(1) .(2) .解: (1) 設(shè)是單位坐標(biāo)向量, , 則., 所以x在下的坐標(biāo)是.(2) 同理解得所以x在下的坐標(biāo)是(1,0,-1,0).8求下列線

6、性空間的維數(shù)與一組基.(1) 數(shù)域P是的空間.(2) 中的全體對(duì)稱(反對(duì)稱, 上三角)矩陣作成的數(shù)域P上的線性空間.(3) 第3題的(8)中的空間.(4) 實(shí)數(shù)域上由矩陣A的全體實(shí)多項(xiàng)式組成的空間, 其中.解: (1) 的一組是.它們線性無(wú)關(guān), .且任何, 所以.(2)中全體對(duì)稱矩陣集合S(P),它的一個(gè)基是 中全體反對(duì)稱矩陣集合K(P),它的一個(gè)基是 .中全體上 .中全體真下 (3) 對(duì)于第2題之(8)中的空間R+, 這是一個(gè)一維的線性空間, 事實(shí)上,我們可以取其中的一個(gè)數(shù)e(無(wú)理數(shù)), 則e1, 且對(duì)于任意的a R+,去k=lna,有a=ke=elna. 即a可由e線性表出.(4) 解：因

7、為3=1, 所以.故對(duì)任意的設(shè),則故.E,A,A2可表示V中所有元素。如果系數(shù)行列式.即，E、A、線性無(wú)關(guān)，由定理1, dimV=3, 它的一個(gè)基是E, A, . 9. 在P4中,求由基到基的過(guò)渡矩陣,并求向量在所指基下的坐標(biāo).(1)(2) , , .(3) . .求.解(1) 設(shè)過(guò)渡矩陣是A, 即()=()A, 所以.x在下的坐標(biāo)為(2) 求由求由基到基的過(guò)渡矩陣,并求x在下的坐標(biāo).解: ()=()A, ()=()B, 所以()=()B= ()A-1B=()T.求得過(guò)渡矩陣是, x在下的坐標(biāo)為.(3) 與(2)類似,得到基到基的過(guò)渡矩陣為. x在下的坐標(biāo)為10繼第9 題1）求一非零向量，它在

8、基與下有相同的坐標(biāo).解: 由條件可知, 應(yīng)該求向量使得=. 即=()=(). ()=0, 求得=.11. 證明實(shí)數(shù)域作為自身上的線性空間與第3題之(8)中的空間同構(gòu). 證明: 已知第3題之(8)中的空間是一個(gè)一維的線性空間. 實(shí)數(shù)域作為自身上的線性空間元素一維的. 事實(shí)上, 1就是它的一組基,任何向量aR都可由1線性表出: a=a1. 由定理12, 同一個(gè)數(shù)域上的兩個(gè)線性空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們的維數(shù)相同,所以這兩個(gè)空間同構(gòu). 12設(shè)V1, V2 都是線性空間V的子空間且V1 V2, 證明如果, 則.證明: 取的V1基: , 則 V2, 由于,得也是V2的基. 得.13. 設(shè)A,(1) 證明全體與

9、A可交換的矩陣組成的一個(gè)子空間. 記作C(A). (2) 當(dāng)A=E時(shí), 求C(A).(3) 當(dāng)時(shí), 求C(A)的維數(shù)和一組基.解: (1) .kP, ., C（A）是的一個(gè)子空間.(2) .(3) 設(shè)X=(xij)C(A), 由于, 由AX=XA, 得.于是有ixij=jxij, (i-j)xij=0, 當(dāng)ij, xij=0. X是對(duì)角形矩陣.線性無(wú)關(guān), 是C(A)的一個(gè)基, 故 dimC(A)=n.14. 設(shè)中全體與A可交換的矩陣所成子空間的維數(shù)好一組基. 解: 因?yàn)? E與任何矩陣乘積可交換, 所以只需求X使得BX=XB. 設(shè)=XB=, 得c=0, f=0. 且, 為含有7個(gè)未知量具有兩個(gè)

10、方程的齊次線性方程組, 取a,b,d,e,i為自由未知量. C(A)的一組基:.dimC(A)=5.15. 設(shè), 且 證明. 證明: .所以向量組a, b和b, g可以相互線性表出, 等價(jià)的向量組生成相同的子空間, 所以.16. 在P4中, 求生成的子空間的基與維數(shù).(1) 解: 是該子空間的一組基, 該子空間的維數(shù)是3.解法2. ()=. 得是該子空間的一組基, 該子空間的維數(shù)是3.(2) 是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.是它的一個(gè)基.17. 在P4中,確定有齊次方程組確定的解空間的基與維數(shù).解: A=.R(A)=2, 基礎(chǔ)解系含4-2=2個(gè)向量，可為解空間的維數(shù)為2，基底一個(gè)是 .18. 求由向量ai生

11、成的子空間與由向量bi生成的子空間的交的基與維數(shù).(1) , .解: 設(shè). 若設(shè) . 有非零解如 即它的一個(gè)基是 .(2) , .解：由于這4個(gè)向量線性無(wú)關(guān), 所以兩個(gè)子空間的交為0.(3) , .由秩為3. , 設(shè)則得R,.取方程組一個(gè)非零解即是一個(gè)所求的基.19. 設(shè)V1，V2分別是齊次線性方程組 的解空間, .證明: 由于線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為1，所以解空間V1是n-1維的. 的系數(shù)矩陣 的秩為n-1, 所以解空間V2是一維的.dimV1+dimV2=n. 對(duì)任意的, 有,得x=0. 所以. 所以.20. 如果.證法1. 設(shè)及V1, 得 再考慮到, 故 證法2. 且, , . 即.2

12、1. 證明：每一個(gè)n維線性空間都可以表示n個(gè)一維子空間的直和.證明: 設(shè)是該線性空間的一組基, 令Wi=L(ai), i=1,2,n. 設(shè)0向量的表達(dá)式為0= , 由于線性無(wú)關(guān)得:, 且表達(dá)式唯一. 因此 .22. 證明是直和的充要條件是證明: 必要性. 若故若為直和, 則, 所以充分性. 若.設(shè)中第一個(gè)不為0的向量, 則 顯然若k=1又與已知矛盾，故 23. 再給定了空間直角坐標(biāo)系的三維空間中所有自原點(diǎn)引出的向量天添上零向量構(gòu)成一個(gè)三維線性空間R3. (1) 問(wèn)所有終點(diǎn)都在一個(gè)平面上的向量是否為子空間?(2) 設(shè)有過(guò)原點(diǎn)的三條直線, 這三條直線上的全部向量分別成為三個(gè)子空間L1, L2, L

13、3, 問(wèn)L1+L2, L1+L2,+L3能構(gòu)成哪些類型的子空間，試全部列舉出來(lái).(3) 就用該三維空間的例子來(lái)說(shuō)明若U,V,X,Y是子空間，滿足U+VX，XY，是否一定有Y = Y U + Y V.解答: (1) 當(dāng)平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)是線性子空間. 當(dāng)平面不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)則不是.(2) L1+L2:(a) 直線L1與L2重合時(shí)(共線)，是L1 +L2一維子空間；(b) 直線L1與L2不重合時(shí)(不共線)， L1 + L2是二維子空間. L1+L2+L3:(a) , 生成直線. (b) 生成平面. (c) 兩兩不共面, 生成空間R3.(3) 不一定成立. 令過(guò)原點(diǎn)的兩條不同直線L1，L2分別構(gòu)成一維子空間U和

14、V，XUV是二維子空間，在L1，L21決定的平面上，過(guò)原點(diǎn)的另一條不與L1，L2相同的直線L3構(gòu)成一維子空間Y，顯然YX, YU = 0, Y V = 0, 因此(Y U)(Y V) = 0故Y = (Y U)(Y V) 并不成立。第六章補(bǔ)充題 P.2711. (1) 證明在中, 多項(xiàng)式是一組基, 其中a1,a2,an是互不相同的數(shù).(2) 在(1)中取a1,a2,an是全部的n次單位根, 求由基1，x, x2,xn-1到f1,f2,fn的過(guò)渡矩陣.證明: 設(shè), 則,并且, 0.如果n=1,則顯然線性無(wú)關(guān).當(dāng)n2，若線性相關(guān), 不妨設(shè),則在處,右邊恒為0, 左邊為, 矛盾. 為中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的

15、向量, 而dimPx=n, 從而結(jié)論成立.(2) 設(shè)n次本原單位根為v, 則全體n次單位根為1 , v, v2, , vn-1. 于是有: .過(guò)渡矩陣.2. 設(shè)是n維線性空間V的一組基, A是一個(gè)ns矩陣, ,證明證明: 設(shè) . 所以 =Q.因?yàn)镼是可逆矩陣, 所以向量組等價(jià). 在考慮到 線性無(wú)關(guān), P可逆, 線性無(wú)關(guān), 所以其部分組線性無(wú)關(guān). 因而.3. 設(shè)是一個(gè)秩為n的二次型, 證明存在Rn的一個(gè)維的子空間V1(其中s為符號(hào)差), 使得對(duì)任一, 有=0.證明: 由條件的符號(hào)差為S，那么f的正摜性指數(shù), . 存在非退化線性替換X=CY，使 .不妨假設(shè)s0, 即pq. 取n維向量Y=(y1,y

16、2,yn)如下: =(1,0,0,1,0,0)T, =(0,1,0,0,1,0)T,=(0,0,1,0,1)T.則在這些點(diǎn)處的值為均0. 且是個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量, 如果令V2=L(), 則dimV2=q=. 對(duì)于任意的Z=(z1,z2,zn)V2, 設(shè)Z=, 則在Z的值為0. 令, 則dimV1=q, 且f在V1上取0值.Z=(b1,bq,0,0p,-b1,-bq) V2, . 對(duì)于X=(x1,x2,xn) V1, 存在YV2使得X=CY, 所以f(X)=f(CY)=g(Y)=04. 設(shè)V1,V2是線性空間V的兩個(gè)非平凡的子空間, 證明在V中存在a使aV1, 且aV2. 證明: 證法1. 若, 取, 證法2：取, 考慮.若, 則(k-l)bV1. 當(dāng)kl